Dobânda simplă și costurile (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — varianta M1 a lecției → ·

Un club de științe își organizează bugetul și observă că unele cheltuieli cresc cu aceeași sumă pentru fiecare probă analizată. Într-un alt model, o sumă economisită aduce în fiecare an un procent calculat mereu din capitalul inițial. Ce au în comun aceste situații? În clasa a IX-a, la științe ale naturii (M2), ele introduc progresiile printr-o regulă concretă: la intervale egale se adaugă aceeași cantitate. Progresiile sunt incluse în programa pentru Bacalaureatul M2 2027–2029, iar programa nouă, aplicată acestei generații, le păstrează pentru MAT_P2 din 2030.

Începem cu sensul datelor și cu operațiile deja cunoscute, fără să presupunem formulele capitolului parcurse. Dacă ai nevoie, reia aflarea unui procent dintr-un număr, din clasa a VI-a și ordonarea și aproximarea numerelor reale la M2. Sumele, tarifele și procentele de aici sunt date ale unor modele școlare: enunțul precizează ce se calculează, la ce moment și în ce condiții. Întrebarea principală este ce rămâne constant de la o etapă la următoarea.

Ce vei învăța

Vei ști să identifici suma la care se aplică procentul și perioada pentru care este dată rata dobânzii.
Vei ști să construiești un tabel al sumelor succesive, pornind de la momentul inițial.
Vei ști să calculezi dobânda totală și soldul final fără să aduni de mai multe ori același capital.
Vei ști să separi costul plătit o singură dată de costul fiecărei probe sau etape.
Vei ști să verifici dacă datele observate respectă modelul de creștere constantă și să explici limitele concluziei.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă baza de calcul?

Un procent are sens împreună cu numărul din care se calculează. Când un enunț spune „trei procente”, întrebarea imediată este „trei procente din ce?”. Două procente egale pot reprezenta sume diferite dacă bazele lor sunt diferite. În această lecție, baza dobânzii simple este capitalul de la început.

Capitalul inițial, notat $C$ , este suma folosită ca bază de calcul. Dobânda simplă se calculează în fiecare perioadă egală la același capital inițial, folosind aceeași rată. Lucrăm cu $C > 0$ și cu o rată anuală $p \geq 0$ , în condițiile declarate ale problemei. Nu se fac depuneri sau retrageri suplimentare și nu intervin alte costuri, dacă enunțul nu le menționează.

Dobânda corespunzătoare unui an se notează $D$ :

$D = C \cdot \frac{p}{100} .$

Litera $p$ desemnează numărul dinaintea semnului procentual. Pentru rata de $2%$ , în formulă folosești $p = 2$ , iar factorul de înmulțire este $2/100$ . Nu împarți încă o dată la o sută după ce ai scris deja procentul sub formă zecimală.

De exemplu, un capital de $1250$ lei la rata simplă de $2%$ pe an produce $25$ lei într-un an. Al doilea an produce tot $25$ lei, deoarece baza a rămas aceeași. Dacă schimbi baza la suma deja acumulată, ai schimbat regula problemei, chiar dacă procentul scris pe hârtie este același.

2. Cum se citește timpul dintr-un tabel?

La început nu a trecut niciun an. Notăm suma disponibilă după $n$ ani cu $B_{n}$ ; astfel, $B_{0} = C$ . După un an adăugăm o dobândă anuală, după doi ani adăugăm două asemenea sume. Litera $B$ desemnează aici soldul, adică suma disponibilă la momentul respectiv.

Ani încheiați	Dobândă acumulată	Sold
$0$	$0$	$C$
$1$	$D$	$C + D$
$2$	$2 D$	$C + 2 D$
$3$	$3 D$	$C + 3 D$

Tabelul arată două mărimi diferite. Coloana dobânzii cuprinde numai câștigul produs de capital. Coloana soldului cuprinde și capitalul inițial, o singură dată. Dintr-o coloană ajungi în cealaltă adăugând sau scăzând capitalul, fără să schimbi numărul de perioade.

Pentru a verifica un tabel, nu te baza doar pe ordinea crescătoare a valorilor. Calculează diferența dintre două solduri la momente consecutive. Ea trebuie să fie aceeași pentru fiecare pereche, dacă anii au aceeași rată și condițiile modelului nu s-au modificat. O creștere care devine tot mai mare nu respectă această regulă.

3. De la repetarea adunării la formulă

După $n$ ani întregi s-au acumulat $n$ dobânzi egale cu $D$ . Așadar:

$B_{n} = C + n D = C (1 + \frac{n p}{100}), n \in N .$

Prima formă păstrează vizibile capitalul și câștigul. A doua este utilă când toate datele apar în enunț și vrei o singură expresie. Cele două forme descriu aceeași sumă, iar alegerea uneia nu schimbă ipotezele problemei. La $n = 0$ ambele trebuie să dea capitalul inițial; aceasta este o verificare rapidă a formulei.

Putem compara acum două momente consecutive:

$B_{n + 1} - B_{n} = (C + (n + 1) D) - (C + n D) = D .$

O progresie aritmetică este un șir în care diferența dintre orice doi termeni consecutivi are aceeași valoare. Această diferență se numește rație. În tabelul soldurilor, rația este dobânda anuală, exprimată în lei. Rata de $p %$ și rația de $D$ lei sunt mărimi diferite, chiar dacă ambele descriu o creștere.

Definiția formală și calculul termenilor după rang vor primi lecții proprii. Aici ai construit noțiunea dintr-o situație care îi explică sensul. Poți deja să verifici dacă o succesiune de solduri respectă diferența constantă și să spui ce reprezintă acea diferență în problemă.

4. Ce facem dacă perioada este exprimată în luni?

Rata anuală și numărul de luni nu se înmulțesc direct. În modelul care precizează că dobânda simplă se acordă proporțional cu timpul, durata de $m$ luni înseamnă $m /12$ ani. Formula devine:

$B = C (1 + \frac{p}{100} \cdot \frac{m}{12}) .$

Precizarea proporționalității contează. O regulă care acordă dobândă numai la încheierea anilor întregi ar avea alt rezultat pentru o durată incompletă. Nu presupune regula unei fracțiuni de an dacă problema nu o oferă; într-un exercițiu bine precizat, condiția va fi scrisă.

Poți verifica sensul rezultatului înainte de calcul. La o rată pozitivă, dobânda pentru jumătate de an este jumătate din dobânda anuală în modelul proporțional. Pentru o durată mai mare de un an, câștigul depășește dobânda unui singur an. Dacă ai obținut invers, verifică transformarea unităților de timp.

Folosim luni și ani pentru a păstra modelul transparent. Nu introducem numărări speciale ale zilelor sau reguli contractuale. Scopul este să corelezi rata cu perioada ei, aceeași atenție fiind necesară la un debit dat pe minut și un timp exprimat în ore.

5. Cum construim un model de cost?

Un laborator școlar poate avea un cost de pregătire a materialelor și un cost separat pentru fiecare probă. Notăm costul inițial, plătit o singură dată, cu $F$ , tariful pentru o probă cu $t$ și numărul de probe cu $k$ . Atunci costul total al unei serii este:

$K_{k} = F + k t, k \in N .$

Enunțul trebuie să spună dacă taxa inițială se plătește și pentru seria cu zero probe; formula de aici presupune că pregătirea a fost făcută. Dacă taxa apare numai când începe analiza, modelul se aplică pentru $k \geq 1$ , iar cazul fără comandă se discută separat.

Pentru două serii cu numere de probe care diferă cu unu, diferența costurilor este $t$ . Costurile astfel comparate formează o progresie aritmetică. Ele sunt scenarii alternative ale aceleiași serii: a calcula costul pentru șase probe nu înseamnă a plăti și scenariile pentru una, două sau trei probe.

Există și limite practice. Dacă enunțul menționează cel mult douăzeci de probe într-o serie, formula nu justifică un rezultat pentru o sută de probe. Un tarif redus după un prag schimbă regula. Înaintea fiecărui calcul notezi atât ce măsoară variabila, cât și valorile permise.

6. Cum controlăm datele și concluzia?

O fișă poate oferi capitalul și rata, dar și solduri deja calculate. Atunci ai două căi de verificare: calculezi dobânda din capital și procent, apoi compari cu diferențele dintre solduri. Dacă nu coincid, cel puțin una dintre date sau ipoteze trebuie revizuită. Nu alegi o valoare doar fiindcă rezultatul arată mai simplu.

Două solduri la trei ani distanță diferă cu trei dobânzi anuale. Distanța dintre momente trebuie păstrată în calcul. Faptul că sunt două valori scrise pe foaie nu înseamnă că ele corespund unor ani consecutivi. Mai întâi citești etichetele anilor, apoi diferența în lei.

Rezultatul final răspunde exact cerinței. Dacă se cere dobânda, raportezi câștigul. Dacă se cere suma disponibilă, adaugi capitalul. Dacă se cere numărul de probe, răspunsul trebuie să fie un număr natural admis de buget. Formula este un mijloc de a răspunde unei întrebări, nu un motiv pentru a calcula orice mărime posibilă.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Citim soldurile înainte să alegem o formulă

Un capital de $3600$ lei produce dobândă simplă de $3%$ pe an. Completează soldurile după primul, al doilea și al treilea an, apoi explică legătura cu o progresie aritmetică. Nu intervin alte operații asupra sumei.

Rezolvare. Dobânda anuală este $3600 \cdot 3/100 = 108$ lei. Pornim de la momentul inițial și adăugăm aceeași sumă pentru fiecare an încheiat. Soldurile cerute sunt $3708$ lei, $3816$ lei și $3924$ lei.

Moment	Inițial	După un an	După doi ani	După trei ani
Sold, în lei	$3600$	$3708$	$3816$	$3924$

Controlăm diferențele: $3708 - 3600 = 108$ , $3816 - 3708 = 108$ , $3924 - 3816 = 108$ . Valorile respectă aceeași creștere anuală, deci formează o progresie aritmetică. Rația este de $108$ lei, nu de trei lei. La final, câștigul total este de trei ori dobânda anuală; capitalul rămâne inclus o singură dată în sold.

Exemplul 2 — Pregătirea unei serii de probe

Pregătirea unei serii de analize didactice costă $45$ lei, iar fiecare probă adaugă $9$ lei. Modelul este valabil pentru cel mult zece probe. Calculează costul unei serii de opt probe și costul suplimentar dacă seria ajunge la nouă probe.

Rezolvare. Taxa de pregătire apare o singură dată. Pentru opt probe avem $45 + 8 \cdot 9 = 117$ lei. Pentru nouă probe costul este $45 + 9 \cdot 9 = 126$ lei, iar diferența este $126 - 117 = 9$ lei.

Nu adăugăm încă o dată taxa inițială atunci când numărul de probe se mărește în aceeași serie. Ambele numere de probe respectă limita dată. Dacă s-ar cere unsprezece probe, am putea efectua operația aritmetică, dar nu am putea afirma că ea reprezintă costul real în condițiile enunțului. O asemenea întrebare ar necesita regula pentru o serie suplimentară.

Exemplul 3 — Aceeași rată, o altă unitate de timp

Un model acordă dobândă simplă proporțional cu timpul, cu rata anuală de $2%$ , pentru un capital de $4800$ lei. Determină soldul după $15$ luni.

Rezolvare. Un an produce dobânda $4800 \cdot 2/100 = 96$ lei. Cele cincisprezece luni reprezintă un an și un sfert. Dobânda corespunzătoare este $96 \cdot 15/12 = 120$ lei, iar soldul final este $4800 + 120 = 4920$ lei.

Controlul de sens confirmă rezultatul: dobânda este puțin mai mare decât cea pentru un an, deoarece au trecut încă trei luni. Înmulțirea dobânzii anuale cu cincisprezece ar fi tratat lunile ca ani. Proporționalitatea a fost dată explicit; fără ea ar fi trebuit lămurit cum sunt tratate lunile de după primul an.

Exemplul 4 — Reconstituim capitalul din două observații

Într-un model de dobândă simplă, soldul este de $2916$ lei după doi ani și de $3240$ lei după cinci ani. Rata rămâne constantă și nu apar alte operații. Află dobânda anuală și capitalul inițial.

Rezolvare. Între momente au trecut trei ani. Creșterea totală este $3240 - 2916 = 324$ lei, deci dobânda unui an este $324/3 = 108$ lei. Revenim de la soldul anului al doilea la momentul inițial: $2916 - 2 \cdot 108 = 2700$ lei.

Verificăm pe cealaltă observație: $2700 + 5 \cdot 108 = 3240$ lei. Am folosit astfel ambele date și am respectat distanța dintre ani. Diferența de $324$ lei nu este dobânda anuală, fiindcă observațiile nu sunt consecutive. Rata anuală ar putea fi calculată ulterior din raportul dobânzii la capital, dar cerința de față se încheie cu cele două sume găsite.

Exemplul 5 — De ce nu adunăm soldurile anuale?

Un elev calculează, pentru un capital de $2200$ lei și dobândă simplă de $5%$ pe an, soldurile $2310$ , $2420$ și $2530$ lei. El le adună și afirmă că după trei ani are $7260$ lei. Identifică eroarea și corectează concluzia.

Rezolvare. Dobânda anuală este $2200 \cdot 5/100 = 110$ lei. Soldurile sunt corecte ca fotografii ale aceleiași sume la momente diferite. Adunarea $2310 + 2420 + 2530 = 7260$ este corectă aritmetic, dar nu reprezintă suma disponibilă la final.

După trei ani există capitalul și cele trei dobânzi: $2200 + 3 \cdot 110 = 2530$ lei. Nu au fost deschise trei depozite independente. Greșeala vine din interpretarea datelor, nu din adunare. Înainte să însumezi valori dintr-un tabel, întreabă dacă ele sunt contribuții distincte ori observații succesive ale aceleiași cantități.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Într-un model de dobândă simplă, capitalul de $4500$ lei devine $5040$ lei după patru ani. Determinați rata anuală, presupusă constantă. Exercițiul este construit pentru antrenament pe calcule cu procente și progresii; nu reproduce o cerință oficială.

Rezolvare. Dobânda totală este $5040 - 4500 = 540$ lei. Dobânda anuală este $540/4 = 135$ lei. Aceasta reprezintă procentul căutat din capital, deci $p = 100 \cdot 135/4500 = 3$ .

Rata este de $3%$ pe an. Verificarea revine la datele problemei: o sutime din capital este de $45$ lei, trei sutimi sunt de $135$ lei, iar patru asemenea dobânzi produc creșterea de $540$ lei. Am precizat separat numărul procentual și suma în lei; astfel, rezultatul nu poate fi confundat cu dobânda anuală.

Să exersăm

Modelele de dobândă de mai jos nu includ depuneri, retrageri sau alte costuri. Folosește rata anuală dată și precizează la final dacă răspunsul reprezintă dobândă, sold, tarif sau număr de probe.

1. Un capital de $2400$ lei produce dobândă simplă de $3%$ pe an, timp de $2$ ani. Află dobânda anuală și soldul final.

2. Un capital de $1750$ lei produce dobândă simplă de $4%$ pe an, timp de $3$ ani. Care este numai dobânda totală?

3. Un capital de $6250$ lei produce dobândă simplă de $2%$ pe an, timp de $4$ ani. Află soldul final.

4. Un capital de $3200$ lei produce dobândă simplă de $2, 5%$ pe an, timp de $6$ ani. Află dobânda anuală și soldul final.

5. Dobânda simplă a unui an este de $99$ lei, pentru capitalul de $3300$ lei. Determină rata anuală.

6. Capitalul de $4200$ lei ajunge la $5040$ lei după $4$ ani de dobândă simplă. Calculează dobânda anuală și rata.

7. Pregătirea unei serii costă $60$ lei și fiecare probă costă încă $8$ lei. Află costul pentru $14$ probe, într-o singură serie permisă de model.

8. O serie de $5$ probe costă în total $113$ lei. Tariful pe probă este de $7$ lei, iar restul reprezintă o singură taxă de pregătire. Află taxa.

9. Pentru capitalul de $1800$ lei sunt înregistrate soldurile anuale consecutive $1836$ , $1872$ , $1908$ lei. Sunt datele compatibile cu dobânda simplă? Determină rata anuală.

10. (Problemă aplicată.) Un capital de $2800$ lei are dobândă simplă de $6%$ pe an, acordată proporțional cu timpul. Află soldul după $18$ luni.

11. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Dacă dublez numărul de probe într-o serie, dublez costul total, inclusiv taxa inițială.” Presupune o taxă inițială strict pozitivă și un tarif constant pe probă.

12. Soldurile după primul și al doilea an sunt $1530$ și $1560$ lei, în același model de dobândă simplă. Află capitalul inițial și rata anuală.

13. Un elev aplică rata anuală de $4%$ de trei ori unui capital de $900$ lei pentru o durată de $3$ luni și obține dobânda de $108$ lei. Corectează calculul, știind că dobânda simplă este proporțională cu timpul.

14. (Problemă aplicată.) O serie de măsurători are taxa inițială de $95$ lei și tariful de $11$ lei pe probă. Câte probe se pot analiza cel mult cu bugetul de $216$ lei, dacă modelul admite până la cincisprezece probe?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Calculați soldul după trei ani pentru capitalul de $5100$ lei și dobânda simplă anuală de $4%$ .

16. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Capitalul de $2750$ lei produce dobândă simplă anuală de $2%$ . După câți ani întregi soldul devine $3080$ lei?

17. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Costul unei serii este de $286$ lei, incluzând o taxă inițială de $70$ lei și câte $24$ lei pentru fiecare probă. Determinați numărul de probe.

18. (Provocare.) Pentru capitalul de $1600$ lei și rata de $5%$ , compară soldurile după doi ani în două reguli: procentul se aplică anual capitalului inițial, respectiv sumei disponibile la începutul fiecărui an. Calculează diferența și explică originea ei, fără să folosești o formulă nouă.

Răspunsuri și explicații

1. Dobânda anuală este $72$ lei, iar soldul este $2544$ lei. Calculăm procentul din capital, apoi adăugăm de două ori dobânda, păstrând capitalul o singură dată.

2. Dobânda totală este $210$ lei. Un an produce $70$ lei, iar trei ani produc de trei ori această sumă. Cerința nu solicită adăugarea capitalului.

3. Soldul este $6750$ lei. Dobânda anuală este $125$ lei, deci câștigul pentru patru ani este $500$ lei, adăugat capitalului inițial.

4. Dobânda anuală este $80$ lei, iar soldul este $3680$ lei. Numărul procentual zecimal se folosește ca atare; șase dobânzi însumează $480$ lei.

5. Rata anuală este $3%$ , deoarece $100 \cdot 99/3300 = 3$ . Raportăm dobânda unui singur an la capital, apoi exprimăm raportul procentual.

6. Dobânda anuală este $210$ lei și rata este $5%$ . Creșterea totală, $5040 - 4200 = 840$ lei, corespunde celor patru ani, nu unui singur an.

7. Costul este $172$ lei: $60 + 14 \cdot 8 = 172$ . Taxa inițială pregătește întreaga serie; nu este taxă pentru fiecare probă.

8. Taxa este $78$ lei, deoarece $113 - 5 \cdot 7 = 78$ . Din total eliminăm numai partea corespunzătoare probelor efectiv analizate.

9. Da, înregistrările sunt compatibile: toate creșterile anuale, inclusiv prima față de capital, sunt de $36$ lei. Rata este $2%$ , întrucât $100 \cdot 36/1800 = 2$ . Concluzia privește datele și modelul precizat.

10. Soldul este $3052$ lei. Dobânda anuală este $168$ lei, iar pentru un an și jumătate dobânda este $252$ lei. În calcul, lunile au fost transformate în ani.

11. Fals. Costul pentru un număr dublu de probe este $F + 2 k t$ , iar dublul costului inițial este $2 F + 2 k t$ . Al doilea include o taxă inițială în plus; cum $F > 0$ , valorile nu sunt egale.

12. Capitalul este $1500$ lei și rata anuală este $2%$ . Diferența soldurilor consecutive este $30$ lei, iar revenirea cu un an de la primul sold dă capitalul. Procentul se calculează din capitalul reconstituit.

13. Dobânda corectă este $9$ lei. Un an ar produce $900 \cdot 4/100 = 36$ lei, iar trei luni reprezintă un sfert de an. Valoarea elevului corespunde la trei ani, de douăsprezece ori durata cerută.

14. Se pot analiza cel mult $11$ probe: $216 - 95 = 121$ lei rămân pentru probe, iar $121/11 = 11$ . Costul folosește exact bugetul și numărul respectă limita de cincisprezece probe.

15. Soldul este $5712$ lei. Dobânda anuală este $204$ lei; după trei ani câștigul este $612$ lei. Acesta se adaugă capitalului inițial.

16. Sunt necesari $6$ ani. Dobânda anuală este $55$ lei, creșterea cerută este $330$ lei, iar $330/55 = 6$ . Numărul găsit este întreg și verifică soldul din enunț.

17. Au fost analizate $9$ probe, deoarece $286 - 70 = 216$ lei reprezintă costul probelor, iar $216/24 = 9$ . Taxa inițială se elimină înaintea împărțirii.

18. Prima regulă dă $1760$ lei: se adaugă două dobânzi de $80$ lei. A doua dă $1764$ lei: după primul an sunt $1680$ lei, iar cinci procente din această sumă sunt $84$ lei. Diferența de $4$ lei provine din aplicarea procentului și asupra primei dobânzi.

De reținut

Dobânda simplă folosește același capital ca bază de calcul pentru toate perioadele egale ale modelului.
Soldul final include capitalul o singură dată; dobânda totală reprezintă numai creșterea lui.
Rata anuală și durata trebuie exprimate în unități de timp compatibile înaintea calculului.
Un cost inițial plus un tarif constant pe probă conduce la diferențe constante între scenarii cu numere consecutive de probe.
Tabelul, formula și explicația verbală trebuie să descrie aceleași momente, aceleași mărimi și aceleași condiții.

Greșeli frecvente

Interpretezi două observații ca ani consecutivi fără să citești etichetele. Numără intervalele dintre momente; o diferență pe trei ani trebuie împărțită la trei pentru dobânda anuală.
Dublezi taxa inițială când dublezi numărul de probe. Taxa privește seria, iar partea variabilă privește probele. Scrie separat cele două componente.
Transformi lunile în ani, dar păstrezi un număr de luni în înmulțire. Folosește o singură durată, în unitatea ratei, pe tot parcursul calculului.
Continui un tarif dincolo de limita seriei. Verifică numărul maxim permis înainte să interpretezi rezultatul operației drept cost al modelului.
Consideri că trei diferențe egale dovedesc orice evoluție viitoare. Datele confirmă compatibilitatea observațiilor; menținerea regulii viitoare este o ipoteză a modelului.

Aplică acasă

Desenează o fișă cu două coloane: dobânda acumulată și soldul. Folosește literele $C$ și $D$ pentru patru momente succesive, apoi schimbă numai capitalul. Explică ce informație îți mai trebuie pentru a decide dacă se schimbă și dobânda anuală.
Pregătește o comandă imaginară de materiale pentru un experiment: o taxă de pregătire și un tarif pe recipient. Scrie două interpretări greșite ale facturii, apoi corectează-le printr-un desen cu o singură taxă și mai multe recipiente.
Creează trei înregistrări la momente care nu sunt consecutive. Dă unui coleg două dintre ele și cere-i să o reconstituie pe a treia, presupunând o creștere anuală constantă. Schimbați apoi o valoare și identificați contradicția dintre date.

Pentru părinți și profesori

Lecția introduce progresiile din situațiile practice care deschid domeniul în programa de științe. Elevul construiește întâi succesiunea sumelor și observă diferența constantă. Nu este necesară formula sumei termenilor unei progresii; adunarea soldurilor anuale ale aceluiași capital ar conduce, de altfel, la interpretarea greșită discutată aici.

Urmăriți dacă elevul poate explica baza procentului și unitatea ratei, poate distinge două momente consecutive de două observații oarecare și poate reface datele inițiale după obținerea rezultatului. Un răspuns numeric corect fără numele mărimii poate ascunde confuzia dintre câștig și sold. Cereți o propoziție finală cu sensul rezultatului și unitatea lui.

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030. La Bacalaureatul 2030, proba MAT_P2, progresiile sunt în domeniul „Algebră”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029, a cărui programă include progresiile și calculele procentuale. Modelul M_șt-nat 2026 permite antrenarea acestor calcule în formatul cerințelor scurte de la Subiectul I; nu justifică o predicție despre frecvența problemelor de dobândă.

Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: dobânda simplă și costurile la mate-info (M1). Aceea pornește după studiul formulelor progresiei. Traseul M2 de aici începe cu modelarea și păstrează calculul general al termenilor și al sumelor pentru lecțiile următoare. Continuă cu termenul și rangul unui șir la M2. Pentru a verifica separat atenția la condițiile dintr-un enunț, poți reveni la conjuncția propozițiilor la M2.

Întrebări frecvente

De ce această lecție M2 începe cu situațiile practice, spre deosebire de versiunea M1?

Programa de științe introduce progresiile aritmetice prin dobânda simplă. De aceea construim întâi tabelul și sensul diferenței constante, folosind procentele cunoscute. Versiunea M1 aplică formule deja studiate și tratează mai multe probleme de însumare. Aici poți înțelege modelul de la început, fără să deschizi acea versiune.

Cum folosesc dobânda simplă la Bacalaureatul M2, Subiectul I?

Procentele și progresiile susțin cerințele scurte de la Subiectul I în pregătirea pentru M_șt-nat 2027–2029. Pentru MAT_P2 din 2030, progresiile apar în domeniul „Algebră”. Exemplele noastre sunt exerciții de antrenament proprii; includerea temei în programă nu înseamnă că o anumită problemă de dobândă va apărea la examen.

M2 înseamnă științe ale naturii și pentru elevii intrați acum în liceu?

Pe Matepolis, M2 identifică traseul de matematică pentru profilul științe ale naturii. Păstrăm însă distincția dintre generații: elevii actuali din clasele X–XII pregătesc M_șt-nat, iar cei intrați în clasa a IX-a în 2026 urmează programa nouă și proba MAT_P2 din 2030. Caseta programei precizează această diferență în lecție.

Pot aduna soldurile din tabel dacă sunt exprimate toate în lei?

Unitatea comună permite adunarea ca operație, dar nu îi dă automat un sens potrivit problemei. Soldurile succesive descriu aceeași sumă la momente diferite și includ repetat capitalul. Pentru suma disponibilă la final citești ultimul sold. O însumare ar fi justificată dacă valorile ar reprezenta contribuții distincte cerute de enunț.

Ce informație lipsește când primesc o rată anuală și o durată de câteva luni?

Trebuie precizat cum se acordă dobânda pentru fracțiuni de an. În modelul proporțional folosit aici, transformi lunile în ani și calculezi partea corespunzătoare. Dacă regula acordă dobândă numai pentru ani întregi încheiați, rezultatul poate fi altul. Nu alegi între reguli după preferință, ci după condițiile enunțului.

Pot determina dobânda anuală din două solduri care sunt la ani distanță?

Da, dacă modelul păstrează capitalul și rata și nu include alte operații. Scazi soldul mai vechi din cel mai nou, apoi împarți creșterea la numărul de ani dintre observații. După aceea verifici o valoare cunoscută. Contează distanța dintre momente, nu numărul de valori scrise pe foaie.