Revine prețul după +10% și apoi −10%?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a X-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a X-a · Procente, dobânzi, TVA

Nu, ajunge mai jos. Scumpirea înmulțește prețul cu $1, 1$ , iar ieftinirea următoare cu $0, 9$ , deci factorul total este $1, 1 \cdot 0, 9 = 0, 99$ : prețul final e cu $1%$ sub cel inițial. Exemplu: $500$ de lei devin $550$ , apoi $550 \cdot 0, 9 = 495$ de lei. Al doilea procent se calculează din prețul nou, mai mare, de aceea scade mai mult decât a crescut.

Programa de examen M2 trece matematicile financiare — procente, dobânzi, TVA — printre conținuturi, iar cerințele de aici se descurcă aproape toate cu o singură unealtă: factorul de modificare.

Factorul. Scumpirea cu $p %$ înmulțește suma cu $1 + \frac{p}{100}$ , ieftinirea cu $p %$ o înmulțește cu $1 - \frac{p}{100}$ . Ca să te întorci la valoarea veche împarți la același factor: un obiect ieftinit cu $20%$ , care acum costă $240$ de lei, a costat $240 : 0, 8 = 300$ de lei, nicidecum $288$ . Două reduceri una după alta se înmulțesc: din $0, 75 \cdot 0, 9 = 0, 675$ iese o reducere unică de $32, 5%$ .

TVA. Taxa se așază peste prețul fără TVA. La cota standard de $21%$ (din august $2025$ ; cea redusă este $11%$ ), prețul de raft ajunge de $1, 21$ ori prețul fără taxă, iar taxa cuprinsă în prețul de raft înseamnă $\frac{21}{121}$ din el, nu $\frac{21}{100}$ .

Dobânzile. Cea simplă ia drept bază, an de an, suma cu care ai pornit, $D = S \cdot \frac{p}{100} \cdot t$ , și duce la o progresie aritmetică. Cea compusă se socotește la soldul strâns, $S_{n} = S (1 + \frac{p}{100})^{n}$ , deci o progresie geometrică. Și nu confunda punctele procentuale cu procentele: de la $5%$ la $6%$ e $1$ punct, dar o creștere relativă de $20%$ .

De reținut

scumpire cu $p %$ : factorul $1 + \frac{p}{100}$ ; ieftinire: $1 - \frac{p}{100}$
modificările succesive se înmulțesc: $1, 1 \cdot 0, 9 = 0, 99$
dobânda compusă: $S_{n} = S (1 + \frac{p}{100})^{n}$

Greșeala tipică

Se crede că $+ 10%$ și apoi $- 10%$ se anulează; al doilea procent se aplică prețului crescut, deci rezultatul este $0, 99$ din prețul inițial.

Exerciții din această mini-lecție

Un obiect s-a ieftinit cu $20%$ și costă acum $240$ de lei. Cât a costat înainte de ieftinire?
- a) $260$ de lei
- b) $288$ de lei
- c) $300$ de lei
- d) $192$ de lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $300$ de lei

Prețul nou este $0, 8$ din cel vechi, deci cel vechi este $240 : 0, 8 = 300$ de lei. Varianta b) adaugă $20%$ la prețul nou, dar procentul se raportează la prețul vechi.
Un produs se ieftinește cu $25%$ , iar prețul obținut se mai ieftinește cu $10%$ . Care este reducerea unică echivalentă?
- a) $35%$
- b) $32, 5%$
- c) $67, 5%$
- d) $15%$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $32, 5%$

Factorul total este $0, 75 \cdot 0, 9 = 0, 675$ , deci prețul final e $67, 5%$ din cel inițial, iar reducerea este $100% - 67, 5% = 32, 5%$ . Varianta a) adună procentele, iar c) ia factorul drept reducere.
Pe un bon scrie suma de plată $1210$ lei, la cota standard de TVA, de $21%$ . Ce valoare are taxa cuprinsă în această sumă?
- a) $254, 10$ lei
- b) $210$ lei
- c) $121$ lei
- d) $1000$ lei
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $210$ lei

Suma de pe bon este $121%$ din prețul fără TVA, deci taxa este $1210 \cdot \frac{21}{121} = 210$ lei. Varianta a) aplică $21%$ chiar prețului de raft și umflă taxa cu $44, 10$ lei, iar d) dă prețul fără TVA.

Întrebări conexe

Cu cât la sută trebuie scumpit un produs ieftinit cu $20%$ ca să revină?

Prețul nou este $0, 8$ din cel vechi, deci trebuie înmulțit cu $\frac{1}{0 , 8} = 1, 25$ , adică scumpit cu $25%$ . Verificare: $400$ de lei ieftiniți cu $20%$ devin $320$ , iar $320 \cdot 1, 25 = 400$ .

În câți ani se dublează o sumă la dobândă compusă de $5%$ ?

Cauți cel mai mic $n$ cu $1, 0 5^{n} \geq 2$ . Se obține $1, 0 5^{14} \approx 1, 980$ și $1, 0 5^{15} \approx 2, 079$ , deci suma se dublează în al cincisprezecelea an. La dobândă simplă de $5%$ ar fi nevoie de $20$ de ani.

Cât este dobânda simplă pe $18$ luni la $4%$ pe an?

Timpul se exprimă în ani, la fel ca procentul anual: $18$ luni înseamnă $1, 5$ ani. Pentru $5000$ de lei, $D = 5000 \cdot \frac{4}{100} \cdot 1, 5 = 300$ de lei, iar suma finală este $5300$ de lei.

Cum calculez concentrația procentuală a unei soluții?

Împarți masa substanței dizolvate la masa soluției, nu la masa apei, și înmulțești cu $100$ . Cu $30$ g de sare în $170$ g de apă, soluția are $200$ g, deci concentrația este $\frac{30}{200} \cdot 100 = 15%$ .

Ce înseamnă o creștere cu $150%$ a unei mărimi?

Mărimea se înmulțește cu $1 + 1, 5 = 2, 5$ , deci ajunge de două ori și jumătate mai mare. O populație de $40$ de iepuri crescută cu $150%$ ajunge la $100$ . Creșterea cu $100%$ înseamnă dublare.

Ce procent reprezintă un număr din altul?

Împarți partea la întreg și înmulțești cu $100$ . Dacă $35$ de elevi din $250$ au luat nota $10$ , ei reprezintă $\frac{35}{250} \cdot 100 = 14%$ . Întregul se scrie la numitor, oricare ar fi ordinea din enunț.

Oamenii mai întreabă și: scumpire urmată de ieftinire cu același procent · creștere și scădere cu 10 la sută · prețul crește cu 10% și scade cu 10% · de ce nu revine prețul la valoarea inițială

Revine prețul după +10% și apoi −10%?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cu cât la sută trebuie scumpit un produs ieftinit cu 20% ca să revină?

În câți ani se dublează o sumă la dobândă compusă de 5%?

Cât este dobânda simplă pe 18 luni la 4% pe an?