Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea

Ai văzut vreodată două fotografii ale aceleiași imagini, una mică și una mărită? Sau planul unei case, tipărit „la scară", alături de casa reală? În toate aceste situații, formele sunt aceleași, dar dimensiunile diferă printr-un factor constant. Aici intervine ceva surprinzător: dacă lungimile cresc de 2 ori, aria nu crește tot de 2 ori, ci de 4 ori. În această lecție despre raportul ariilor a două triunghiuri asemenea (clasa 7) vei descoperi de ce se întâmplă asta și cum poți folosi această regulă pentru a calcula arii rapid, fără să măsori totul de la zero.

Ce vei învăța

• Vei ști să afli raportul perimetrelor a două triunghiuri asemenea și de ce el este egal cu raportul de asemănare.
• Vei ști că raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare.
• Vei ști să calculezi aria unui triunghi când cunoști aria celuilalt și raportul de asemănare.
• Vei ști să compari perimetrele și ariile a două triunghiuri asemenea.
• Vei ști să aplici aceste reguli în probleme practice de geometrie.

Hai să descoperim împreună

Reamintim ce înseamnă triunghiuri asemenea

Din lecțiile Triunghiuri asemenea. Raportul de asemănare și Criterii de asemănare a triunghiurilor știi deja că două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile respectiv proporționale.

Scriem $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ și înțelegem că:

$$\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }}{BC}=\frac{A^{\prime }{C}^{\prime }}{AC}=k.$$

Numărul $k$ se numește raportul de asemănare. El ne spune de câte ori sunt mai mari (sau mai mici) laturile triunghiului $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ față de laturile triunghiului $ABC$.

Ideea centrală a lecției de azi: dacă știm cum se schimbă laturile, putem afla exact cum se schimbă perimetrul și aria, fără să recalculăm totul.

Pasul 1: raportul perimetrelor

Să pornim de la ceva simplu. Perimetrul unui triunghi este suma laturilor lui.

Pentru $△ABC$: $P=AB+BC+AC.$

Pentru $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$: $P^{\prime }=A^{\prime }{B}^{\prime }+B^{\prime }{C}^{\prime }+A^{\prime }{C}^{\prime }.$

Dar știm că fiecare latură a celui de-al doilea triunghi este de $k$ ori latura corespunzătoare din primul:

$$A^{\prime }{B}^{\prime }=k\cdot AB,B^{\prime }{C}^{\prime }=k\cdot BC,A^{\prime }{C}^{\prime }=k\cdot AC.$$

Adunăm aceste trei egalități:

$$P^{\prime }=k\cdot AB+k\cdot BC+k\cdot AC=k(AB+BC+AC)=k\cdot P.$$

Am dat factor comun pe $k$. Rezultă imediat:

$$\boxed{\frac{P^{\prime }}{P}=k}$$

Concluzie: raportul perimetrelor a două triunghiuri asemenea este egal cu raportul de asemănare. Simplu și elegant. Dacă laturile sunt de 3 ori mai mari, și perimetrul este de 3 ori mai mare.

Are sens intuitiv: perimetrul este o lungime (se măsoară în centimetri, metri etc.), la fel ca laturile, deci se schimbă exact în același ritm cu laturile.

Pasul 2: de ce aria se comportă altfel

Acum vine partea interesantă. Aria nu este o lungime, ci o suprafață — se măsoară în centimetri pătrați, metri pătrați etc. Iar suprafețele se schimbă după alt tipar.

Să facem un experiment de gândire cu un pătrat, ca să simțim ideea. Ia un pătrat cu latura de $1$ cm; aria lui este $1\times 1=1$ cm². Mărește latura de $2$ ori, deci la $2$ cm. Noua arie este $2\times 2=4$ cm². Latura a crescut de $2$ ori, dar aria a crescut de $4=2^2$ ori!

Dacă mărești latura de $3$ ori (la $3$ cm), aria devine $3\times 3=9=3^2$ cm². Vezi tiparul? La suprafețe, factorul apare la pătrat. Motivul este că aria se obține înmulțind două lungimi (bază × înălțime, sau latură × latură), iar fiecare dintre cele două lungimi crește de $k$ ori — deci produsul crește de $k\times k=k^2$ ori.

Exact acest fenomen se întâmplă și la triunghiuri. Să-l demonstrăm riguros.

Pasul 3: demonstrația pentru triunghiuri

Fie $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu raportul de asemănare $k$. Notăm ariile lor cu $\mathcal{A}$, respectiv ${\mathcal{A}}^{\prime }$.

Din lecția Aria triunghiului știm formula:

$$\mathcal{A}=\frac{\text{baza˘}\times \text{ıˆna˘lțime}}{2}.$$

Alegem ca bază latura $BC$ și ducem înălțimea din $A$, pe care o notăm $h$. Analog, în al doilea triunghi luăm baza $B^{\prime }{C}^{\prime }$ și înălțimea din $A^{\prime }$, notată $h^{\prime }$.

Cheia demonstrației este că, la triunghiuri asemenea, și înălțimile corespunzătoare respectă același raport ca laturile. De ce? Pentru că înălțimea din $A$ formează un triunghi dreptunghic cu o parte a bazei, iar acel triunghi mic este, la rândul lui, asemenea cu cel din al doilea triunghi (au aceleași unghiuri). Prin urmare:

$$\frac{h^{\prime }}{h}=k⟹h^{\prime }=k\cdot h.$$

Reține și: $B^{\prime }{C}^{\prime }=k\cdot BC.$

Acum scriem cele două arii:

$$\mathcal{A}=\frac{BC\cdot h}{2},{\mathcal{A}}^{\prime }=\frac{B^{\prime }{C}^{\prime }\cdot h^{\prime }}{2}=\frac{(k\cdot BC)\cdot (k\cdot h)}{2}=\frac{k^2\cdot BC\cdot h}{2}.$$

Facem acum raportul ariilor:

$$\frac{{\mathcal{A}}^{\prime }}{\mathcal{A}}=\frac{\frac{k^2\cdot BC\cdot h}{2}}{\frac{BC\cdot h}{2}}=k^2.$$

Am obținut rezultatul central al lecției:

$$\boxed{\frac{{\mathcal{A}}^{\prime }}{\mathcal{A}}=k^2}$$

Teoremă: Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare.

O verificare numerică concretă. Ca să vezi că teorema chiar funcționează, hai să luăm un exemplu cu numere. Un triunghi dreptunghic cu catetele de $3$ cm și $4$ cm are aria $\frac{3\cdot 4}{2}=6$ cm². Un al doilea triunghi dreptunghic, cu catetele de $6$ cm și $8$ cm, este asemenea cu primul (unghiurile sunt aceleași, iar $\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=2$, deci $k=2$). Aria lui este $\frac{6\cdot 8}{2}=24$ cm². Facem raportul ariilor: $\frac{24}{6}=4=2^2=k^2$. Exact cât spune teorema! Poți repeta jocul cu orice pereche de triunghiuri asemenea și vei obține mereu $k^2$ la raportul ariilor.

Pasul 4: cele trei relații împreună

Să adunăm tot ce am descoperit într-un tablou clar. Dacă $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu raportul de asemănare $k$, atunci:

$$\frac{{\text{latura˘}}^{\prime }}{\text{latura˘}}=k,\frac{P^{\prime }}{P}=k,\frac{{\mathcal{A}}^{\prime }}{\mathcal{A}}=k^2.$$

Cu cuvinte:

• Laturile se află în raportul $k$.
• Perimetrele se află în același raport $k$ (perimetrul e o lungime).
• Ariile se află în raportul $k^2$ (aria e o suprafață).

Observație foarte utilă la teste: dacă cunoști raportul ariilor și vrei raportul de asemănare, faci radical:

$$k=\sqrt{\frac{{\mathcal{A}}^{\prime }}{\mathcal{A}}}.$$

De exemplu, dacă raportul ariilor este $\frac{25}{9}$, atunci raportul de asemănare este $\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}$. Aici se leagă frumos capitolul de asemănare cu capitolul de radicali pe care l-ai studiat la începutul anului (vezi Pătrate perfecte și rădăcina pătrată).

Pasul 5: cum calculezi o arie cunoscând-o pe cealaltă

Cea mai frecventă aplicație practică: știi aria unui triunghi și raportul de asemănare și vrei aria celuilalt. Din relația $\frac{{\mathcal{A}}^{\prime }}{\mathcal{A}}=k^2$ scoatem:

$${\mathcal{A}}^{\prime }=k^2\cdot \mathcal{A}.$$

Deci înmulțești aria cunoscută cu $k^2$ pentru a merge de la triunghiul mic spre cel mare. Dacă mergi invers, de la mare spre mic, împarți la $k^2$ (sau înmulțești cu $\frac{1}{k^2}$).

Un mic sfat de ordine a pașilor, valabil la aproape orice problemă de acest tip:

1. Scrie clar raportul de asemănare $k$ (ai grijă care triunghi e „la numărător").
2. Ridică-l la pătrat: $k^2$.
3. Înmulțește (sau împarte) aria cunoscută cu $k^2$.
4. Nu uita unitatea de măsură: aria se dă în unități pătrate.

Hai să vedem toate acestea la lucru în exemple complete.

Pasul 6: o imagine mentală care te ajută să nu greșești

Ca să nu confunzi niciodată $k$ cu $k^2$, ține minte o imagine simplă. Imaginează-ți că triunghiul mic este acoperit cu un „grătar" de pătrățele mici, unitate. Când mărești triunghiul de $k$ ori pe fiecare latură, fiecare pătrățel unitate se transformă într-un pătrat de latură $k$, adică într-o suprafață de $k^2$ pătrățele. Deci întreaga figură conține de $k^2$ ori mai multe pătrățele — și tocmai numărul de pătrățele reprezintă aria. Această imagine explică în mod vizual de ce aria crește mult mai repede decât lungimile.

Un alt mod de a spune același lucru: perimetrul este „unidimensional" (se măsoară pe o singură direcție, de-a lungul conturului), de aceea crește cu $k^1=k$; aria este „bidimensională" (se întinde pe lungime și pe lățime), de aceea crește cu $k^2$. Exponentul $1$ pentru perimetru și exponentul $2$ pentru arie sunt tocmai numărul de „dimensiuni" ale mărimii. Este o idee pe care o vei regăsi și mai târziu, când vei studia volumele — acolo factorul va fi $k^3$. Dar volumele și corpurile geometrice sunt subiect pentru clasa a VIII-a; la clasa a VII-a lucrăm doar cu figuri plane, deci ne oprim la $k$ și $k^2$.

Hai acum la exemplele complete.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — raportul perimetrelor

Fie $△ABC\sim △MNP$ cu raportul de asemănare $k=\frac{2}{5}$. Perimetrul triunghiului $MNP$ este $P_{MNP}=40$ cm. Cât este perimetrul triunghiului $ABC$?

Rezolvare. Raportul de asemănare este scris „$ABC$ față de $MNP$":

$$\frac{P_{ABC}}{P_{MNP}}=k=\frac{2}{5}.$$

De aici:

$$P_{ABC}=\frac{2}{5}\cdot P_{MNP}=\frac{2}{5}\cdot 40=16\text{ cm}.$$

Răspuns: perimetrul triunghiului $ABC$ este $16$ cm.

Exemplul 2 — de la raportul de asemănare la raportul ariilor

Două triunghiuri sunt asemenea, cu raportul de asemănare $k=3$. De câte ori este mai mare aria triunghiului mare față de aria celui mic?

Rezolvare. Raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare:

$$\frac{{\mathcal{A}}_{\text{mare}}}{{\mathcal{A}}_{\text{mic}}}=k^2=3^2=9.$$

Răspuns: aria triunghiului mare este de 9 ori mai mare, deși laturile sunt doar de 3 ori mai mari. Este exact ideea-cheie a lecției: laturile de 3 ori, aria de 9 ori.

Exemplul 3 — calculul unei arii cunoscând-o pe cealaltă

Fie $△DEF\sim △GHI$ cu raportul de asemănare $\frac{GH}{DE}=\frac{5}{2}$. Aria triunghiului $DEF$ este ${\mathcal{A}}_{DEF}=12$ cm². Află aria triunghiului $GHI$.

Rezolvare. Raportul de asemănare (de la $GHI$ la $DEF$) este $k=\frac{5}{2}$. Atunci:

$$\frac{{\mathcal{A}}_{GHI}}{{\mathcal{A}}_{DEF}}=k^2={\left(\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{25}{4}.$$

Deci:

$${\mathcal{A}}_{GHI}=\frac{25}{4}\cdot {\mathcal{A}}_{DEF}=\frac{25}{4}\cdot 12=25\cdot 3=75{\text{ cm}}^2.$$

Răspuns: aria triunghiului $GHI$ este $75$ cm².

Exemplul 4 — de la raportul ariilor la raportul de asemănare (cu radical)

Ariile a două triunghiuri asemenea sunt ${\mathcal{A}}_1=18$ cm² și ${\mathcal{A}}_2=50$ cm². Află raportul de asemănare și raportul perimetrelor.

Rezolvare. Raportul ariilor este:

$$\frac{{\mathcal{A}}_2}{{\mathcal{A}}_1}=\frac{50}{18}=\frac{25}{9}.$$

Raportul de asemănare este radicalul din raportul ariilor:

$$k=\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{9}}=\frac{5}{3}.$$

Raportul perimetrelor este egal cu raportul de asemănare:

$$\frac{P_2}{P_1}=k=\frac{5}{3}.$$

Răspuns: raportul de asemănare este $\frac{5}{3}$, iar raportul perimetrelor este tot $\frac{5}{3}$.

Exemplul 5 — problemă cu linia mijlocie

În $△ABC$, punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $AC$. Se știe că aria triunghiului $ABC$ este $48$ cm². Află aria triunghiului $AMN$.

Rezolvare. Segmentul $MN$ este linie mijlocie în triunghi (vezi Linia mijlocie în triunghi), deci $MN\parallel BC$ și $MN=\frac{BC}{2}$.

Triunghiurile $△AMN$ și $△ABC$ au unghiul $A$ comun și laturile din jurul lui proporționale ($AM=\frac{1}{2}AB$, $AN=\frac{1}{2}AC$), deci sunt asemenea cu raportul de asemănare:

$$k=\frac{AM}{AB}=\frac{1}{2}.$$

Raportul ariilor este:

$$\frac{{\mathcal{A}}_{AMN}}{{\mathcal{A}}_{ABC}}=k^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}.$$

Prin urmare:

$${\mathcal{A}}_{AMN}=\frac{1}{4}\cdot 48=12{\text{ cm}}^2.$$

Răspuns: aria triunghiului $AMN$ este $12$ cm². (Frumos de reținut: linia mijlocie taie un triunghi cu aria de 4 ori mai mică.)

Exemplul 6 — problemă aplicată, drum invers

Un arhitect desenează la scară planul unei fațade triunghiulare. Triunghiul de pe plan este asemenea cu fațada reală, iar raportul de asemănare plan-realitate este $\frac{1}{50}$. Aria triunghiului de pe plan este $8$ cm². Care este aria reală a fațadei, în metri pătrați?

Rezolvare. Fațada reală este triunghiul „mare", deci mergem de la plan la realitate cu factorul invers. Raportul de asemănare realitate-plan este $k=50$, deci:

$$\frac{{\mathcal{A}}_{\text{real}}}{{\mathcal{A}}_{\text{plan}}}=k^2=50^2=2500.$$

Atunci:

$${\mathcal{A}}_{\text{real}}=2500\cdot 8=20000{\text{ cm}}^2.$$

Transformăm în metri pătrați: $1{\text{ m}}^2=10000{\text{ cm}}^2$, deci:

$${\mathcal{A}}_{\text{real}}=\frac{20000}{10000}=2{\text{ m}}^2.$$

Răspuns: aria reală a fațadei este $2$ m². Observă cât de puternic „amplifică" pătratul: la o scară de $1:50$ pe lungimi, ariile diferă de $2500$ de ori.

Exemplul 7 — combinație perimetru–arie

Două triunghiuri asemenea au perimetrele de $24$ cm și $36$ cm. Aria triunghiului cu perimetrul mai mic este $40$ cm². Află aria celuilalt triunghi și verifică ce raport au ariile.

Rezolvare. Mai întâi găsim raportul de asemănare din raportul perimetrelor, pentru că perimetrele merg cu $k$:

$$k=\frac{P_{\text{mare}}}{P_{\text{mic}}}=\frac{36}{24}=\frac{3}{2}.$$

Raportul ariilor este pătratul acestuia:

$$\frac{{\mathcal{A}}_{\text{mare}}}{{\mathcal{A}}_{\text{mic}}}=k^2={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}.$$

Deci:

$${\mathcal{A}}_{\text{mare}}=\frac{9}{4}\cdot 40=9\cdot 10=90{\text{ cm}}^2.$$

Verificare: $\frac{{\mathcal{A}}_{\text{mare}}}{{\mathcal{A}}_{\text{mic}}}=\frac{90}{40}=\frac{9}{4}$, exact cât am prezis. Răspuns: aria celui de-al doilea triunghi este $90$ cm².

Exemplul 8 — aria „benzii" dintre o paralelă și bază

În $△ABC$, o dreaptă paralelă cu $BC$ intersectează latura $AB$ în $D$ și latura $AC$ în $E$. Se știe că $\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$, iar aria întregului triunghi $ABC$ este ${\mathcal{A}}_{ABC}=50$ cm². Află aria triunghiului mic $ADE$ și aria trapezului $DBCE$ rămas.

Rezolvare. Deoarece $DE\parallel BC$, unghiurile $\widehat{ADE}$ și $\widehat{ABC}$ sunt congruente (unghiuri corespondente), iar unghiul $A$ este comun. După criteriul U.U. de asemănare, $△ADE\sim △ABC$, cu raportul de asemănare:

$$k=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}.$$

Raportul ariilor este pătratul acestuia:

$$\frac{{\mathcal{A}}_{ADE}}{{\mathcal{A}}_{ABC}}=k^2={\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{9}{25}.$$

Deci aria triunghiului mic este:

$${\mathcal{A}}_{ADE}=\frac{9}{25}\cdot 50=9\cdot 2=18{\text{ cm}}^2.$$

Trapezul $DBCE$ este ceea ce rămâne din triunghiul mare după ce scoatem triunghiul mic. Aria lui se obține prin scădere:

$${\mathcal{A}}_{DBCE}={\mathcal{A}}_{ABC}-{\mathcal{A}}_{ADE}=50-18=32{\text{ cm}}^2.$$

Răspuns: aria triunghiului $ADE$ este $18$ cm², iar aria trapezului $DBCE$ este $32$ cm². Reține tehnica: aria unei „benzi" (a unui trapez) mărginite de o paralelă la bază se află scăzând aria triunghiului mic din aria celui mare — nu există o formulă separată de învățat pe de rost.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, cu toți pașii. Verifică-te apoi la secțiunea de răspunsuri.

1. Fie $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu raportul de asemănare $k=\frac{3}{4}$. Cât este raportul perimetrelor $\frac{P_{ABC}}{P_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}$?

2. Pentru aceleași triunghiuri de la exercițiul 1, cât este raportul ariilor $\frac{{\mathcal{A}}_{ABC}}{{\mathcal{A}}_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}$?

3. Două triunghiuri asemenea au raportul de asemănare $k=4$. De câte ori este mai mare aria celui mare față de a celui mic?

4. Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este $\frac{49}{16}$. Cât este raportul de asemănare?

5. Fie $△MNP\sim △RST$ cu $k=\frac{2}{3}$. Perimetrul triunghiului $RST$ este $54$ cm. Află perimetrul triunghiului $MNP$.

6. Aria unui triunghi este $20$ cm². Un al doilea triunghi, asemenea cu el, are raportul de asemănare $k=2$ față de primul. Care este aria celui de-al doilea?

7. Adevărat sau fals (justifică): „Dacă laturile unui triunghi se dublează, aria lui se dublează."

8. Adevărat sau fals (justifică): „Raportul perimetrelor a două triunghiuri asemenea este egal cu raportul ariilor."

9. Fie $△ABC\sim △DEF$ cu $\frac{AB}{DE}=\frac{5}{2}$. Aria triunghiului $DEF$ este $8$ cm². Află aria triunghiului $ABC$.

10. Ariile a două triunghiuri asemenea sunt $27$ cm² și $75$ cm². Află raportul de asemănare și raportul perimetrelor.

11. În $△ABC$, $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$ și $AC$. Aria triunghiului $AMN$ este $9$ cm². Cât este aria triunghiului $ABC$?

12. Două triunghiuri asemenea au perimetrele de $18$ cm și $30$ cm. Aria celui mic este $27$ cm². Află aria celui mare.

13. Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este $9$. Dacă latura mai mare a triunghiului mic este $4$ cm, cât este latura corespunzătoare din triunghiul mare?

14. Un triunghi are aria $50$ cm². Îl mărim astfel încât fiecare latură să crească de $1,5$ ori. Care este aria noului triunghi?

15. Problemă practică. Pe o hartă la scara $1:1000$, o parcelă triunghiulară are aria $6$ cm². Care este aria reală a parcelei, în metri pătrați?

16. Fie $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Se știe că ${\mathcal{A}}_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=4\cdot {\mathcal{A}}_{ABC}$. Cât este raportul de asemănare $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}$? Dar raportul perimetrelor?

17. Raționament. Aria unui triunghi asemenea cu un altul este de $16$ ori mai mare. Cu cât la sută este mai mare perimetrul triunghiului mare față de al celui mic?

18. Desenează și rezolvă. Desenează un triunghi $ABC$ oarecare. Ia $M\in [AB]$ și $N\in [AC]$ astfel încât $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{3}$. Argumentează de ce $△AMN\sim △ABC$ și află de câte ori este mai mică aria lui $AMN$ față de a lui $ABC$.

19. În $△ABC$, o dreaptă paralelă cu $BC$ taie latura $AB$ în $D$ și latura $AC$ în $E$, astfel încât $\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$. Aria triunghiului $ABC$ este $75$ cm². Află aria triunghiului $ADE$ și aria trapezului $DBCE$.

20. Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este $\frac{16}{25}$. Perimetrul triunghiului mai mic este $20$ cm. Cât este perimetrul triunghiului mai mare?

21. Raționament invers. Aria unui triunghi crește de $2$ ori (nu de $4$!) atunci când îl mărim. De câte ori au crescut laturile? Dă răspunsul sub formă de radical și explică de ce nu este un număr întreg.

Răspunsuri și explicații

1. $\frac{3}{4}$. Raportul perimetrelor este egal cu raportul de asemănare: $\frac{P_{ABC}}{P_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}=k=\frac{3}{4}$.

2. $\frac{9}{16}$. Raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare: $k^2={\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}$.

3. De 16 ori. $\frac{{\mathcal{A}}_{\text{mare}}}{{\mathcal{A}}_{\text{mic}}}=k^2=4^2=16$.

4. $\frac{7}{4}$. $k=\sqrt{\frac{49}{16}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}}=\frac{7}{4}$.

5. $36$ cm. $\frac{P_{MNP}}{P_{RST}}=k=\frac{2}{3}$, deci $P_{MNP}=\frac{2}{3}\cdot 54=36$ cm.

6. $80$ cm². ${\mathcal{A}}^{\prime }=k^2\cdot \mathcal{A}=2^2\cdot 20=4\cdot 20=80$ cm².

7. Fals. Dacă laturile se dublează, $k=2$, deci aria devine $k^2=4$ ori mai mare, nu de 2 ori. Aria se cvadruplează.

8. Fals. Raportul perimetrelor este $k$, iar raportul ariilor este $k^2$. Ele sunt egale doar în cazul particular $k=k^2$, adică $k=1$ (triunghiuri congruente) — deci în general afirmația e falsă.

9. $50$ cm². $k=\frac{AB}{DE}=\frac{5}{2}$, deci ${\mathcal{A}}_{ABC}=k^2\cdot {\mathcal{A}}_{DEF}=\frac{25}{4}\cdot 8=50$ cm².

10. $k=\frac{3}{5}$ (sau $\frac{5}{3}$), la fel raportul perimetrelor. Raportul ariilor: $\frac{27}{75}=\frac{9}{25}$, deci $k=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}$. Raportul perimetrelor este egal cu $k$, deci $\frac{3}{5}$.

11. $36$ cm². $MN$ este linie mijlocie, $k=\frac{1}{2}$, deci $\frac{{\mathcal{A}}_{AMN}}{{\mathcal{A}}_{ABC}}=\frac{1}{4}$. Atunci ${\mathcal{A}}_{ABC}=4\cdot {\mathcal{A}}_{AMN}=4\cdot 9=36$ cm².

12. $75$ cm². Raportul de asemănare: $k=\frac{30}{18}=\frac{5}{3}$ (mare față de mic). Raportul ariilor: $k^2=\frac{25}{9}$. Deci ${\mathcal{A}}_{\text{mare}}=\frac{25}{9}\cdot 27=25\cdot 3=75$ cm².

13. $12$ cm. Raportul ariilor este $9$, deci raportul de asemănare este $k=\sqrt{9}=3$. Latura corespunzătoare din triunghiul mare: $3\cdot 4=12$ cm.

14. $112,5$ cm². $k=1,5$, deci $k^2=2,25$. Aria nouă: $2,25\cdot 50=112,5$ cm².

15. $600$ m². Scara $1:1000$ înseamnă $k=1000$ pe lungimi. Aria reală: $k^2\cdot 6=1000000\cdot 6=6000000$ cm². Transformăm: $6000000:10000=600$ m².

16. $k=2$; raportul perimetrelor tot $2$. $\frac{{\mathcal{A}}_{A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}}{{\mathcal{A}}_{ABC}}=4=k^2$, deci $k=\sqrt{4}=2$. Raportul perimetrelor este egal cu $k$, adică $2$.

17. Cu $300\%$ mai mare. Raportul ariilor este $16=k^2$, deci $k=4$. Perimetrul mare este de $4$ ori perimetrul mic, adică cu $3$ perimetre mai mult, ceea ce înseamnă o creștere de $300\%$.

18. De 9 ori mai mică. Triunghiurile $△AMN$ și $△ABC$ au unghiul $A$ comun și laturile din jurul lui proporționale ($\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{3}$), deci sunt asemenea (criteriul L.U.L. de asemănare), cu $k=\frac{1}{3}$. Raportul ariilor este $k^2=\frac{1}{9}$, deci aria lui $AMN$ este de 9 ori mai mică decât a lui $ABC$.

19. ${\mathcal{A}}_{ADE}=12$ cm², ${\mathcal{A}}_{DBCE}=63$ cm². Cum $DE\parallel BC$, avem $△ADE\sim △ABC$ cu $k=\frac{2}{5}$, deci $k^2=\frac{4}{25}$ și ${\mathcal{A}}_{ADE}=\frac{4}{25}\cdot 75=12$ cm². Trapezul rămas: ${\mathcal{A}}_{DBCE}=75-12=63$ cm².

20. $25$ cm. Raportul ariilor este $\frac{16}{25}$ (mic față de mare), deci raportul de asemănare este $k=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$. Perimetrele merg cu $k$: $\frac{P_{\text{mic}}}{P_{\text{mare}}}=\frac{4}{5}$, de unde $P_{\text{mare}}=\frac{5}{4}\cdot 20=25$ cm.

21. De $\sqrt{2}$ ori (aproximativ $1,41$). Aria merge cu $k^2$, deci din $k^2=2$ rezultă $k=\sqrt{2}$. Nu este un număr întreg pentru că $2$ nu este pătrat perfect — nu există niciun număr rațional care ridicat la pătrat să dea exact $2$. Laturile au crescut de $\sqrt{2}\approx 1,41$ ori.

triunghiul ABC cu M pe AB și N pe AC la o treime din vârful A, triunghiul mic AMN hașurat, cu eticheta „1/9 din aria ABC".

De reținut

• Dacă $△ABC\sim △A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu raportul de asemănare $k$, atunci: laturile și perimetrele sunt în raportul $k$, iar ariile sunt în raportul $k^2$.
• $\frac{P^{\prime }}{P}=k$ — raportul perimetrelor este egal cu raportul de asemănare.
• $\frac{{\mathcal{A}}^{\prime }}{\mathcal{A}}=k^2$ — raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare.
• Pentru a merge de la o arie la cealaltă: ${\mathcal{A}}^{\prime }=k^2\cdot \mathcal{A}$.
• Invers, raportul de asemănare din raportul ariilor: $k=\sqrt{\frac{{\mathcal{A}}^{\prime }}{\mathcal{A}}}$.

Greșeli frecvente

• Confuzia dintre $k$ și $k^2$ la arii. Mulți elevi înmulțesc aria cu $k$ în loc de $k^2$. Reține: laturile și perimetrul „merg cu $k$", dar aria „merge cu $k^2$", pentru că este o suprafață.
• Uitarea radicalului la drumul invers. Dacă ai raportul ariilor și vrei raportul de asemănare (sau al perimetrelor), trebuie să extragi rădăcina pătrată: $k=\sqrt{{\mathcal{A}}^{\prime }/\mathcal{A}}$. Nu lăsa răspunsul la pătrat.
• Greșeli de unitate la probleme cu scară. Când transformi din cm² în m², împarți la $10000$ (nu la $100$). $1$ m $=100$ cm, dar $1$ m² $=100^2=10000$ cm².
• Inversarea raportului. Fii atent care triunghi e „la numărător". Dacă scrii $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{AB}=k$, atunci ${\mathcal{A}}^{\prime }$ (aria triunghiului cu prim) stă la numărătorul lui $k^2$. O eroare de inversare îți dă răspunsul întors (înmulțești când trebuia să împarți).

Aplică acasă

• Fotografia mărită. Ia o fotografie mică (de exemplu $6\times 4$ cm) și una mărită a aceleiași imagini. Măsoară laturile, află raportul de mărire $k$ și verifică pe o formă triunghiulară din imagine că aria crește aproximativ de $k^2$ ori. Discută de ce o poză mărită de 2 ori ocupă de 4 ori mai mult „loc".
• Planul camerei tale. Desenează pe hârtie un triunghi care reprezintă un colț triunghiular dintr-o cameră (de exemplu între două pereți și o diagonală), la o scară aleasă de tine (să zicem $1:50$). Calculează aria pe desen, apoi folosește $k^2$ pentru a estima aria reală. Compar-o cu o măsurare reală aproximativă.
• Steaguri și logo-uri. Găsește un logo cu formă triunghiulară care apare în două mărimi (pe un tricou și pe o banderolă, de exemplu). Estimează raportul de asemănare și prezice de câte ori diferă suprafețele de material colorat.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează ideea că, la figuri asemenea, mărimile de tip „lungime" (laturi, perimetru) și cele de tip „suprafață" (arie) se schimbă după legi diferite. Cel mai important obstacol conceptual este tocmai saltul de la $k$ la $k^2$.

Cum sprijiniți elevul:

• Cereți-i să explice cu cuvintele lui de ce aria merge cu $k^2$, folosind exemplul pătratului $2\times 2$ împărțit în 4 pătrățele. Dacă poate reproduce acest argument, a înțeles esența.
• Verificați cu întrebări scurte: „Dacă laturile cresc de 3 ori, de câte ori crește perimetrul? Dar aria?" (Răspuns: perimetrul de 3 ori, aria de 9 ori.)
• Puneți o întrebare inversă: „Aria a crescut de 25 de ori; de câte ori au crescut laturile?" (Răspuns: de 5 ori.) Aceasta testează folosirea radicalului.
• Semn că a înțeles: nu doar aplică formula, ci prinde imediat că nu poate înmulți aria direct cu $k$, și corectează singur.

Întrebări frecvente

De ce raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este pătratul raportului de asemănare? Pentru că aria se obține înmulțind două lungimi (baza și înălțimea). Fiecare dintre ele se mărește de $k$ ori, iar produsul lor se mărește de $k\times k=k^2$ ori. Astfel $\frac{{\mathcal{A}}^{\prime }}{\mathcal{A}}=k^2$.

Care este raportul perimetrelor a două triunghiuri asemenea? Este egal chiar cu raportul de asemănare $k$. Perimetrul este o sumă de lungimi, iar toate laturile se măresc de $k$ ori, deci și perimetrul se mărește de $k$ ori: $\frac{P^{\prime }}{P}=k$.

Cum calculez aria unui triunghi dacă știu aria celuilalt și raportul de asemănare? Înmulțești aria cunoscută cu pătratul raportului de asemănare: ${\mathcal{A}}^{\prime }=k^2\cdot \mathcal{A}$. Dacă mergi de la triunghiul mare la cel mic, împarți la $k^2$.

Dacă știu raportul ariilor, cum aflu raportul de asemănare? Extragi rădăcina pătrată din raportul ariilor: $k=\sqrt{\frac{{\mathcal{A}}^{\prime }}{\mathcal{A}}}$. De exemplu, dacă raportul ariilor este $\frac{25}{9}$, raportul de asemănare este $\frac{5}{3}$.

Dacă laturile unui triunghi se dublează, cum se modifică aria? Aria devine de 4 ori mai mare, nu de 2 ori. Raportul de asemănare este $k=2$, iar aria se schimbă cu $k^2=4$. Este o greșeală clasică să crezi că aria se dublează.

Raportul perimetrelor poate fi egal cu raportul ariilor? Doar când raportul de asemănare este $1$, adică triunghiurile sunt congruente (identice ca mărime). În rest, $k\ne k^2$, deci raportul perimetrelor ($k$) diferă de raportul ariilor ($k^2$).

Ce legătură are această lecție cu linia mijlocie a triunghiului? Linia mijlocie determină un triunghi mic asemenea cu cel mare, cu raport de asemănare $\frac{1}{2}$. De aceea aria triunghiului format de linia mijlocie și un vârf este de ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$ din aria triunghiului mare.

Cum aflu aria trapezului format de o paralelă la baza triunghiului? O paralelă la bază taie un triunghi mic asemenea cu cel mare. Îi afli aria cu $k^2$, apoi scazi din aria triunghiului mare: aria trapezului $=$ aria triunghiului mare $-$ aria triunghiului mic. Nu ai nevoie de o formulă separată.

La ce mă ajută în practică regula raportului ariilor? La orice problemă cu scări: hărți, planuri de arhitectură, fotografii mărite, machete. Dacă știi cât se schimbă lungimile, poți afla instantaneu cât se schimbă suprafețele, fără să măsori din nou toată figura.