Planul $$\gamma$$ conține dreapta $$m$$, iar $$m \perp \delta$$. Ce relație există între planele $$\gamma$$ și $$\delta$$?

$$\gamma$$ și $$\delta$$ sunt secante oblice

Nu se poate preciza fără alte date

Dreapta $$t$$ este conținută în planul $$\pi$$, dar $$t$$ este perpendiculară DOAR pe dreapta de intersecție dintre $$\pi$$ și un alt plan $$\sigma$$ (nu pe tot planul $$\sigma$$). Putem afirma că $$\pi \perp \sigma$$?

Nu — criteriul cere ca $$t$$ să fie perpendiculară pe TOT planul $$\sigma$$, nu doar pe linia de intersecție

Da, dar numai dacă $$t$$ este muchie laterală a unei prisme

Nu, deoarece două plane secante nu pot fi niciodată perpendiculare

Când sunt două plane perpendiculare?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Criteriul de perpendicularitate a planelor

Atunci când unghiul dintre ele măsoară nouăzeci de grade. Ca să nu măsori nimic, cauți în unul dintre ele o dreaptă care cade perpendicular pe celălalt; dacă găsești una, cele două suprafețe sunt perpendiculare. La un cub, muchia verticală $A A^{'}$ este perpendiculară pe planul bazei și se află în fața laterală, deci acea față este perpendiculară pe bază. Din același motiv toate fețele laterale ale unui corp drept sunt perpendiculare pe baze.

Două plane sunt perpendiculare ( $α ⊥ β$ ) când unghiul diedru dintre ele este drept, adică $90°$ . Ca să nu tot măsurăm unghiuri, folosim un criteriu simplu: dacă un plan conține o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan, cele două plane sunt perpendiculare. În simboluri: $d \subset β$ și $d ⊥ α \Rightarrow β ⊥ α$ .

Exemplu minimal. La un cub $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , muchia $A A^{'}$ este verticală, deci $A A^{'} ⊥ (A B C D)$ . Cum $A A^{'} \subset (A B B^{'} A^{'})$ , criteriul dă direct $(A B B^{'} A^{'}) ⊥ (A B C D)$ .

Atenție la capcană: o dreaptă perpendiculară doar pe muchia de intersecție (linia comună) nu e de ajuns — trebuie perpendiculară pe întreg planul. Reține și: pe orice prismă dreaptă, cub sau paralelipiped, muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze, deci toate fețele laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor.

De reținut

criteriul cere o dreaptă dintr-unul care cade perpendicular pe cealaltă suprafață
perpendicularitatea pe muchia comună nu este suficientă
la corpurile drepte fețele laterale sunt perpendiculare pe baze

Greșeala tipică

Se declară două plane perpendiculare pentru că o dreaptă din primul face unghi drept cu linia lor de intersecție. Dreapta trebuie să fie perpendiculară pe tot planul, nu doar pe muchia comună.

Exerciții din această mini-lecție

Planul $γ$ conține dreapta $m$ , iar $m ⊥ δ$ . Ce relație există între planele $γ$ și $δ$ ?
- a) $γ ∥ δ$
- b) $γ ⊥ δ$
- c) $γ$ și $δ$ sunt secante oblice
- d) Nu se poate preciza fără alte date
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $γ ⊥ δ$

Planul $γ$ conține dreapta $m$ , care este perpendiculară pe planul $δ$ . Prin criteriul de perpendicularitate a două plane, rezultă direct $γ ⊥ δ$ .
Într-un paralelipiped dreptunghic $M N P Q M^{'} N^{'} P^{'} Q^{'}$ , câte dintre celelalte cinci fețe sunt perpendiculare pe fața $(M N P Q)$ ?
- a) $2$
- b) $3$
- c) $4$
- d) $5$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $4$

Fața de sus $(M^{'} N^{'} P^{'} Q^{'})$ este paralelă cu $(M N P Q)$ . Celelalte $4$ fețe laterale conțin fiecare o muchie laterală (verticală), perpendiculară pe bază, deci prin criteriu fiecare este perpendiculară pe $(M N P Q)$ .
Dreapta $t$ este conținută în planul $π$ , dar $t$ este perpendiculară DOAR pe dreapta de intersecție dintre $π$ și un alt plan $σ$ (nu pe tot planul $σ$ ). Putem afirma că $π ⊥ σ$ ?
- a) Da, întotdeauna
- b) Nu — criteriul cere ca $t$ să fie perpendiculară pe TOT planul $σ$ , nu doar pe linia de intersecție
- c) Da, dar numai dacă $t$ este muchie laterală a unei prisme
- d) Nu, deoarece două plane secante nu pot fi niciodată perpendiculare
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Nu — criteriul cere ca $t$ să fie perpendiculară pe TOT planul $σ$ , nu doar pe linia de intersecție

Criteriul de perpendicularitate a planelor cere ca dreapta din primul plan să fie perpendiculară pe întregul al doilea plan (adică pe orice dreaptă din el), nu doar pe dreapta de intersecție — aceasta este capcana clasică.

Întrebări conexe

Cum notez perpendicularitatea a două plane?

Scrii numele celor două plane despărțite de simbolul de perpendicularitate, la fel ca la drepte. Când planele sunt fețe ale unui corp, le denumești prin vârfurile lor, între paranteze rotunde. Notația se citește plan perpendicular pe plan.

Ce perechi de fețe perpendiculare găsesc într-un cub?

Fiecare față laterală este perpendiculară pe cele două baze, iar fețele laterale alăturate sunt perpendiculare între ele. Doar fețele opuse nu sunt perpendiculare, fiindcă ele ies paralele. În total apar multe perechi, toate ușor de justificat.

Este de ajuns ca o dreaptă să fie perpendiculară pe muchia comună?

Nu, condiția este prea slabă. O dreaptă poate face unghi drept cu linia de intersecție și totuși să stea înclinată față de celălalt plan. Criteriul cere perpendicularitate pe întregul plan, adică pe două drepte concurente din el.

Pot fi trei plane perpendiculare două câte două?

Da, exact ca într-un colț de cameră: podeaua și cei doi pereți care se întâlnesc acolo. Fiecare pereche formează unghi drept. Modelul acesta stă la baza sistemului de trei axe folosit mai târziu.

Cum folosesc perpendicularitatea planelor într-o demonstrație?

Îți dă dreptul să cobori o perpendiculară dintr-o suprafață în cealaltă și să lucrezi apoi în triunghiul dreptunghic care apare. Multe probleme cu înălțimi într-o piramidă pornesc tocmai de la o astfel de pereche de fețe.

Ce este unghiul dintre două plane care se taie?

Se ia un punct pe muchia comună și se duc, în fiecare dintre cele două plane, câte o semidreaptă care cade perpendicular pe ea; unghiul dintre acele semidrepte este cel căutat. Măsura lui nu depinde de punctul ales. Când iese drept, planele sunt perpendiculare.

Oamenii mai întreabă și: plane perpendiculare · când sunt două plane perpendiculare · criteriul de perpendicularitate a planelor · fețe perpendiculare pe bază · alfa perpendicular pe beta