Ce proprietăți are paralelogramul?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Paralelogramul: proprietăți laturi și unghiuri

Paralelogramul este patrulaterul în care fiecare latură are în față o paralelă cu ea. De aici ies trei consecințe folosite în orice exercițiu: laturile care se privesc au aceeași lungime, unghiurile care se privesc au aceeași măsură, iar două unghiuri vecine se completează până la $18 0^{\circ}$ . Așadar un singur unghi cunoscut le dă pe toate: dacă unul are $5 0^{\circ}$ , vecinul lui are $13 0^{\circ}$ . Perimetrul iese din $P = 2 (a + b)$ .

Un paralelogram este un patrulater convex la care ambele perechi de laturi opuse sunt paralele: $A B ∥ C D$ și $B C ∥ A D$ . Din această singură condiție decurg trei proprietăți pe care le folosești mereu în exerciții:

laturile opuse sunt congruente: $A B = C D$ , $B C = A D$ , deci perimetrul este $P = 2 (a + b)$ ;
unghiurile opuse sunt congruente: $A = C$ și $B = D$ ;
unghiurile alăturate sunt suplementare: suma a două unghiuri vecine este $18 0^{\circ}$ .

Asta înseamnă că, dacă știi un singur unghi, le afli pe toate. De exemplu, dacă $A = 5 0^{\circ}$ , atunci $C = 5 0^{\circ}$ (opus), iar $B = D = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 13 0^{\circ}$ (alăturate). Verificarea de siguranță: suma celor patru unghiuri trebuie să dea mereu $36 0^{\circ}$ .

De reținut

laturi opuse congruente: $A B = C D$ , $B C = A D$
unghiuri opuse congruente, unghiuri vecine suplementare
$P = 2 (a + b)$ , iar suma unghiurilor rămâne $36 0^{\circ}$

Greșeala tipică

Se adună unghiurile opuse ca să dea $18 0^{\circ}$ , deși ele sunt egale între ele. Suplementare sunt unghiurile vecine, cele care împart o latură.

Exerciții din această mini-lecție

În paralelogramul $A B C D$ se știe că $A = 6 8^{\circ}$ . Cât măsoară $C$ ?
- a) $6 8^{\circ}$
- b) $11 2^{\circ}$
- c) $18 0^{\circ}$
- d) $3 4^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $6 8^{\circ}$

$A$ și $C$ sunt unghiuri opuse într-un paralelogram, iar unghiurile opuse sunt congruente. Deci $C = A = 6 8^{\circ}$ .
În paralelogramul $M N P Q$ , $M = 10 5^{\circ}$ . Cât măsoară unghiul alăturat $N$ ?
- a) $10 5^{\circ}$
- b) $7 5^{\circ}$
- c) $18 0^{\circ}$
- d) $5 5^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $7 5^{\circ}$

$M$ și $N$ sunt unghiuri alăturate (vecine), iar acestea sunt suplementare într-un paralelogram. Deci $N = 18 0^{\circ} - 10 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$ .
În paralelogramul $A B C D$ se știe că $B = 7 3^{\circ}$ . Cât măsoară $D$ ?
- a) $7 3^{\circ}$
- b) $6 3^{\circ}$
- c) $8 3^{\circ}$
- d) $10 7^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $7 3^{\circ}$

$B$ și $D$ sunt unghiuri opuse într-un paralelogram, iar unghiurile opuse sunt congruente. Deci $D = B = 7 3^{\circ}$ .

Întrebări conexe

Cum construiesc un paralelogram cu rigla și compasul?

Desenezi din același vârf două laturi vecine, cu lungimile date. Din capătul primeia iei în compas lungimea celei de-a doua și tragi un arc, apoi faci la fel din celălalt capăt, cu lungimea primei laturi. Punctul în care se taie arcele este al patrulea vârf.

Cât este perimetrul unui paralelogram cu laturi de 7 și 5 cm?

Laturile opuse fiind egale, conturul conține de două ori $7$ cm și de două ori $5$ cm. Aduni $7 + 5 = 12$ și dublezi: $P = 2 \cdot 12 = 24$ cm. Formula scurtă $P = 2 (a + b)$ face exact acest lucru, fără să mai scrii toate cele patru laturi.

Ce este înălțimea unui paralelogram?

Este distanța dintre două laturi opuse, măsurată perpendicular pe una dintre ele. Se duce dintr-un vârf sau dintr-un punct oarecare al unei laturi și cade pe latura opusă ori pe prelungirea ei. Un paralelogram are două înălțimi diferite, câte una pentru fiecare pereche de laturi.

Cum aflu aria unui paralelogram din bază și înălțime?

Înmulțești lungimea unei laturi cu înălțimea dusă la ea: $A = b \cdot h$ . Cele două trebuie să fie potrivite între ele, adică înălțimea să cadă perpendicular chiar pe latura aleasă drept bază. Pentru $b = 10$ cm și $h = 4$ cm rezultă $40$ cm².

Poate un paralelogram să aibă un unghi drept?

Poate, dar atunci devine automat dreptunghi. Unghiul vecin se completează până la $18 0^{\circ}$ , deci are tot $9 0^{\circ}$ , iar cele opuse repetă aceleași valori. Astfel toate patru ajung drepte. De aceea un unghi drept este de ajuns ca să treci de la paralelogram la dreptunghi.

Câte triunghiuri congruente formează o diagonală a paralelogramului?

Două. Diagonala este latură comună pentru amândouă, iar laturile opuse ale figurii sunt congruente două câte două, deci triunghiurile se potrivesc după cazul latură-latură-latură. De aici iese că fiecare diagonală taie paralelogramul în două părți de aceeași arie.

Oamenii mai întreabă și: proprietățile paralelogramului · ce este un paralelogram · laturile și unghiurile paralelogramului · unghiurile opuse ale paralelogramului · cum aflu unghiurile unui paralelogram