Frecvențe relative și procente (M2, științe ale naturii)

Într-un lot de $1600$ de semințe de porumb puse la încolțit, $12$ au dat plantule albinoase, fără clorofilă, care se vor usca în câteva zile. Douăsprezece plante sunt multe sau puține? Numărul singur nu spune nimic; spune ceva doar raportat la lot: douăsprezece din o mie șase sute înseamnă sub un procent. Același număr ar fi alarmant într-un lot de o sută de semințe. Raportul acesta se numește frecvență relativă și este tema lecției de față, din programa de clasa a 10-a la profilul științe ale naturii (M2). Pentru cei intrați în clasa a IX-a în 2026, la proba MAT_P2 din 2030 tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”, unde programa numește explicit frecvențele relative. Elevii aflați acum în clasele X–XII dau bacalaureatul M2 din 2027–2029, a cărui programă conține prelucrarea datelor statistice, în capitolul de matematici financiare, alături de procente; modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință de statistică.

Pornim de la tabelul de frecvențe absolute: acolo ai aflat câte unități are fiecare valoare. Acum întrebăm ce parte din total reprezintă ele.

Ce vei învăța

• Vei calcula frecvența relativă $f_i=\frac{n_i}{n}$ și o vei scrie ca fracție, ca număr zecimal, în procente sau, la valori rare, în promile.
• Vei ști să demonstrezi că $\sum f_i=1$ și să folosești egalitatea ca verificare.
• Vei ști să compari două eșantioane de volume diferite și să răspunzi la întrebarea „procent din ce?” într-un tabel cu două caracteristici.
• Vei ști să afli frecvența relativă a unui grup de valori.
• Vei reface, dintr-un procent, numărul de unități și vei afla cel mai mic volum compatibil cu niște procente exacte.
• Vei ști să rotunjești procente astfel încât suma afișată să fie $100\%$, prin metoda celor mai mari resturi.

Hai să descoperim împreună

1. Ce este frecvența relativă?

Într-un set cu $n$ date, fie $n_i$ frecvența absolută a valorii $v_i$. Frecvența relativă a valorii $v_i$ este numărul

$$f_i=\frac{n_i}{n}.$$

Ea spune cât din întregul set ocupă valoarea $v_i$. Se scrie ca fracție (forma exactă, bună pentru calcule), ca număr zecimal sau ca procent, $p_i=f_i\cdot 100\%$. Pentru valori rare, cum sunt mutațiile sau malformațiile, se folosesc și promilele: $1$‰ înseamnă o miime. La semințele de porumb din deschidere:

$$f=\frac{12}{1600}=\frac{3}{400}=0,0075=0,75\%,$$

adică $7,5$‰. Scrisă în promile, valoarea se citește ușor: șapte-opt plante albinoase la fiecare mie.

2. De ce suma frecvențelor relative este $1$?

O probă de $40$ de pietre scoase din prundișul unui râu a fost sortată după tipul de rocă: granit $16$, calcar $10$, gresie $8$, alte roci $6$. Frecvențele relative sunt

$$\frac{16}{40}=0,4,\frac{10}{40}=0,25,\frac{8}{40}=0,2,\frac{6}{40}=0,15,$$

iar suma lor este $0,4+0,25+0,2+0,15=1$. Nu e o coincidență. Pentru orice tabel,

$$\sum _{i=1}^k{f}_i=\frac{n_1}{n}+\frac{n_2}{n}+\cdots +\frac{n_k}{n}=\frac{n_1+n_2+\cdots +n_k}{n}=\frac{n}{n}=1,$$

fiindcă suma frecvențelor absolute este $n$. În procente, suma este $100\%$. Mai mult, din $0\le n_i\le n$ rezultă $0\le f_i\le 1$: o frecvență relativă negativă sau mai mare decât $1$ arată o greșeală.

3. Cum compari două eșantioane de mărimi diferite?

Un laborator a testat rezistența la un antibiotic a bacteriilor izolate din două râuri. Din râul A au fost testate $60$ de tulpini, dintre care $18$ rezistente; din râul B, $96$ de tulpini, dintre care $24$ rezistente. În numere absolute, B are mai multe tulpini rezistente. Dar eșantioanele au volume diferite, deci se compară frecvențele relative:

$$\frac{18}{60}=0,3=30\%,\frac{24}{96}=0,25=25\%.$$

Proporția tulpinilor rezistente este mai mare la râul A. Frecvența relativă aduce ambele eșantioane la aceeași scară, „din $100$”, cum arată figura.

4. Cât valorează o singură unitate?

Într-un eșantion cu $n$ unități, fiecare unitate reprezintă $\frac{1}{n}$ din total, adică $\frac{100}{n}$ procente. La cele $60$ de tulpini din râul A, o tulpină valorează $\frac{100}{60}\approx 1,67$ procente; la cele $96$ din râul B, $\frac{100}{96}\approx 1,04$ procente. Dacă la râul A s-ar fi găsit o singură tulpină rezistentă în plus, procentul ar fi urcat de la $30\%$ la aproape $31,7\%$.

Observația are două urmări practice. Prima: pe eșantioane mici, procentele „sar” din unitate în unitate și nu pot lua orice valoare; la $16$ probe, singurele procente posibile sunt multipli de $6,25\%$. A doua: când compari două procente apropiate, uită-te și la volumele eșantioanelor; o diferență mai mică decât valoarea unei singure unități spune foarte puțin. Cât de mult se poate schimba un procent de la un eșantion la altul vei studia în lecțiile despre sondaje și eșantionare.

5. Procent din ce total?

Într-un tabel cu două caracteristici, același număr poate fi raportat la trei totaluri diferite, iar fiecare raport răspunde la altă întrebare. Într-un experiment, $100$ de plante de tomate au fost urmărite o lună; o parte au fost stropite cu un fungicid:

„Ce procent dintre plantele stropite s-au îmbolnăvit?” cere raportarea la rândul lor: $\frac{6}{60}=10\%$. Pentru plantele nestropite, $\frac{16}{40}=40\%$. Raportarea la totalul general, $\frac{6}{100}=6\%$, răspunde la altă întrebare: ce parte din toate plantele sunt stropite și bolnave. Iar raportarea la coloană, $\frac{6}{22}\approx 27,3\%$, spune ce parte dintre plantele bolnave fuseseră stropite. Comparația care interesează un agronom este cea pe rânduri: $10\%$ față de $40\%$. Înainte de a împărți, scrie întrebarea și subliniază în ea grupul de referință: el dă numitorul.

6. Frecvența relativă a unui grup de valori

Dacă o întrebare privește mai multe valori deodată, frecvența relativă a grupului este suma frecvențelor lor relative, fiindcă numărătorii se adună peste același numitor. La pietrele de la punctul 2, cele de granit sau de calcar au frecvența relativă

$$0,4+0,25=0,65=\frac{16+10}{40}.$$

Regula funcționează numai când frecvențele au același numitor, adică provin din același tabel.

7. Drumul invers și cel mai mic volum posibil

Din $f_i=\frac{n_i}{n}$ rezultă $n_i=f_i\cdot n$ și $n=\frac{n_i}{f_i}$. Numărul $n_i$ numără unități, deci trebuie să fie natural. De aici o consecință utilă: procentele exacte dintr-un raport spun ceva despre volumul eșantionului. Dacă un tabel conține exact $20\%$ și $35\%$, adică $\frac{1}{5}$ și $\frac{7}{20}$, atunci $\frac{n}{5}$ și $\frac{7n}{20}$ trebuie să fie numere naturale, deci $n$ este multiplu de $20$. Cel mai mic volum posibil este cel mai mic multiplu comun al numitorilor fracțiilor ireductibile. Raționamentul funcționează în ambele sensuri: dacă știi volumul și un procent dat ca exact, poți verifica imediat dacă procentul este posibil.

8. Cum rotunjești ca suma să rămână $100\%$?

Procentele rotunjite pot să nu însumeze $100\%$. Cele $11$ stații de monitorizare a aerului dintr-o regiune au raportat calitatea aerului: bună la $4$ stații, acceptabilă la $3$, moderată la $2$, slabă la $2$. Procentele exacte sunt $36,36\dots \%$, $27,27\dots \%$, $18,18\dots \%$, $18,18\dots \%$, iar rotunjite la unități dau $36+27+18+18=99$.

Când totalul afișat trebuie să fie $100\%$, se folosește metoda celor mai mari resturi: se scrie partea întreagă a fiecărui procent, se calculează câte unități lipsesc până la $100$, iar acestea se dau, câte una, categoriilor cu cele mai mari părți fracționare. Aici lipsește o unitate, iar cea mai mare parte fracționară, $0,36\dots$, este a categoriei „bună”: procentele afișate devin $37\%$, $27\%$, $18\%$, $18\%$. Metoda schimbă doar afișarea; calculele se fac pe valorile exacte. Ea este folosită, de exemplu, la împărțirea mandatelor proporțional cu voturile, unde totalul trebuie să iasă exact.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Cochiliile melcilor

La $50$ de melci de livadă s-a notat culoarea cochiliei: galbenă la $22$, roz la $16$, brună la $12$. Calculează frecvențele relative ca fracții, ca numere zecimale și în procente, apoi verifică suma.

Rezolvare.

$$\frac{22}{50}=\frac{11}{25}=0,44=44\%,\frac{16}{50}=\frac{8}{25}=0,32=32\%,\frac{12}{50}=\frac{6}{25}=0,24=24\%.$$

Verificare: $\frac{11}{25}+\frac{8}{25}+\frac{6}{25}=\frac{25}{25}=1$, adică $44\%+32\%+24\%=100\%$. Aici procentele sunt exacte, fiindcă un melc valorează $\frac{100}{50}=2$ procente; la volume care nu divid pe $100$ apar zecimale infinite și rotunjiri.

Exemplul 2 — Două livezi

Într-o livadă cu $56$ de meri, $14$ au fost găsiți atacați de rapăn; în alta, cu $80$ de meri, $18$. a) În care livadă este mai mare proporția pomilor atacați? b) Câți pomi atacați ar fi trebuit să aibă a doua livadă pentru a avea aceeași proporție ca prima?

Rezolvare. a) Comparăm frecvențele relative:

$$\frac{14}{56}=\frac{1}{4}=25\%,\frac{18}{80}=\frac{9}{40}=22,5\%.$$

Proporția e mai mare în prima livadă, deși a doua are mai mulți pomi atacați. Diferența, de $2,5$ puncte procentuale, este mai mică decât efectul a doi pomi atacați în plus în prima livadă, $2\cdot \frac{100}{56}\approx 3,6$ procente; concluzia e corectă ca aritmetică, dar se citește cu prudență.

b) Pentru $25\%$ din $80$ de meri: $0,25\cdot 80=20$ de pomi, adică încă $2$.

Exemplul 3 — Castanii și molia minieră

S-au examinat castani din două locuri, iar la fiecare s-a notat dacă frunzele lui sunt atacate de molia minieră:

a) Ce procent dintre castanii de la marginea pădurii sunt atacați? b) Ce procent dintre castanii atacați sunt de la marginea pădurii? c) Ce procent din toți castanii examinați sunt atacați?

Rezolvare. Grupul de referință e scris în fiecare întrebare, după „dintre” sau „din”.

a) Referința sunt castanii de la marginea pădurii: $\frac{9}{45}=\frac{1}{5}=20\%$.

b) Referința sunt castanii atacați: $\frac{9}{30}=\frac{3}{10}=30\%$.

c) Referința sunt toți castanii: $\frac{30}{80}=\frac{3}{8}=37,5\%$.

Același număr $9$ dă $20\%$ sau $30\%$, după cum întrebarea privește locul sau atacul. Pentru comparația dintre cele două locuri se folosesc procentele pe rânduri: în parcul orașului, $\frac{21}{35}=60\%$ dintre castani sunt atacați, de trei ori mai mult decât la marginea pădurii.

Exemplul 4 — Cel mai mic volum al eșantionului

Un raport despre plantele unei rezervații spune că $12,5\%$ sunt specii protejate, $37,5\%$ specii rare, iar $50\%$ specii comune, toate procentele fiind exacte. a) Care este cel mai mic număr posibil de plante studiate? b) Dacă se știe că au fost studiate între $50$ și $60$ de plante, câte plante sunt în fiecare categorie?

Rezolvare. a) Scriem procentele ca fracții ireductibile:

$$12,5\%=\frac{1}{8},37,5\%=\frac{3}{8},50\%=\frac{1}{2}.$$

Numerele $\frac{n}{8}$, $\frac{3n}{8}$ și $\frac{n}{2}$ trebuie să fie naturale, deci $n$ este multiplu de $8$. Cel mai mic volum posibil este $n=8$.

b) Între $50$ și $60$, singurul multiplu de $8$ este $56$; următorul, $64$, depășește intervalul. Categoriile au $\frac{56}{8}=7$, $\frac{3\cdot 56}{8}=21$ și $\frac{56}{2}=28$ de plante, iar $7+21+28=56$.

Exemplul 5 — Găsește greșeala: promile sau procente?

Dintr-un lot de $2000$ de tuberculi de cartof, $3$ au avut „inimă goală”, o cavitate în interior. Un elev scrie: „Frecvența relativă este $1,5\%$.” Găsește greșeala.

Rezolvare. Frecvența relativă este

$$\frac{3}{2000}=0,0015=0,15\%.$$

Elevul a obținut corect cifrele $1,5$, dar în promile: $0,0015$ înseamnă $1,5$ la mie, adică $1,5$‰, nu $1,5$ la sută. Cu procentul lui, ar fi trebuit să existe $0,015\cdot 2000=30$ de tuberculi cu defect, de zece ori mai mulți. Un control rapid de acest fel, înapoi la numărul de unități, prinde greșelile de ordin de mărime.

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Într-o zi, un magazin a emis $120$ de bonuri fiscale: $36$ cu valoarea sub $50$ de lei, $54$ cu valoarea între $50$ și $100$ de lei și $30$ cu valoarea de peste $100$ de lei. Determinați procentul bonurilor cu valoarea de cel puțin $50$ de lei.

Rezolvare. Bonurile de cel puțin $50$ de lei sunt cele din ultimele două categorii: $54+30=84$. Procentul este

$$\frac{84}{120}=\frac{7}{10}=0,7=70\%.$$

Aceeași valoare se obține adunând frecvențele relative ale celor două categorii din același tabel: $45\%+25\%=70\%$. Prin complement: bonurile sub $50$ de lei sunt $\frac{36}{120}=30\%$, iar $100\%-30\%=70\%$. Cerința are forma scurtă a unui calcul de bacalaureat și contextul financiar pe care programa de examen 2014 îl indică pentru statistică; modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține o cerință de statistică, iar pentru proba MAT_P2 din 2030 nu există încă un model publicat.

Să exersăm

La fiecare exercițiu, scrie întâi grupul de referință (numitorul), apoi calculează; păstrează fracția exactă până la rezultatul final.

1. Dintr-un eșantion de $36$ de probe de sol, $9$ au pH acid. Scrie frecvența relativă a probelor acide sub trei forme: fracție ireductibilă, număr zecimal, procent.

2. Într-un inventar al păsărilor dintr-o zonă au fost stabilite $80$ de puncte de observație: $36$ în pădure, $20$ pe pajiște, $16$ în zone umede, $8$ pe teren agricol. Exprimă în procente ponderea fiecărui tip de habitat și controlează că ponderile însumează $100\%$.

3. Dintr-un lot de $4000$ de semințe, $18$ au avut câte doi embrioni. Scrie frecvența relativă ca număr zecimal, în procente și în promile.

4. Într-o livadă cu $140$ de pomi, $35\%$ sunt meri. Câți meri sunt?

5. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Într-o lună, o agenție de turism a avut $80$ de clienți. Dintre cei $25$ care au cumpărat și o asigurare de călătorie, $14$ au ales un circuit în străinătate; dintre ceilalți clienți, $21$ au ales un circuit în străinătate. Raportul lunar al agenției spune: „$56\%$ dintre clienți au ales un circuit în străinătate.” Determinați procentul corect al clienților agenției care au ales un circuit în străinătate și precizați din ce grup de clienți provine procentul de $56\%$.

6. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Într-un tabel cu două caracteristici, procentul pe care îl reprezintă o celulă din totalul rândului ei nu poate fi mai mic decât procentul pe care îl reprezintă aceeași celulă din totalul general.”

7. În trei livezi s-au cercetat larve de fluture: în livada A, $9$ din $60$ erau parazitate; în livada B, $19$ din $95$; în livada C, $21$ din $70$. a) Ordonează livezile după proporția larvelor parazitate. b) Cât valorează o singură larvă, în procente, în fiecare eșantion? c) Diferența dintre livezile B și A, în puncte procentuale, corespunde câtor larve din eșantionul A?

8. Într-o populație de plante, frecvențele relative ale genotipurilor sunt: $AA$ — $0,36$, $Aa$ — $0,48$, $aa$ — $0,16$. Ce frecvență relativă au plantele care poartă cel puțin o alelă $a$?

9. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) O casă de schimb valutar a făcut într-o zi $200$ de tranzacții: $46$ cu dolari americani, $84$ cu euro, iar celelalte cu lire sterline. Determinați procentul tranzacțiilor cu lire sterline.

10. (Problemă aplicată.) Un laborator de semințe a testat două loturi: din lotul A au încolțit $188$ de semințe din $200$, iar din lotul B $282$ din $300$. a) Care lot are procentul de germinație mai mare? b) Câte semințe din lotul B ar fi trebuit să încolțească pentru un procent de germinație de $96\%$?

11. Cele $23$ de probe de miere dintr-un concurs au fost clasificate după culoare: deschisă — $9$, aurie — $7$, chihlimbarie — $4$, închisă — $3$. Calculează procentele rotunjite la unități și suma lor, apoi aplică metoda celor mai mari resturi ca suma afișată să fie $100\%$.

12. Într-un studiu pe gândaci s-au notat sexul și culoarea elitrelor:

a) Ce procent dintre masculi au elitre negre? Dar dintre femele? b) Ce procent dintre gândacii cu elitre negre sunt masculi?

13. Un raport spune că, în probele analizate, exact $15\%$ au avut un conținut scăzut de azot, iar exact $42,5\%$ un conținut mediu. Care este cel mai mic număr posibil de probe?

14. Un elev scrie: „Din cele $45$ de larve de libelulă crescute în acvariu, exact $30\%$ au ieșit ca adulți până la sfârșitul lunii.” De ce afirmația nu poate fi adevărată?

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Dintre cele $160$ de facturi emise de o firmă într-o lună, $45\%$ au fost plătite la termen, $30\%$ cu întârziere, iar celelalte nu au fost plătite. Determinați numărul facturilor neplătite.

16. Un set de $60$ de date are trei valori, cu frecvențele relative $0,35$, $0,4$ și $x$. Determină $x$ și frecvențele absolute ale celor trei valori.

17. Fișa tehnică a unui amestec de semințe pentru gazon spune că $75\%$ dintre semințe sunt de raigras și $25\%$ de păiuș. Într-o probă de $240$ de semințe, un elev a numărat $174$ de semințe de raigras și $66$ de păiuș. Calculează frecvențele relative observate, în procente, și diferența față de procentul din fișă al semințelor de raigras.

18. (Provocare.) Trei valori ale unui set au frecvențele relative $\frac{1}{6}$, $\frac{3}{8}$ și $x$, iar setul are între $40$ și $60$ de date. Determină $x$, numărul de date și frecvențele absolute.

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{9}{36}=\frac{1}{4}=0,25=25\%$.

2. $\frac{36}{80}=45\%$, $\frac{20}{80}=25\%$, $\frac{16}{80}=20\%$, $\frac{8}{80}=10\%$. Verificare: $45+25+20+10=100$.

3. $\frac{18}{4000}=0,0045=0,45\%$, adică $4,5$‰.

4. $0,35\cdot 140=49$ de meri.

5. Un circuit în străinătate au ales $14+21=35$ de clienți din $80$, adică $\frac{35}{80}=\frac{7}{16}=43,75\%$. Procentul de $56\%$ este $\frac{14}{25}$: a fost calculat numai printre cei $25$ de clienți cu asigurare, deci răspunde la altă întrebare, „ce parte dintre clienții asigurați au ales un circuit în străinătate”.

6. Adevărat. Cele două fracții au același numărător, celula, iar totalul rândului este cel mult totalul general, fiindcă rândul este o parte din tabel. Cu un numitor mai mic sau egal, fracția este mai mare sau egală. De exemplu, la castanii din Exemplul 3, $\frac{9}{45}=20\%$, iar $\frac{9}{80}=11,25\%$. Cele două procente sunt egale doar când rândul cuprinde toate unitățile sau când celula este $0$.

7. a) A: $\frac{9}{60}=\frac{3}{20}=15\%$; B: $\frac{19}{95}=\frac{1}{5}=20\%$; C: $\frac{21}{70}=\frac{3}{10}=30\%$. Ordinea este C, B, A. b) În A o larvă valorează $\frac{100}{60}\approx 1,67$ procente, în B $\frac{100}{95}\approx 1,05$, în C $\frac{100}{70}\approx 1,43$. c) Diferența este $20-15=5$ puncte procentuale, iar în A o larvă valorează $\frac{5}{3}$ procente, deci $5:\frac{5}{3}=3$ larve: cu încă $3$ larve parazitate, A ar fi avut $\frac{12}{60}=20\%$.

8. Poartă cel puțin o alelă $a$ genotipurile $Aa$ și $aa$: $0,48+0,16=0,64$, adică $64\%$. Același rezultat: $1-0,36=0,64$.

9. Cu lire sterline s-au făcut $200-46-84=70$ de tranzacții, adică $\frac{70}{200}=\frac{7}{20}=0,35=35\%$.

10. a) Lotul A: $\frac{188}{200}=0,94=94\%$. Lotul B: $\frac{282}{300}=0,94=94\%$. Procentele sunt egale, deși lotul B are mai multe semințe încolțite; niciun lot nu e mai bun. b) $0,96\cdot 300=288$ de semințe, adică încă $6$ față de cele încolțite.

11. Procentele exacte: $\frac{9}{23}\approx 39,13\%$, $\frac{7}{23}\approx 30,43\%$, $\frac{4}{23}\approx 17,39\%$, $\frac{3}{23}\approx 13,04\%$. Rotunjite la unități: $39+30+17+13=99$. Părțile întregi dau tot $99$, deci lipsește o unitate, care revine celei mai mari părți fracționare, $0,43$, a culorii aurii. Procentele afișate: $39\%$, $31\%$, $17\%$, $13\%$, cu suma $100\%$.

12. a) Dintre masculi: $\frac{12}{40}=30\%$. Dintre femele: $\frac{18}{60}=30\%$. Proporția e aceeași la ambele sexe. b) Dintre gândacii cu elitre negre: $\frac{12}{30}=40\%$ sunt masculi.

13. $15\%=\frac{3}{20}$ și $42,5\%=\frac{17}{40}$, ambele ireductibile. Numărul de probe trebuie să fie multiplu de $20$ și de $40$, deci cel mai mic este $40$: $6$ probe cu azot scăzut și $17$ cu azot mediu.

14. $0,3\cdot 45=13,5$, iar numărul larvelor transformate trebuie să fie natural. Procentul exact nu poate fi $30\%$; cu $13$ transformări ar fi $\frac{13}{45}\approx 28,9\%$, cu $14$ ar fi $\frac{14}{45}\approx 31,1\%$.

15. Neplătite sunt $100\%-45\%-30\%=25\%$ dintre facturi: $0,25\cdot 160=40$ de facturi.

16. $x=1-0,35-0,4=0,25$. Frecvențele absolute: $0,35\cdot 60=21$, $0,4\cdot 60=24$, $0,25\cdot 60=15$; verificare: $21+24+15=60$.

17. $\frac{174}{240}=0,725=72,5\%$ raigras și $\frac{66}{240}=0,275=27,5\%$ păiuș. Procentul observat al raigrasului este cu $2,5$ puncte procentuale sub cel din fișă, $75\%$; la $240$ de semințe, asta înseamnă $180-174=6$ semințe.

18. $x=1-\frac{1}{6}-\frac{3}{8}=\frac{24-4-9}{24}=\frac{11}{24}$. Numărul de date trebuie să fie multiplu de $6$, de $8$ și de $24$, deci de $24$; între $40$ și $60$ singurul este $48$. Frecvențele absolute: $\frac{48}{6}=8$, $\frac{3\cdot 48}{8}=18$ și $\frac{11\cdot 48}{24}=22$, iar $8+18+22=48$.

De reținut

• Frecvența relativă a unei valori este $f_i=\frac{n_i}{n}$; se scrie ca fracție, ca număr zecimal, în procente ($f_i\cdot 100\%$) sau, pentru valori rare, în promile ($f_i\cdot 1000$‰).
• Pentru orice tabel, $0\le f_i\le 1$ și $\sum f_i=1$, adică $100\%$; egalitatea vine din $\sum n_i=n$.
• Eșantioanele de volume diferite se compară prin frecvențe relative; într-un tabel cu două caracteristici, grupul de referință din întrebare dă numitorul.
• Frecvența relativă a unui grup de valori din același tabel este suma frecvențelor lor relative; din $n_i=f_i\cdot n$, numărul unităților trebuie să iasă natural, iar procentele exacte dau volumul minim.
• Pentru ca procentele rotunjite să însumeze $100\%$, unitățile lipsă se dau categoriilor cu cele mai mari părți fracționare; calculele se fac pe valorile exacte.

Greșeli frecvente

• Promile scrise ca procente. $0,0015$ înseamnă $0,15\%$ sau $1,5$‰; scris „$1,5\%$”, rezultatul crește de zece ori. Controlează întorcându-te la numărul de unități.
• Numitorul luat din alt rând sau din altă coloană. „Ce procent dintre plantele stropite s-au îmbolnăvit?” se raportează la plantele stropite, nu la toate plantele și nici la cele bolnave.
• O diferență mai mică decât o unitate luată drept rezultat. La $60$ de tulpini, o singură tulpină valorează aproximativ $1,67$ procente; două eșantioane de această mărime care diferă cu un procent nu arată o deosebire sigură. Înainte de a compara, calculează cât valorează o unitate în fiecare eșantion.
• Probele „sub limita de detecție” scoase din numitor. Din $16$ probe de sol analizate pentru plumb, $4$ au fost raportate „sub limita de detecție”, iar $3$ au depășit pragul admis. Procentul probelor peste prag este $\frac{3}{16}=18,75\%$, nu $\frac{3}{12}=25\%$: probele nedetectate au fost analizate și sunt sigur sub prag, deci fac parte din grupul de referință.
• Procentul luat drept număr de unități. „$25\%$ dintre pomi” înseamnă $25$ de pomi numai când livada are exact $100$; la $64$ de pomi înseamnă $16$.

Aplică acasă

1. Culorile din parcare. Notează culoarea a $30$ de mașini dintr-o parcare, calculează procentele rotunjite la unități și verifică suma. Dacă nu iese $100$, aplică metoda celor mai mari resturi și scrie cele două variante una sub alta.

2. Procent din ce? Întreabă $20$ de persoane dacă poartă ochelari și dacă petrec zilnic mai mult de trei ore în fața unui ecran. Fă tabelul cu două caracteristici și calculează trei procente pentru aceeași celulă: față de rândul ei, față de coloana ei și față de total. Scrie întrebarea la care răspunde fiecare.

3. Detectivul volumului. Caută un articol sau un comunicat care dă procente cu zecimale (de exemplu $12,5\%$ sau $37,5\%$). Scrie procentele ca fracții ireductibile și află cel mai mic număr de respondenți compatibil cu ele; compară cu numărul declarat în articol, dacă apare.

Pentru părinți și profesori

Lecția mută atenția de la numărătoare la proporție, pas necesar pentru reprezentările grafice și pentru tot ce urmează în unitate. Calculul este de gimnaziu; nou este raționamentul despre numitor: ce eșantion e grupul de referință, ce procent se poate aduna cu altul, ce spun procentele exacte despre volumul eșantionului. Contextele vin din genetică, microbiologie, pomicultură și ecologie, iar cerințele marcate pentru bacalaureat au context financiar, ca în programa de examen 2014.

Întrebări utile la clasă: „Din ce total este procentul acesta?”; „Poate $f_i\cdot n$ să nu fie întreg?”; „Pot aduna aceste două procente?”. Semn că elevul a înțeles: găsește singur grupul de referință într-o întrebare cu „dintre” și verifică un procent întorcându-se la numărul de unități. Pentru lucrul digital, programa cere organizarea datelor în vederea introducerii lor într-o aplicație: tabelul de frecvențe absolute, cu o coloană în care fiecare frecvență e împărțită la celula totalului și afișată în format procentual, permite elevului să vadă imediat cum se schimbă toate procentele când adaugă sau corectează o singură dată. Legătura cu clasa a IX-a este rotunjirea și ordonarea numerelor reale, din lecția despre ordonarea numerelor reale și aproximări; diferența dintre procente și puncte procentuale este tratată în lecția despre procente, dobânzi și TVA. Pasul următor este lecția despre frecvențe cumulate, iar exercițiile de recapitulare sunt în testul de statistică M2. Versiunea pentru mate-info (M1) a acestei lecții: frecvențe relative și procente, mate-info (M1).

Programa și examenul. Lecția urmează programa nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și progresiv până în 2029–2030; la clasa a X-a, capitolul „Statistică și probabilități” numește explicit frecvențele relative, iar la Bacalaureatul 2030 (proba MAT_P2) tema aparține domeniului „Date, statistică matematică și probabilități”. Elevii aflați acum în clasele X–XII sunt pe programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) 2027–2029; programa de examen (OMEN 4430/2014) conține, în capitolul „Matematici financiare”, procentele și „culegerea, clasificarea și prelucrarea datelor statistice”, cu nota că aplicațiile sunt din domeniul financiar. De aceea exercițiile cu procente și frecvențe relative marcate aici sunt „tip Bacalaureat M2”, cu context financiar. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu conține o cerință de statistică, iar exercițiile de aici sunt antrenament pe tema din programă, nu o prezicere a subiectelor.

Întrebări frecvente

Ce diferență este între această lecție la M2 și la mate-info (M1)? Definiția și proprietatea sumei sunt aceleași, dar lecția de la științe ale naturii adaugă promilele pentru valori rare, întrebarea „procent din ce?” într-un tabel cu două caracteristici, volumul minim compatibil cu procente exacte și metoda celor mai mari resturi. Datele vin din genetică, microbiologie și ecologie, iar cerințele de bacalaureat au context financiar.

La ce subiect apar frecvențele relative la bacalaureatul M2? Programa de examen pentru 2027–2029 cere procentele și prelucrarea datelor statistice, în capitolul de matematici financiare, deci o cerință scurtă poate cere un procent dintr-un tabel cu context financiar. Modelul oficial publicat pentru 2026 nu are o cerință de statistică. Pentru proba MAT_P2 din 2030, un model de subiect nu a fost încă publicat.

Când folosesc promile în loc de procente? Când frecvența relativă este foarte mică, cum sunt mutațiile, malformațiile sau semințele cu defecte rare. Un rezultat ca $0,0028$ se citește greu ca $0,28\%$ și ușor ca $2,8$‰, adică aproape trei cazuri la mie. Trecerea e simplă: înmulțești frecvența relativă cu $1000$ în loc de $100$.

Cum aflu cel mai mic număr de date compatibil cu niște procente exacte? Scrii fiecare procent ca fracție ireductibilă și iei cel mai mic multiplu comun al numitorilor. De exemplu, $12,5\%$ și $37,5\%$ devin $\frac{1}{8}$ și $\frac{3}{8}$, deci numărul de date este multiplu de $8$. Metoda merge doar dacă procentele sunt exacte, nu rotunjite.

Ce înseamnă „procent din ce total” într-un tabel cu două caracteristici? Aceeași celulă poate fi raportată la totalul rândului ei, la totalul coloanei ei sau la totalul general, iar fiecare raport răspunde la altă întrebare. Grupul de referință apare în întrebare, de obicei după cuvântul „dintre”: „dintre plantele stropite” cere totalul rândului plantelor stropite.

Pot aduna frecvențele relative a două valori? Da, dacă provin din același tabel: frecvența relativă a grupului format din cele două valori este suma lor, fiindcă au același numitor. Rezultatul trebuie să fie egal cu numărul unităților din grup împărțit la volumul setului, ceea ce îți dă o verificare. Când grupul ajunge să cuprindă toate valorile tabelului, suma devine $1$, adică $100\%$.