Sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit

Ți s-a întâmplat vreodată să te întrebi cât de înaltă este o clădire pe care nu o poți urca sau cât de abruptă este o pantă de schi? Inginerii, topografii și proiectanții rezolvă astfel de probleme fără să pună mâna pe scară: măsoară un singur unghi și o singură distanță, iar restul îl calculează. Instrumentul care face posibilă această „magie" se numește trigonometrie, iar în această lecție descoperi primele două noțiuni ale ei: sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit. Vei vedea că totul pornește de la un triunghi dreptunghic obișnuit și de la câteva rapoarte de laturi pe care le poți calcula singur.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici cateta opusă, cateta alăturată și ipotenuza față de un unghi ascuțit dat.
• Vei ști să definești și să calculezi sinusul unui unghi ascuțit ca raport dintre cateta opusă și ipotenuză.
• Vei ști să definești și să calculezi cosinusul unui unghi ascuțit ca raport dintre cateta alăturată și ipotenuză.
• Vei ști să folosești sin și cos pentru a afla o latură necunoscută a unui triunghi dreptunghic.
• Vei ști să recunoști relația ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ și de ce sinusul și cosinusul sunt mereu numere între 0 și 1.

Hai să descoperim împreună

1. De la ce pornim: triunghiul dreptunghic

Din lecțiile anterioare știi deja foarte multe despre triunghiul dreptunghic: are un unghi drept (de $90°$), iar celelalte două unghiuri sunt ascuțite (fiecare mai mic de $90°$) și sunt complementare (împreună dau $90°$). Latura cea mai lungă, cea opusă unghiului drept, se numește ipotenuză, iar celelalte două laturi se numesc catete.

Ai învățat și Teorema lui Pitagora (vezi lecția), care leagă lungimile celor trei laturi. Acum facem un pas nou: nu ne mai interesează doar lungimile laturilor, ci rapoartele dintre ele. Vei vedea că aceste rapoarte depind numai de mărimea unghiului, nu de cât de mare este triunghiul. Aceasta este ideea genială din spatele trigonometriei.

2. Cateta opusă, cateta alăturată și ipotenuza față de un unghi

Aici este cheia întregii lecții, așa că mergem încet. Alege un unghi ascuțit al triunghiului dreptunghic — să zicem unghiul $A$. Față de acest unghi, cele trei laturi capătă nume speciale:

• Ipotenuza este mereu latura opusă unghiului drept. Ea nu se schimbă niciodată, indiferent de ce unghi ascuțit alegem. În triunghiul $ABC$ cu unghiul drept în $C$, ipotenuza este $AB$.
• Cateta opusă unghiului $A$ este latura care „stă în fața" unghiului $A$, adică latura care nu trece prin vârful $A$. Ea este $BC$.
• Cateta alăturată unghiului $A$ este cateta care „pleacă" din vârful $A$ (dar nu este ipotenuza). Ea este $AC$.

O regulă simplă de reținut: cateta opusă este cea pe care NU o atingi când stai în vârful unghiului, iar cateta alăturată este cea pe care O atingi (fără să fie ipotenuza).

Atenție la un lucru foarte important: numele „opusă" și „alăturată" depind de unghiul ales! Dacă în același triunghi ne uităm la celălalt unghi ascuțit, $B$, atunci:

• cateta opusă lui $B$ este $AC$ (s-a schimbat!),
• cateta alăturată lui $B$ este $BC$ (s-a schimbat!),
• ipotenuza rămâne tot $AB$ (aceasta nu se schimbă niciodată).

Cu alte cuvinte, cele două catete își schimbă rolurile când trecem de la un unghi ascuțit la celălalt. Ipotenuza este singura latură „stabilă".

3. De ce rapoartele depind doar de unghi

Înainte să definim sinusul și cosinusul, hai să înțelegem de ce ideea funcționează. Imaginează-ți două scări sprijinite de un perete vertical, ambele la același unghi față de sol — una scurtă și una lungă. Deși scările au lungimi diferite, „forma" celor două triunghiuri formate (scară–perete–sol) este aceeași. Sunt triunghiuri asemenea (vezi asemănarea).

Din lecția despre asemănare știi că în triunghiurile asemenea raportul laturilor corespunzătoare este constant. Deci, dacă în ambele triunghiuri calculez $\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza}}$, obțin exact același număr, chiar dacă triunghiurile au dimensiuni diferite. Acest număr depinde numai de mărimea unghiului.

Tocmai de aceea putem da un nume acestui raport: el este o „proprietate a unghiului", nu a unui anumit triunghi. Iar acest nume este sinus.

4. Definiția sinusului unui unghi ascuțit

Suntem gata pentru prima definiție importantă a lecției.

Definiție. Fie un unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic. Sinusul acelui unghi este raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului și lungimea ipotenuzei.

În triunghiul $ABC$ cu $m(\angle C)=90°$, pentru unghiul $A$ scriem:

$$\sin A=\frac{\text{cateta opusa˘ lui }A}{\text{ipotenuza}}=\frac{BC}{AB}.$$

Se citește „sinus de $A$". O propoziție-cheie de memorat: sinus = opusă supra ipotenuză.

Să facem un mini-exemplu numeric. Presupunem $BC=3$, $AC=4$, iar din Pitagora $AB=5$. Atunci:

$$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{3}{5}=0,6.$$

Observă că sinusul este un număr, fără unitate de măsură (centimetrii se simplifică între ei), și că este cuprins între 0 și 1. Vom vedea imediat de ce.

5. Definiția cosinusului unui unghi ascuțit

A doua definiție-cheie este perechea naturală a sinusului.

Definiție. Fie un unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic. Cosinusul acelui unghi este raportul dintre lungimea catetei alăturate unghiului și lungimea ipotenuzei.

Pentru unghiul $A$ din triunghiul $ABC$:

$$\cos A=\frac{\text{cateta ala˘turata˘ lui }A}{\text{ipotenuza}}=\frac{AC}{AB}.$$

Fraza de memorat: cosinus = alăturată supra ipotenuză.

Cu valorile de mai sus ($AC=4$, $AB=5$):

$$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}=0,8.$$

Multor elevi le place un truc mnemotehnic pentru a nu confunda cele două rapoarte. În engleză se folosește „SOH-CAH": Sinus = Opusă/Hipotenuză, Cosinus = Alăturată/Hipotenuză. În română putem reține simplu: sinusul se uită la latura din față (opusă), cosinusul la latura de lângă (alăturată), ambele împărțite la ipotenuză.

6. De ce sinusul și cosinusul sunt între 0 și 1

Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este cea mai lungă latură. De ce? Pentru că este opusă celui mai mare unghi (unghiul drept). Așadar fiecare catetă este mai scurtă decât ipotenuza.

De aici rezultă că atât cateta opusă, cât și cea alăturată sunt mai mici decât ipotenuza, deci fiecare raport este mai mic decât 1. Și, evident, ambele rapoarte sunt pozitive (lungimile sunt pozitive). Prin urmare, pentru orice unghi ascuțit $x$:

$$0<\sin x<1\text{și}0<\cos x<1.$$

Reține concluzia: sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit sunt întotdeauna numere cuprinse strict între 0 și 1. Dacă îți iese vreodată un sinus egal cu $2$ sau cu $\frac{7}{5}$, știi sigur că ai greșit undeva calculul.

7. Legătura dintre sinus și cosinus (unghiuri complementare)

Am spus că cele două unghiuri ascuțite ale triunghiului sunt complementare: $m(\angle A)+m(\angle B)=90°$. Se întâmplă ceva foarte frumos. Cateta $BC$ este opusă lui $A$, dar este alăturată lui $B$. Deci:

$$\sin A=\frac{BC}{AB}=\cos B.$$

La fel, $\cos A=\frac{AC}{AB}=\sin B$. Cu alte cuvinte:

Sinusul unui unghi este egal cu cosinusul complementului său. Dacă $A+B=90°$, atunci $\sin A=\cos B$ și $\cos A=\sin B$.

De aici vine chiar și numele: „cosinus" înseamnă „sinusul complementului" (co-sinus = complement-sinus). Un exemplu: $\sin 30°=\cos 60°$ și $\cos 30°=\sin 60°$.

8. Relația fundamentală: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

Există o legătură și mai puternică între sinusul și cosinusul aceluiași unghi. Pornim de la Teorema lui Pitagora în triunghiul $ABC$ cu unghiul drept în $C$:

$$B{C}^2+A{C}^2=A{B}^2.$$

Împărțim toată egalitatea la $A{B}^2$ (număr pozitiv, deci avem voie):

$$\frac{B{C}^2}{A{B}^2}+\frac{A{C}^2}{A{B}^2}=\frac{A{B}^2}{A{B}^2}=1.$$

Dar $\frac{B{C}^2}{A{B}^2}={\left(\frac{BC}{AB}\right)}^2={\sin }^{2}A$ și $\frac{A{C}^2}{A{B}^2}={\left(\frac{AC}{AB}\right)}^2={\cos }^{2}A$. Am obținut relația fundamentală a trigonometriei:

$$\boxed{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1}$$

(Notația ${\sin }^{2}x$ înseamnă $(\sin x{)}^2$.) Această relație este extrem de utilă: dacă știi sinusul unui unghi, poți afla cosinusul lui fără să mai desenezi triunghiul, și invers.

Verificăm cu valorile noastre: $\sin A=0,6$, $\cos A=0,8$. Atunci $0,6^2+0,8^2=0,36+0,64=1$.

9. Cum folosim sin și cos pentru a afla o latură

Din definiții putem „scoate" orice latură dacă știm unghiul și o altă latură. Din $\sin A=\frac{\text{opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}}$ obținem:

$$\text{opusa˘}=\text{ipotenuza˘}\cdot \sin A,\text{ipotenuza˘}=\frac{\text{opusa˘}}{\sin A}.$$

Din $\cos A=\frac{\text{ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza˘}}$ obținem:

$$\text{ala˘turata˘}=\text{ipotenuza˘}\cdot \cos A,\text{ipotenuza˘}=\frac{\text{ala˘turata˘}}{\cos A}.$$

Practic, alegi formula care conține latura necunoscută și latura cunoscută, apoi rezolvi ecuația. Vom exersa mult acest lucru în exemple. Reține strategia: întâi identifici față de ce unghi ești, apoi decizi dacă latura este opusă sau alăturată, apoi alegi sinus sau cosinus.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calculul lui sin și cos din laturi date

Enunț. În triunghiul dreptunghic $MNP$ cu $m(\angle P)=90°$ avem $MP=6$ cm, $NP=8$ cm. Calculează $\sin M$ și $\cos M$.

Rezolvare. Unghiul drept este în $P$, deci ipotenuza este $MN$. O aflăm cu Pitagora:

$$MN=\sqrt{M{P}^2+N{P}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{ cm}.$$

Ne poziționăm față de unghiul $M$:

• cateta opusă lui $M$ este $NP=8$ (nu trece prin $M$),
• cateta alăturată lui $M$ este $MP=6$ (pleacă din $M$),
• ipotenuza este $MN=10$.

Prin urmare:

$$\sin M=\frac{NP}{MN}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}=0,8,\cos M=\frac{MP}{MN}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}=0,6.$$

Verificare: ${\sin }^{2}M+{\cos }^{2}M=0,8^2+0,6^2=0,64+0,36=1$. Corect.

Exemplul 2 — Calculul lui sin și cos pentru celălalt unghi

Enunț. Folosind triunghiul din Exemplul 1, calculează $\sin N$ și $\cos N$. Ce observi?

Rezolvare. Acum ne poziționăm față de unghiul $N$:

• cateta opusă lui $N$ este $MP=6$,
• cateta alăturată lui $N$ este $NP=8$,
• ipotenuza rămâne $MN=10$.

Deci:

$$\sin N=\frac{MP}{MN}=\frac{6}{10}=0,6,\cos N=\frac{NP}{MN}=\frac{8}{10}=0,8.$$

Observație. $\sin N=\cos M=0,6$ și $\cos N=\sin M=0,8$. Acest lucru se întâmplă fiindcă $M$ și $N$ sunt unghiuri complementare ($M+N=90°$). Se confirmă regula: sinusul unui unghi este cosinusul complementului său.

Exemplul 3 — Folosim relația fundamentală

Enunț. Un unghi ascuțit $x$ are $\sin x=\frac{5}{13}$. Calculează $\cos x$.

Rezolvare. Folosim relația fundamentală ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, deci:

$${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2=1-\frac{25}{169}=\frac{169-25}{169}=\frac{144}{169}.$$

Cum $x$ este ascuțit, $\cos x>0$, deci luăm rădăcina pozitivă:

$$\cos x=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}.$$

Verificare: ${\left(\frac{5}{13}\right)}^2+{\left(\frac{12}{13}\right)}^2=\frac{25}{169}+\frac{144}{169}=\frac{169}{169}=1$. Corect. (Recunoști tripletul pitagoreic $5$–$12$–$13$.)

Exemplul 4 — Aflarea unei laturi cu sinusul

Enunț. În triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $m(\angle B)=90°$, ipotenuza $AC=20$ cm, iar pentru unghiul $A$ se știe că $\sin A=0,6$. Află lungimea catetei $BC$.

Rezolvare. Ne uităm față de unghiul $A$. Cateta $BC$ este opusă lui $A$ (nu trece prin $A$), iar $AC$ este ipotenuza. Folosim definiția sinusului:

$$\sin A=\frac{BC}{AC}\Rightarrow BC=AC\cdot \sin A=20\cdot 0,6=12\text{ cm}.$$

Deci $BC=12$ cm.

Bonus. Putem afla și cateta $AB$ (alăturată lui $A$). Din ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ avem $\cos A=\sqrt{1-0,36}=\sqrt{0,64}=0,8$, deci $AB=AC\cdot \cos A=20\cdot 0,8=16$ cm. Verificare cu Pitagora: $12^2+16^2=144+256=400=20^2$. Corect.

Exemplul 5 — Aflarea ipotenuzei cu cosinusul

Enunț. O scară sprijinită de un perete face cu solul un unghi $\alpha$ pentru care $\cos \alpha =0,75$. Piciorul scării este la $3$ m de perete (distanța pe orizontală). Ce lungime are scara?

Rezolvare. Modelăm situația cu un triunghi dreptunghic: scara este ipotenuza (o notăm $L$), distanța pe orizontală de la perete la piciorul scării ($3$ m) este cateta alăturată unghiului $\alpha$, iar peretele este cateta opusă. Folosim cosinusul, pentru că el leagă alăturata de ipotenuză:

$$\cos \alpha =\frac{\text{ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza˘}}=\frac{3}{L}\Rightarrow 0,75=\frac{3}{L}.$$

Rezolvăm ecuația: $L=\frac{3}{0,75}=4$ m. Scara are lungimea de $4$ metri.

Exemplul 6 — Adevărat sau fals, cu justificare

Enunț. Un elev afirmă: „Există un unghi ascuțit $x$ pentru care $\sin x=1,2$." Este adevărat? Justifică.

Rezolvare. Afirmația este falsă. Pentru orice unghi ascuțit, cateta opusă este mai scurtă decât ipotenuza, deci $\sin x=\frac{\text{opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}}<1$. Un sinus egal cu $1,2$ ar însemna că o catetă este mai lungă decât ipotenuza, ceea ce este imposibil într-un triunghi dreptunghic. Concluzie: sinusul unui unghi ascuțit este mereu strict mai mic decât 1.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu toate calculele. Unde apare o construcție, fă un desen clar.

1. În triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $m(\angle C)=90°$, notează pentru unghiul $A$: care este cateta opusă, care este cateta alăturată și care este ipotenuza.

2. Scrie definiția sinusului și a cosinusului unui unghi ascuțit sub formă de fracție (opusă/ipotenuză și alăturată/ipotenuză).

3. Într-un triunghi dreptunghic, catetele au $9$ cm și $12$ cm. Calculează lungimea ipotenuzei.

4. Pentru triunghiul de la exercițiul 3, calculează sinusul și cosinusul unghiului opus catetei de $9$ cm.

5. În triunghiul dreptunghic $DEF$ cu $m(\angle E)=90°$, $DE=5$, $EF=12$. Calculează $\sin D$ și $\cos D$.

6. Folosind datele de la exercițiul 5, calculează $\sin F$ și $\cos F$. Ce relație observi între rezultatele de la 5 și 6?

7. Un unghi ascuțit are $\cos x=\frac{8}{17}$. Calculează $\sin x$ folosind relația fundamentală.

8. Adevărat sau fals, cu justificare: „Cosinusul oricărui unghi ascuțit este un număr mai mare decât 1."

9. În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($m(\angle B)=90°$), ipotenuza $AC=15$ cm și $\sin A=\frac{3}{5}$. Află cateta $BC$ (opusă lui $A$).

10. Pentru triunghiul de la exercițiul 9, află și cateta $AB$ (folosește cosinusul sau Pitagora).

11. O rampă pentru biciclete are cateta alăturată unghiului de la bază de $6$ m, iar $\cos \alpha =0,6$. Ce lungime are rampa (ipotenuza)?

12. Completează: dacă $\sin A=0,28$, atunci $\cos (90°-A)=\underline{}$. (Folosește regula unghiurilor complementare.)

13. Un unghi ascuțit $x$ are $\sin x=\frac{7}{25}$. Calculează $\cos x$ și apoi verifică relația ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.

14. Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este $26$ cm și o catetă este $10$ cm. Calculează sinusul și cosinusul unghiului alăturat catetei de $10$ cm.

15. Adevărat sau fals, cu justificare: „Într-un triunghi dreptunghic, sinusul unui unghi ascuțit poate fi egal cu cosinusul celuilalt unghi ascuțit."

16. Un turn proiectează pe sol, la un moment al zilei, o umbră. Modelând soarele, turnul și umbra printr-un triunghi dreptunghic, se știe că $\sin \alpha =0,8$, unde $\alpha$ este unghiul dintre raza de soare (ipotenuza) și sol, iar raza „ajunge" din vârful turnului la capătul umbrei pe o distanță de $30$ m. Cât de înalt este turnul?

17. Un unghi ascuțit are $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Calculează $\cos x$. (Vei reîntâlni această valoare la unghiul de $60°$.)

18. Provocare. În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($m(\angle A)=90°$), se știe că $\sin B=\frac{4}{5}$ și ipotenuza $BC=30$ cm. Află perimetrul triunghiului.

Răspunsuri și explicații

1. Cateta opusă lui $A$ este $BC$; cateta alăturată lui $A$ este $AC$; ipotenuza este $AB$ (opusă unghiului drept din $C$).

2. $\sin (\text{unghi})=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}}$ și $\cos (\text{unghi})=\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza˘}}$.

3. Ipotenuza $=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$ cm.

4. Unghiul opus catetei de $9$ îl notăm $\theta$. Cateta opusă lui $\theta$ este $9$, cea alăturată este $12$, ipotenuza $15$. Deci $\sin \theta =\frac{9}{15}=\frac{3}{5}=0,6$ și $\cos \theta =\frac{12}{15}=\frac{4}{5}=0,8$.

5. Ipotenuza $DF=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$. Față de $D$: opusă $=EF=12$, alăturată $=DE=5$. Deci $\sin D=\frac{12}{13}$ și $\cos D=\frac{5}{13}$.

6. Față de $F$: opusă $=DE=5$, alăturată $=EF=12$. Deci $\sin F=\frac{5}{13}$, $\cos F=\frac{12}{13}$. Se observă că $\sin F=\cos D$ și $\cos F=\sin D$, pentru că $D$ și $F$ sunt complementare.

7. ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x=1-\frac{64}{289}=\frac{225}{289}$, deci $\sin x=\frac{15}{17}$ (rădăcina pozitivă, unghi ascuțit).

8. Fals. Cateta alăturată este mai scurtă decât ipotenuza, deci $\cos x=\frac{\text{ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza˘}}<1$ pentru orice unghi ascuțit.

9. $BC=AC\cdot \sin A=15\cdot \frac{3}{5}=9$ cm.

10. $\cos A=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$, deci $AB=AC\cdot \cos A=15\cdot \frac{4}{5}=12$ cm. (Verificare Pitagora: $9^2+12^2=225=15^2$.)

11. $\cos \alpha =\frac{\text{ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza˘}}=\frac{6}{L}$, deci $0,6=\frac{6}{L}$, de unde $L=\frac{6}{0,6}=10$ m.

12. $\cos (90°-A)=\sin A=0,28$ (cosinusul complementului este chiar sinusul unghiului).

13. ${\cos }^{2}x=1-\frac{49}{625}=\frac{576}{625}$, deci $\cos x=\frac{24}{25}$. Verificare: $\frac{49}{625}+\frac{576}{625}=\frac{625}{625}=1$. Corect.

14. Cealaltă catetă $=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{676-100}=\sqrt{576}=24$. Fie $\beta$ unghiul alăturat catetei de $10$: cateta alăturată lui $\beta$ este $10$, opusă este $24$. Deci $\cos \beta =\frac{10}{26}=\frac{5}{13}$ și $\sin \beta =\frac{24}{26}=\frac{12}{13}$.

15. Adevărat. Cele două unghiuri ascuțite sunt complementare ($A+B=90°$), iar sinusul unui unghi este egal cu cosinusul complementului: $\sin A=\cos B$. De exemplu, cateta opusă lui $A$ este alăturată lui $B$, împărțită la aceeași ipotenuză.

16. Turnul este cateta opusă unghiului $\alpha$, iar ipotenuza este $30$ m. Deci înălțimea $=30\cdot \sin \alpha =30\cdot 0,8=24$ m.

17. ${\cos }^{2}x=1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$, deci $\cos x=\frac{1}{2}$.

18. Față de $B$: opusă $=AC$, alăturată $=AB$, ipotenuză $=BC=30$. Din $\sin B=\frac{AC}{BC}$ avem $AC=30\cdot \frac{4}{5}=24$. Apoi $\cos B=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5}$, deci $AB=30\cdot \frac{3}{5}=18$. Perimetrul $=AB+AC+BC=18+24+30=72$ cm.

De reținut

• Față de un unghi ascuțit, cateta opusă este latura din fața lui, cateta alăturată este cateta care pleacă din vârful unghiului, iar ipotenuza este mereu latura opusă unghiului drept.
• $\sin (\text{unghi})=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}}$ și $\cos (\text{unghi})=\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza˘}}$.
• Pentru orice unghi ascuțit: $0<\sin x<1$ și $0<\cos x<1$ (catetele sunt mai scurte decât ipotenuza).
• Relația fundamentală: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Dacă știi unul, îl afli pe celălalt.
• Pentru unghiuri complementare ($A+B=90°$): $\sin A=\cos B$ și $\cos A=\sin B$.

Greșeli frecvente

• Confuzia opusă ↔ alăturată. Mulți elevi împart la latura greșită. Verifică mereu: stai „în vârful" unghiului — cateta pe care o atingi este alăturata, cea din față este opusa. Ipotenuza nu este niciodată „alăturată" în sensul definiției, chiar dacă atinge unghiul.
• Împărțirea la cateta greșită în loc de ipotenuză. Atât la sinus, cât și la cosinus, numitorul este întotdeauna ipotenuza, nu cealaltă catetă. (Raportul dintre catete se numește tangentă și îl vei studia în lecția următoare.)
• Rezultate mai mari decât 1. Dacă îți iese $\sin x>1$ sau $\cos x>1$, ai greșit sigur: ai pus probabil ipotenuza la numărător. Sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit sunt mereu sub 1.
• Uitarea de a afla mai întâi ipotenuza. Când ai doar cele două catete, calculează ipotenuza cu Pitagora înainte de a scrie sin sau cos.

Aplică acasă

• Măsoară o rampă sau o pantă. Găsește o rampă (de la un magazin, o parcare) sau chiar treptele scării. Măsoară cu ruleta lungimea rampei (ipotenuza) și distanța pe orizontală (alăturata), apoi calculează cosinusul unghiului de la bază. Compară două rampe: care este mai abruptă (cosinus mai mic)?

• Umbra unui obiect. Într-o zi însorită, înfige un băț vertical în pământ și măsoară bățul (cateta opusă) și lungimea umbrei (cateta alăturată). Calculează ipotenuza cu Pitagora, apoi sinusul și cosinusul unghiului dintre razele soarelui și sol. Repetă la altă oră și observă cum se schimbă valorile odată cu poziția soarelui.

• Triplete pitagoreice acasă. Desenează pe hârtie milimetrică triunghiuri dreptunghice cu laturile $3$–$4$–$5$, $6$–$8$–$10$ și $5$–$12$–$13$. Calculează $\sin$ și $\cos$ pentru unghiurile ascuțite și verifică de fiecare dată că ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este primul contact al elevului cu trigonometria, așa că accentul trebuie pus pe înțelegerea rapoartelor, nu pe memorare mecanică. Cel mai frecvent obstacol este identificarea corectă a catetei opuse și a celei alăturate în funcție de unghiul ales; ajută foarte mult să cereți copilului să deseneze triunghiul și să coloreze/eticheteze laturile de fiecare dată.

Întrebări bune de verificare: „Care este ipotenuza în acest triunghi și de ce?", „Pentru unghiul acesta, care catetă este opusă și care alăturată?", „De ce nu poate sinusul să fie egal cu 2?", „Dacă știi $\sin x$, cum afli $\cos x$?". Dacă elevul răspunde corect la aceste patru întrebări și rezolvă un exercițiu ca 9 sau 14, a înțeles esența. Un semn clar de stăpânire este când poate explica singur de ce rapoartele depind doar de unghi (asemănarea triunghiurilor) și când folosește relația fundamentală fără să mai redeseneze triunghiul.

Întrebări frecvente

Ce este sinusul unui unghi ascuțit la clasa a 7-a? Sinusul unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre lungimea catetei opuse unghiului și lungimea ipotenuzei. Este un număr fără unitate de măsură, cuprins mereu între 0 și 1. Se notează $\sin$ și se citește „sinus".

Care este diferența dintre sinus și cosinus? Amândouă se împart la ipotenuză, dar la numărător pun laturi diferite: sinusul folosește cateta opusă unghiului, iar cosinusul folosește cateta alăturată. Pe scurt: sinus = opusă/ipotenuză, cosinus = alăturată/ipotenuză.

Cum știu care este cateta opusă și care este cea alăturată? Alege unghiul ascuțit și „stai" în vârful lui. Cateta care pleacă din acel vârf (și nu este ipotenuza) este cea alăturată, iar cateta din fața unghiului, care nu îl atinge, este cea opusă. Rolurile se schimbă dacă treci la celălalt unghi ascuțit.

Poate sinusul sau cosinusul să fie mai mare decât 1? Nu, pentru un unghi ascuțit. Ipotenuza este cea mai lungă latură, deci fiecare catetă este mai scurtă decât ea, iar raportul catetă/ipotenuză iese mereu strict între 0 și 1. Dacă îți iese un rezultat peste 1, ai făcut o greșeală de calcul.

Ce înseamnă relația ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$? Este relația fundamentală a trigonometriei și spune că suma pătratelor sinusului și cosinusului aceluiași unghi este mereu 1. Ea provine direct din Teorema lui Pitagora și îți permite să afli cosinusul dacă știi sinusul (sau invers).

De ce sinusul unui unghi este egal cu cosinusul altui unghi? Pentru că cele două unghiuri ascuțite ale unui triunghi dreptunghic sunt complementare (dau împreună $90°$), iar aceeași catetă este opusă unuia și alăturată celuilalt. Astfel $\sin A=\cos B$ și $\cos A=\sin B$ când $A+B=90°$.

La ce folosesc sinusul și cosinusul în viața reală? Se folosesc pentru a calcula înălțimi și distanțe greu de măsurat direct: înălțimea unei clădiri din umbră, lungimea unei scări sau a unei rampe, panta unui drum, poziții în navigație și în construcții. Cu un unghi și o distanță poți afla restul laturilor unui triunghi dreptunghic.

Trebuie să știu valorile lui sin și cos pentru unghiuri anume? La clasa a VII-a vei învăța valorile pentru unghiurile speciale de $30°$, $45°$ și $60°$ într-o lecție dedicată. Pentru moment este suficient să știi definițiile și să calculezi sin și cos din laturile date ale triunghiului.