Care e formula pătratului unei diferențe?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Pătratul unei diferențe

Se scrie $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ : pătratul primului termen, minus dublul produsului lor, plus pătratul celui de-al doilea. Semnul minus apare numai la mijloc, fiindcă ultimul termen este oricum un pătrat, deci pozitiv. Astfel $(x - 5)^{2} = x^{2} - 10 x + 25$ . Formula scurtează și calculul mintal: $9 8^{2}$ se scrie $(100 - 2)^{2}$ și dă $10000 - 400 + 4 = 9604$ .

Când ridici la pătrat o diferență $(a - b)^{2}$ , NU poți „împărți” pătratul pe fiecare termen. Formula corectă este:

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

adică: pătratul primului termen, minus dublul produsului celor doi termeni, plus pătratul celui de-al doilea termen. Se aseamănă cu $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , doar că se schimbă semnul termenului din mijloc — $b^{2}$ rămâne mereu pozitiv.

Exemplu minimal: $(x - 5)^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2} = x^{2} - 10 x + 25$ .

Formula e utilă și pentru calcul mental rapid: $9 8^{2} = (100 - 2)^{2} = 10000 - 400 + 4 = 9604$ . Iar greșeala nr. 1 de evitat este $(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$ — fals, pentru că lipsește termenul $- 2 ab$ din mijloc.

De reținut

$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$
ultimul termen rămâne pozitiv, doar mijlocul poartă minusul
$(a - b)^{2} \neq = a^{2} - b^{2}$

Greșeala tipică

Se ridică la pătrat fiecare termen separat și se scrie $(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$ . Lipsește dublul produs din mijloc, iar un test rapid cu $a = 5$ și $b = 2$ arată imediat diferența.

Exerciții din această mini-lecție

Dezvoltă: $(x - 8)^{2}$ .
- a) $x^{2} - 64$
- b) $x^{2} - 16 x + 64$
- c) $x^{2} - 8 x + 16$
- d) $x^{2} + 16 x + 64$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x^{2} - 16 x + 64$

$a = x$ , $b = 8$ : $a^{2} - 2 ab + b^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^{2} = x^{2} - 16 x + 64$ .
Care dintre următoarele afirmații este ADEVĂRATĂ pentru orice numere reale $a$ și $b$ ?
- a) $(a - b)^{2} = a^{2} - b^{2}$
- b) $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$
- c) $(a - b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$
- d) $(a - b)^{2} = a^{2} - ab + b^{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

Formula corectă păstrează termenul din mijloc $- 2 ab$ . Verificare pe numere: $(5 - 2)^{2} = 9$ , dar $5^{2} - 2^{2} = 21 \neq = 9$ , deci varianta a) e falsă.
Dezvoltă: $(x - 11)^{2}$ .
- a) $x^{2} - 121$
- b) $x^{2} - 22 x + 121$
- c) $x^{2} - 11 x + 121$
- d) $x^{2} + 22 x + 121$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x^{2} - 22 x + 121$

$a = x$ , $b = 11$ : $a^{2} - 2 ab + b^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 11 + 1 1^{2} = x^{2} - 22 x + 121$ .

Întrebări conexe

Ce se întâmplă dacă schimb ordinea termenilor în paranteză?

Rezultatul rămâne același, fiindcă $(b - a)^{2}$ dă tot $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ . Cele două paranteze sunt numere opuse, iar ridicarea la pătrat șterge semnul. De aceea $(3 - x)^{2}$ și $(x - 3)^{2}$ se dezvoltă identic.

Cum aflu termenul din mijloc dacă știu primul și ultimul termen?

Extragi radicalul din fiecare, înmulțești rezultatele și dublezi. Pentru $x^{2}$ și $36$ bazele sunt $x$ și $6$ , deci mijlocul este $12 x$ , cu semnul dat de paranteză. Verificarea aceasta îți arată dacă expresia chiar provine dintr-un pătrat.

Cum verific formula pe numere concrete?

Alegi două numere simple și calculezi în ambele feluri. Pentru $a = 7$ și $b = 3$ ai $(7 - 3)^{2} = 16$ , iar $49 - 42 + 9$ dă tot $16$ . Dacă ai fi scăzut doar pătratele, ai fi obținut $40$ , adică un rezultat fals.

Cum ridic la pătrat o diferență în care apare un radical?

Aplici aceeași formulă, ținând minte că radicalul la pătrat dă numărul de sub el. Din $(5 - 2)^{2}$ obții $5 - 45 + 4$ , adică $9 - 45$ . Termenul din mijloc rămâne cu radical, ceilalți doi nu.

La ce ajută formula când micșorez latura unui pătrat?

Îți dă direct aria noii figuri. Dacă latura scade de la $x$ la $x - 4$ , aria devine $x^{2} - 8 x + 16$ , deci pierderea este $8 x - 16$ . Fără formulă ar trebui să faci înmulțirea de fiecare dată.

Cum dezvolt o paranteză în care ambii termeni au coeficienți?

Ridici la pătrat fiecare termen întreg, cu coeficient cu tot, și dublezi produsul lor. Din $(4 x - 3 y)^{2}$ obții $16 x^{2} - 24 x y + 9 y^{2}$ . Coeficientul uitat la ridicarea la pătrat este greșeala cea mai frecventă aici.

Oamenii mai întreabă și: pătratul unei diferențe · formula a minus b la pătrat · dezvoltarea lui a minus b la a doua · formule de calcul prescurtat · cum ridic la pătrat o diferență