Cât este suma unghiurilor unui patrulater?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Patrulater convex: suma unghiurilor 360°

Într-o figură convexă cu patru vârfuri, cele patru unghiuri însumează $36 0^{\circ}$ . Explicația e simplă: trasezi o diagonală și obții două triunghiuri, fiecare cu suma unghiurilor $18 0^{\circ}$ , iar $18 0^{\circ} + 18 0^{\circ}$ dau $36 0^{\circ}$ . Așa afli unghiul care lipsește printr-o scădere: dacă trei dintre ele măsoară $9 0^{\circ}$ , $10 0^{\circ}$ și $9 5^{\circ}$ , al patrulea are $7 5^{\circ}$ .

Un patrulater are 4 vârfuri, 4 laturi, 4 unghiuri și 2 diagonale (care unesc vârfuri neconsecutive, de exemplu $[A C]$ și $[B D]$ ). Este convex dacă nu are nicio adâncitură: ambele diagonale stau în interior și fiecare unghi este mai mic de $180°$ .

Ideea de aur a lecției: în orice patrulater convex $A B C D$ , $A + B + C + D = 360°.$ Se demonstrează trasând o diagonală (de exemplu $[A C]$ ), care împarte figura în două triunghiuri. Fiecare triunghi are suma unghiurilor $180°$ , deci împreună dau $180° + 180° = 360°$ .

Exemplu minimal. Dacă $A = 90°$ , $B = 100°$ și $C = 95°$ , atunci $D = 360° - (90° + 100° + 95°) = 360° - 285° = 75°$ .

Reține: la triunghi suma e $180°$ , la patrulater e $360°$ — fiecare latură în plus adaugă $180°$ .

De reținut

$A + B + C + D = 36 0^{\circ}$
unghiul lipsă $= 36 0^{\circ}$ minus suma celorlalte trei
poligon convex cu $n$ laturi: $(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}$

Greșeala tipică

Se folosește $18 0^{\circ}$ și la patrulater, din obișnuința triunghiului. O diagonală arată de ce nu merge: figura conține două triunghiuri, deci de două ori $18 0^{\circ}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Într-un patrulater convex $A B C D$ , $A = 85°$ , $B = 95°$ și $C = 100°$ . Cât este $D$ ?
- a) $70°$
- b) $80°$
- c) $90°$
- d) $100°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $80°$

Suma unghiurilor patrulaterului este $360°$ . Adunăm unghiurile cunoscute: $85° + 95° + 100° = 280°$ . Deci $D = 360° - 280° = 80°$ .
Într-un patrulater convex $M N P Q$ , unghiurile sunt $M = x$ , $N = x + 10°$ , $P = x + 20°$ și $Q = x + 30°$ . Cât este $x$ ?
- a) $60°$
- b) $65°$
- c) $75°$
- d) $80°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $75°$

Suma unghiurilor este $360°$ : $x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 30°) = 360°$ , adică $4 x + 60° = 360°$ . Rezultă $4 x = 300°$ , deci $x = 75°$ .
Într-un patrulater convex $A B C D$ , $B = 110°$ , $C = 70°$ și $D = 95°$ . Cât este $A$ ?
- a) $75°$
- b) $80°$
- c) $85°$
- d) $95°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $85°$

Suma unghiurilor patrulaterului este $360°$ . Adunăm unghiurile cunoscute: $110° + 70° + 95° = 275°$ . Deci $A = 360° - 275° = 85°$ .

Întrebări conexe

Cât e suma unghiurilor unui poligon cu n laturi?

Formula generală este $(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}$ , fiindcă orice poligon convex se taie în $n - 2$ triunghiuri pornind dintr-un singur vârf. Pentru $n = 4$ obții $2 \cdot 18 0^{\circ} = 36 0^{\circ}$ , pentru $n = 5$ ies $54 0^{\circ}$ , iar pentru un hexagon $72 0^{\circ}$ .

Un patrulater poate avea trei unghiuri obtuze?

Poate. Trei unghiuri de $10 0^{\circ}$ dau împreună $30 0^{\circ}$ , iar al patrulea primește $6 0^{\circ}$ , deci figura se închide. În schimb patru unghiuri obtuze nu încap: fiecare ar trece de $9 0^{\circ}$ , iar suma lor ar sări peste $36 0^{\circ}$ .

Cât măsoară un unghi într-un patrulater cu toate unghiurile egale?

Împarți totalul la patru: $36 0^{\circ} : 4 = 9 0^{\circ}$ . Așadar figura are toate unghiurile drepte și devine dreptunghi, iar dacă și laturile ies egale, pătrat. Egalitatea unghiurilor singură nu forțează laturile să fie egale, deci nu orice asemenea patrulater este pătrat.

Ce sumă au unghiurile exterioare ale unui patrulater?

Tot $36 0^{\circ}$ , luând câte un unghi exterior la fiecare vârf. Fiecare exterior se completează cu interiorul lui până la $18 0^{\circ}$ , deci cele patru perechi dau $72 0^{\circ}$ . Scăzând suma interioarelor, adică $36 0^{\circ}$ , rămâne exact $36 0^{\circ}$ pentru exterioare. Rezultatul nu depinde de numărul laturilor.

Cum verific dacă patru unghiuri date pot forma un patrulater?

Aduni cele patru măsuri și te uiți dacă totalul iese $36 0^{\circ}$ . În plus, pentru o figură convexă, fiecare unghi trebuie să fie mai mic de $18 0^{\circ}$ și mai mare de zero. Valorile $8 0^{\circ}$ , $9 5^{\circ}$ , $10 0^{\circ}$ și $9 0^{\circ}$ dau $36 5^{\circ}$ , deci nu se potrivesc.

Se păstrează suma de 360 de grade și la un patrulater concav?

Da, suma rămâne aceeași și când figura are o adâncitură. Doar că unghiul din vârful intrat spre interior se măsoară ca reflex, adică peste $18 0^{\circ}$ . Împărțirea în două triunghiuri funcționează în continuare, alegând diagonala care rămâne înăuntru.

Oamenii mai întreabă și: suma unghiurilor unui patrulater convex · suma măsurilor unghiurilor unui patrulater · cât fac unghiurile unui patrulater · de ce patrulaterul are 360 de grade · unghiurile unui patrulater convex