Într-un patrulater $$MNPQ$$ se știe că $$[MN] \parallel [QP]$$ și $$MN = QP$$ (adică o pereche de laturi opuse este simultan paralelă și congruentă). Ce poți afirma despre $$MNPQ$$?

$$MNPQ$$ este paralelogram, conform condiției cu laturi opuse paralele și congruente.

$$MNPQ$$ este paralelogram doar dacă și cealaltă pereche de laturi este paralelă.

Nu putem afirma nimic, mai trebuie verificate și unghiurile.

$$MNPQ$$ este paralelogram doar dacă diagonalele sunt egale.

Într-un patrulater $$RSTU$$, diagonalele $$[RT]$$ și $$[SU]$$ se intersectează în punctul $$O$$, care este mijlocul ambelor diagonale. Ce poți afirma despre $$RSTU$$?

$$RSTU$$ este paralelogram, conform condiției cu diagonalele care se înjumătățesc reciproc.

$$RSTU$$ este paralelogram doar dacă are și un unghi drept.

Nu putem afirma nimic fără să cunoaștem laturile.

Cum leg paralelogramul de linia mijlocie?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Sinteză: paralelogram și triunghi

Linia mijlocie a unui triunghi este paralelă cu a treia latură și cât jumătate din ea, deci îți dă gata două segmente paralele și egale. Când perechea aceasta cade pe două laturi opuse ale unui patrulater, figura devine paralelogram, iar de acolo folosești toate proprietățile lui. Aceeași idee apare la dublarea medianei, unde punctul de mijloc al ambelor diagonale închide tot un paralelogram.

Într-o problemă de sinteză nu mai primești rețeta gata scrisă — trebuie să alegi singur uneltele potrivite din ce ai învățat despre paralelogram, linia mijlocie și centrul de greutate.

Două „rețete" apar cel mai des:

Rețeta 1: dacă găsești două segmente paralele și congruente (aceeași pereche de laturi opuse), patrulaterul format este paralelogram (condiția 3). Linia mijlocie e cea mai bună sursă de „paralel și egal".
Rețeta 2: dacă un punct este mijlocul ambelor diagonale, patrulaterul este paralelogram (condiția 5) — apare la „dublarea medianei".

Pentru mediane, ține minte raportul $2 : 1$ dinspre vârf: dacă $M$ e mijlocul laturii opuse și $G$ centrul de greutate, atunci $A G = \frac{2}{3} A M$ și $GM = \frac{1}{3} A M$ .

Exemplu minimal: dacă $A M = 15$ cm, atunci $A G = \frac{2}{3} \cdot 15 = 10$ cm și $GM = 5$ cm (verifici: $10 = 2 \cdot 5$ ).

De reținut

linia mijlocie este paralelă cu latura a treia și jumătate din ea
două laturi opuse paralele și congruente închid un paralelogram
$A G = \frac{2}{3} A M$ și $GM = \frac{1}{3} A M$

Greșeala tipică

Se unesc mijloacele a două laturi și se afirmă direct că patrulaterul e paralelogram. Justificarea prin linia mijlocie trebuie scrisă, fiindcă ea dă paralelismul și egalitatea.

Exerciții din această mini-lecție

Într-un patrulater $M N P Q$ se știe că $[M N] ∥ [QP]$ și $M N = QP$ (adică o pereche de laturi opuse este simultan paralelă și congruentă). Ce poți afirma despre $M N P Q$ ?
- a) $M N P Q$ este paralelogram, conform condiției cu laturi opuse paralele și congruente.
- b) $M N P Q$ este paralelogram doar dacă și cealaltă pereche de laturi este paralelă.
- c) Nu putem afirma nimic, mai trebuie verificate și unghiurile.
- d) $M N P Q$ este paralelogram doar dacă diagonalele sunt egale.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $M N P Q$ este paralelogram, conform condiției cu laturi opuse paralele și congruente.

Este exact condiția 3 de recunoaștere a paralelogramului: dacă o pereche de laturi opuse este în același timp paralelă și congruentă, patrulaterul este paralelogram — nu mai e nevoie de nicio altă verificare.
Într-un triunghi, $G$ este centrul de greutate, iar $M$ este mijlocul laturii opuse vârfului $A$ . Dacă $GM = 10$ cm, cât este $A G$ (distanța de la vârf la $G$ )?
- a) 10 cm
- b) 20 cm
- c) 30 cm
- d) 15 cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) 20 cm

Raportul este $2 : 1$ dinspre vârf, deci $A G = 2 \cdot GM = 2 \cdot 10 = 20$ cm ( $GM$ fiind partea mai mică, cea mai apropiată de mijlocul laturii).
Într-un patrulater $R S T U$ , diagonalele $[R T]$ și $[S U]$ se intersectează în punctul $O$ , care este mijlocul ambelor diagonale. Ce poți afirma despre $R S T U$ ?
- a) $R S T U$ este paralelogram, conform condiției cu diagonalele care se înjumătățesc reciproc.
- b) $R S T U$ este paralelogram doar dacă are și un unghi drept.
- c) Nu putem afirma nimic fără să cunoaștem laturile.
- d) $R S T U$ este romb.
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $R S T U$ este paralelogram, conform condiției cu diagonalele care se înjumătățesc reciproc.

Este exact condiția 5 de recunoaștere a paralelogramului: dacă diagonalele se înjumătățesc reciproc (au același mijloc), patrulaterul este paralelogram — nu mai e nevoie de nicio altă verificare.

Întrebări conexe

Cât măsoară segmentul dintre vârf și centrul de greutate?

Două treimi din mediana întreagă. Dacă mediana din $A$ are $15$ cm, atunci porțiunea până la centrul de greutate măsoară $10$ cm, iar restul până la mijlocul laturii opuse are $5$ cm. Bucata dinspre vârf este mereu de două ori cât cea dinspre latură.

Ce lungime are segmentul dintre mijloacele diagonalelor unui trapez?

Jumătate din diferența bazelor. La un trapez cu bazele de $12$ cm și $8$ cm, segmentul dintre mijloacele diagonalelor măsoară $2$ cm. El se află chiar pe linia mijlocie, iar demonstrația scade două lungimi calculate cu ajutorul ei.

Cum aflu latura unui triunghi din linia lui mijlocie?

Dublezi lungimea liniei mijlocii, fiindcă ea reprezintă jumătate din latura cu care este paralelă. La o linie mijlocie de $9$ cm, latura are $18$ cm. Invers, dacă știi latura, împarți la doi ca să afli segmentul care unește mijloacele celorlalte două laturi.

Ce ordine urmez când o problemă cere mai multe demonstrații?

Rezolvi întâi partea care îți dă informații despre figură, de obicei paralelismul sau egalitatea unor segmente. Rezultatul acela devine ipoteză pentru pasul următor. Astfel demonstrația curge într-un singur sens, iar la final rămâne doar concluzia cerută în enunț.

De unde încep când nu văd paralelogramul în figură?

Marchezi pe desen toate mijloacele de segmente din enunț și unești câteva dintre ele. Perechile paralele și egale sar în ochi tocmai din liniile mijlocii. Dacă tot nu apare nimic, prelungești o mediană dincolo de mijlocul laturii, cu aceeași lungime, și obții patrulaterul căutat.

Ce arie are triunghiul format de cele trei linii mijlocii?

Un sfert din aria triunghiului mare. Laturile lui sunt jumătăți din cele inițiale, deci raportul de asemănare este $\frac{1}{2}$ , iar ariile se află în raportul pătratului acestuia. La o arie de $40$ cm², triunghiul din mijloc are $10$ cm².

Oamenii mai întreabă și: linia mijlocie și paralelogramul · probleme de sinteză cu paralelogram · dublarea medianei · centrul de greutate al triunghiului · linia mijlocie a unui triunghi