Ce raport au ariile a două triunghiuri asemenea?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Raportul ariilor: pătratul lui k

Ariile stau în raportul pătratului raportului de asemănare, deci $\frac{A ^{'}}{A} = k^{2}$ , în timp ce laturile și perimetrele urmează doar pe $k$ . Motivul: aria înmulțește două lungimi, iar fiecare crește de $k$ ori. La $k = 2$ , suprafața se face de patru ori mai mare, deci un triunghi de $6$ cm² devine unul de $24$ cm². Invers, din raportul ariilor scoți radicalul ca să afli $k$ .

Când două triunghiuri sunt asemenea, cu raportul de asemănare $k$ , nu toate mărimile se schimbă la fel:

Laturile și perimetrul se schimbă în raportul $k$ (sunt lungimi): $\frac{P ^{'}}{P} = k$ .
Aria se schimbă în raportul $k^{2}$ (este o suprafață): $\frac{A ^{'}}{A} = k^{2}$ .

De ce apare pătratul? Pentru că aria se calculează înmulțind două lungimi (bază × înălțime), iar fiecare dintre ele crește de $k$ ori, deci produsul crește de $k \times k = k^{2}$ ori.

Exemplu minimal: dacă $k = 2$ , aria nu se dublează, ci se cvadruplează ( $k^{2} = 4$ ). Un triunghi cu catetele 3 cm și 4 cm are aria $6$ cm²; triunghiul asemenea cu catetele 6 cm și 8 cm (dublate) are aria $24$ cm², adică exact de 4 ori mai mare ( $24/6 = 4 = 2^{2}$ ).

Dacă știi raportul ariilor și vrei raportul de asemănare, extragi radical: $k = A^{'} / A$ .

De reținut

$\frac{A ^{'}}{A} = k^{2}$ , iar $\frac{P ^{'}}{P} = k$
$A^{'} = k^{2} \cdot A$
$k = \frac{A ^{'}}{A}$

Greșeala tipică

Se înmulțește aria cu raportul de asemănare, nu cu pătratul lui, deci la $k = 3$ rezultatul iese de trei ori prea mic. Suprafețele se schimbă mereu cu $k^{2}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Două triunghiuri sunt asemenea cu raportul de asemănare $k = 5$ . De câte ori este mai mare aria triunghiului mare față de cea a triunghiului mic?
- a) De 5 ori
- b) De 10 ori
- c) De 25 de ori
- d) De 15 ori
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) De 25 de ori

Raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare: $k^{2} = 5^{2} = 25$ . Aria triunghiului mare este de 25 de ori mai mare.
Ariile a două triunghiuri asemenea sunt $8$ cm² și $72$ cm². Cât este raportul de asemănare (mic la mare)?
- a) $\frac{1}{9}$
- b) $\frac{1}{3}$
- c) $\frac{1}{6}$
- d) $\frac{2}{3}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{1}{3}$

Raportul ariilor este $\frac{8}{72} = \frac{1}{9}$ . Raportul de asemănare este radicalul: $k = \frac{1}{9} = \frac{1}{3}$ .
Două triunghiuri sunt asemenea cu raportul de asemănare $k = 6$ . De câte ori este mai mare aria triunghiului mare față de cea a triunghiului mic?
- a) De 6 ori
- b) De 16 ori
- c) De 36 ori
- d) De 46 ori
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) De 36 ori

Raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare: $k^{2} = 6^{2} = 36$ . Aria triunghiului mare este de 36 de ori mai mare (nu de $6$ ori — asta ar însemna să uiți să ridici la pătrat).

Întrebări conexe

Cum aflu raportul de asemănare dacă ariile sunt 9 și 25?

Extragi radicalul din raportul ariilor. Din $\frac{9}{25}$ obții $k = \frac{3}{5}$ , fiindcă $(\frac{3}{5})^{2} = \frac{9}{25}$ . Laturile stau așadar în raportul trei la cinci, la fel și perimetrele. Radicalul se aplică raportului întreg, nu fiecărei arii separat.

Ce se întâmplă cu volumul, dacă laturile cresc de k ori?

Volumul crește de $k^{3}$ ori, fiindcă înmulțește trei lungimi. La corpuri asemenea cu $k = 2$ , aria totală se face de patru ori mai mare, iar volumul de opt ori. Regula generală: lungimile urmează $k$ , suprafețele $k^{2}$ , iar volumele $k^{3}$ .

Cum apare raportul ariilor la o hartă cu scara 1 la 1000?

Distanțele de pe hartă sunt de o mie de ori mai mici, deci $k = \frac{1}{1000}$ . Suprafețele se micșorează însă de un milion de ori, fiindcă intervine pătratul. Un pătrat de $1$ cm² pe hartă înseamnă $100$ m² pe teren, cifră ușor de greșit dacă uiți pătratul.

Două triunghiuri cu aceeași arie sunt neapărat asemenea?

Nu. Un triunghi cu baza $6$ și înălțimea $4$ are aria $12$ , la fel ca unul cu baza $12$ și înălțimea $2$ , însă formele lor diferă mult. Asemănarea cere unghiuri egale și laturi proporționale, nu doar același rezultat la calculul suprafeței.

De ce raportul înălțimilor este tot k, nu k la pătrat?

Fiindcă înălțimea este o lungime, ca oricare latură. Toate segmentele corespunzătoare din două figuri asemenea, inclusiv medianele, bisectoarele și razele cercurilor, urmează raportul $k$ . Pătratul apare doar acolo unde se înmulțesc două lungimi, adică la suprafețe.

Cum verific pe un exemplu numeric regula raportului ariilor?

Iei un triunghi dreptunghic cu catetele $3$ și $4$ , deci cu aria $6$ . Îl mărești de trei ori: catetele devin $9$ și $12$ , iar aria urcă la $54$ . Împărțind, obții $54 : 6 = 9$ , adică $3^{2}$ , exact cât cere regula.

Oamenii mai întreabă și: raportul ariilor triunghiurilor asemenea · raportul de asemănare și aria · aria se schimbă cu k la pătrat · raportul perimetrelor a două triunghiuri asemenea · cum aflu k din raportul ariilor