Cât face a minus b ori a plus b?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Produsul sumei cu diferența

Face $a^{2} - b^{2}$ : ridici la pătrat fiecare dintre cei doi termeni și le scazi între ele. Termenii din mijloc se anulează între ei, așa că rezultatul are doar două bucăți, nu trei. Astfel $(x - 6) (x + 6) = x^{2} - 36$ . Formula merge și întoarsă, ca să transformi o scădere de pătrate într-un produs, și scurtează calculul mintal: $103 \cdot 97 = 10 0^{2} - 3^{2} = 9991$ .

Când înmulțești o diferență cu o sumă care au aceiași doi termeni, se întâmplă ceva simplu și frumos:

$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$

Termenii „din mijloc" ( $+ ab$ și $- ab$ ) se anulează, așa că rezultatul are doar doi termeni — se numește diferență de pătrate.

Formula merge în ambele sensuri:

direct: transformi un produs în diferență de pătrate — ex. $(x - 6) (x + 6) = x^{2} - 36$ ;
invers (restrângere/descompunere): pornești de la o diferență de pătrate perfecte și scrii produsul — ex. $x^{2} - 49 = (x - 7) (x + 7)$ .

Atenție la coeficienți: se ridică la pătrat tot termenul, ex. $(3 x)^{2} = 9 x^{2}$ , nu $3 x^{2}$ .

E și o superputere de calcul mental: dacă două numere sunt simetrice față de un număr rotund, le scrii ca sumă și diferență. Exemplu: $103 \cdot 97 = (100 + 3) (100 - 3) = 10 0^{2} - 3^{2} = 9991$ .

Nu confunda cu $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ , care are trei termeni!

De reținut

$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$
termenii din mijloc se anulează, deci rezultatul are doi termeni
nu o confunda cu $(a - b)^{2}$ , care are trei termeni

Greșeala tipică

Se adaugă un termen la mijloc, prin analogie cu pătratul unei paranteze. Aici produsele intermediare sunt opuse și se anulează, deci rezultatul rămâne cu doar două bucăți.

Exerciții din această mini-lecție

Calculează: $(y - 4) (y + 4)$ .
- a) $y^{2} - 16$
- b) $y^{2} - 8 y + 16$
- c) $y^{2} + 16$
- d) $4 y^{2} - 16$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $y^{2} - 16$

Aici $a = y$ și $b = 4$ , deci aplicăm direct $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2} = y^{2} - 4^{2} = y^{2} - 16$ .
Scrie ca produs (restrânge) expresia $4 x^{2} - 9$ .
- a) $(4 x - 9) (4 x + 9)$
- b) $(2 x - 3) (2 x + 3)$
- c) $(2 x - 9) (2 x + 9)$
- d) $(x - 3) (x + 3)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(2 x - 3) (2 x + 3)$

$4 x^{2} = (2 x)^{2}$ și $9 = 3^{2}$ , deci extragem rădăcinile: $a = 2 x$ , $b = 3$ , iar rezultatul este $(2 x - 3) (2 x + 3)$ .
Calculează: $(2 m - 5) (2 m + 5)$ .
- a) $4 m^{2} - 25$
- b) $4 m^{2} - 10 m + 25$
- c) $2 m^{2} - 25$
- d) $4 m^{2} + 25$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4 m^{2} - 25$

Aici $a = 2 m$ și $b = 5$ , deci aplicăm direct $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2} = (2 m)^{2} - 5^{2} = 4 m^{2} - 25$ .

Întrebări conexe

Cum aplic formula dacă termenii au coeficienți?

Ridici la pătrat termenul întreg, cu număr cu tot. Din $(5 x - 2) (5 x + 2)$ obții $25 x^{2} - 4$ , nu $5 x^{2} - 4$ . Aceeași grijă se cere și la termeni cu mai multe litere, unde fiecare literă își ridică exponentul.

Ce se întâmplă dacă cele două paranteze nu au aceiași termeni?

Formula nu se mai aplică și trebuie să înmulțești fiecare termen cu fiecare. La $(x - 3) (x + 5)$ termenii din mijloc nu se anulează, iar rezultatul este $x^{2} + 2 x - 15$ , cu trei bucăți. Potrivirea exactă a termenilor este condiția de bază.

Cum folosesc formula ca să scap de radicalul de la numitor?

Înmulțești și sus, și jos cu paranteza care are semnul schimbat. La $\frac{1}{5 - 2}$ înmulțești cu $5 + 2$ și jos obții $5 - 4 = 1$ , deci rezultatul este $5 + 2$ . Radicalul dispare tocmai fiindcă se ridică la pătrat.

Cum verific formula desfăcând paranteza termen cu termen?

Înmulțești fiecare bucată din prima paranteză cu fiecare din a doua și obții patru produse. Două dintre ele sunt opuse și se anulează, iar celelalte două rămân. Verificarea aceasta explică de ce lipsește termenul din mijloc.

Ce arie reprezintă formula pe un desen?

Dintr-un pătrat mare cu latura $a$ scoți un pătrat mic cu latura $b$ ; ce rămâne se poate rearanja într-un dreptunghi cu laturile $a - b$ și $a + b$ . Aria neschimbată explică egalitatea dintre cele două scrieri.

Pot înlocui literele din formulă cu expresii întregi?

Da, formula funcționează pentru orice două expresii, nu doar pentru litere singure. Din $(2 x + y - 3) (2 x + y + 3)$ tratezi grupul $2 x + y$ drept primul termen și obții $(2 x + y)^{2} - 9$ , adică $4 x^{2} + 4 x y + y^{2} - 9$ . Gruparea potrivită a termenilor face toată diferența.

Oamenii mai întreabă și: produsul sumei cu diferența · a minus b ori a plus b · formula care dă diferență de pătrate · cum înmulțesc două paranteze cu aceiași termeni · calcul prescurtat cu sumă și diferență