Cât face a plus b la pătrat?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Pătratul unei sume

Face $a^{2} + 2 ab + b^{2}$ , adică pătratul primului termen, plus dublul produsului lor, plus pătratul celui de-al doilea. Nu face $a^{2} + b^{2}$ : pentru $a = 3$ și $b = 4$ prima scriere dă $49$ , iar a doua doar $25$ , diferența fiind chiar dublul produs. Astfel $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ . Formula ajută și la calcul rapid: $4 1^{2} = (40 + 1)^{2} = 1600 + 80 + 1 = 1681$ .

Formula de bază: $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ — adică pătratul primului, plus dublul produs, plus pătratul celui de-al doilea. Se obține din $(a + b) (a + b)$ , înmulțind fiecare termen din prima paranteză cu fiecare din a doua și reducând termenii asemenea ( $ab + ab = 2 ab$ ).

Greșeala clasică: $(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ ! Verifică rapid cu $a = 3, b = 4$ : $(3 + 4)^{2} = 49$ , dar $3^{2} + 4^{2} = 25$ . Diferența este exact dublul produs $2 ab = 24$ .

Când termenul are coeficient, se ridică la pătrat tot termenul: $(3 x)^{2} = 9 x^{2}$ , nu $3 x^{2}$ .

Exemplu: $(x + 3)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ .

Formula ajută și la calcule rapide fără calculator: $4 1^{2} = (40 + 1)^{2} = 1600 + 80 + 1 = 1681$ .

De reținut

$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$
$(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ — lipsește dublul produs
la termeni cu coeficient se ridică tot termenul: $(3 x)^{2} = 9 x^{2}$

Greșeala tipică

Se ridică la pătrat separat fiecare termen și se uită mijlocul, obținându-se $a^{2} + b^{2}$ . Verificarea cu $a = 3$ și $b = 4$ arată o diferență de $24$ , exact dublul produsului.

Exerciții din această mini-lecție

Care este dezvoltarea corectă a lui $(x + 6)^{2}$ ?
- a) $x^{2} + 36$
- b) $x^{2} + 12 x + 36$
- c) $x^{2} + 6 x + 36$
- d) $x^{2} + 12 x + 12$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x^{2} + 12 x + 36$

$a = x$ , $b = 6$ : pătratul primului $x^{2}$ , dublul produs $2 \cdot x \cdot 6 = 12 x$ , pătratul celui de-al doilea $6^{2} = 36$ . Rezultă $x^{2} + 12 x + 36$ .
Dezvoltă $(2 a + 5)^{2}$ .
- a) $4 a^{2} + 20 a + 25$
- b) $2 a^{2} + 20 a + 25$
- c) $4 a^{2} + 10 a + 25$
- d) $4 a^{2} + 20 a + 10$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4 a^{2} + 20 a + 25$

$(2 a)^{2} = 4 a^{2}$ (se ridică la pătrat și coeficientul), dublul produs $2 \cdot 2 a \cdot 5 = 20 a$ , iar $5^{2} = 25$ . Deci $4 a^{2} + 20 a + 25$ .
Care este dezvoltarea corectă a lui $(x + 9)^{2}$ ?
- a) $x^{2} + 81$
- b) $x^{2} + 18 x + 81$
- c) $x^{2} + 9 x + 81$
- d) $x^{2} + 18 x + 18$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $x^{2} + 18 x + 81$

$a = x$ , $b = 9$ : pătratul primului $x^{2}$ , dublul produs $2 \cdot x \cdot 9 = 18 x$ , pătratul celui de-al doilea $9^{2} = 81$ . Rezultă $x^{2} + 18 x + 81$ .

Întrebări conexe

Cum ridic la pătrat o sumă de trei termeni?

Aduni pătratele fiecăruia și adaugi dublul produsului pentru fiecare pereche. Din $(a + b + c)^{2}$ obții $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 ab + 2 a c + 2 b c$ , deci șase termeni. Formula cu doi termeni este cazul cel mai simplu al acesteia.

Ce arie reprezintă fiecare termen din formulă?

Dacă desenezi un pătrat cu latura formată din două bucăți, obții patru zone: două pătrate, de arii $a^{2}$ și $b^{2}$ , și două dreptunghiuri identice, fiecare de arie $ab$ . Cele două dreptunghiuri explică vizual de unde vine dublul produs.

Cum calculez rapid pătratul unui număr terminat în cinci?

Îl scrii ca sumă și aplici formula: $3 5^{2} = (30 + 5)^{2} = 900 + 300 + 25 = 1225$ . Există și scurtătura care cere înmulțirea cifrei zecilor cu următoarea și lipirea lui $25$ , dar formula funcționează pentru orice număr.

Ce obțin dacă unul dintre termeni este negativ?

Formula rămâne valabilă, doar că produsul din mijloc iese negativ. Din $(x + (- 4))^{2}$ ajungi la $x^{2} - 8 x + 16$ , adică exact dezvoltarea unei diferențe. Cele două formule sunt, de fapt, aceeași scrisă cu semne diferite.

Cum completez un termen lipsă ca să obțin un pătrat?

Te uiți ce parte a formulei lipsește și o reconstruiești din celelalte două. La $x^{2} + 14 x + \dots$ baza a doua iese din $2 \cdot x \cdot b = 14 x$ , deci $b = 7$ și termenul lipsă este $49$ .

Ce greșeală apare dacă uit paranteza la un termen cu coeficient?

Ridici la pătrat doar litera și pierzi numărul din față. La $(3 x + 2)^{2}$ primul termen este $9 x^{2}$ , nu $3 x^{2}$ , iar mijlocul este $12 x$ , nu $4 x$ . Rezultatul corect este $9 x^{2} + 12 x + 4$ .

Oamenii mai întreabă și: pătratul unei sume · formula a plus b la pătrat · dezvoltarea lui a plus b la a doua · dublul produs · cum ridic la pătrat o sumă