Ce intră la geometrie plană la examen?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Recapitulare geometrie plană

Teorema lui Pitagora și relațiile metrice din triunghiul dreptunghic, ariile patrulaterelor, proprietățile cercului, asemănarea triunghiurilor și rapoartele trigonometrice pentru unghiuri de $30$ , $45$ și $60$ de grade. Ele nu apar separat, ci amestecate în aceeași problemă: afli o latură cu Pitagora, apoi o arie, apoi un raport. De aceea exersarea lor împreună contează mai mult decât reluarea fiecăreia pe rând.

Geometria plană de gimnaziu se sprijină pe câteva idei-cheie, pe care le folosești mereu împreună.

Teorema lui Pitagora: în triunghiul dreptunghic, $a^{2} = b^{2} + c^{2}$ (ipotenuza este mereu cea mai lungă latură). Exemplu: catete $6$ și $8$ cm → ipotenuza $36 + 64 = 100 = 10$ cm.
Relații metrice: dacă din unghiul drept coborâm înălțimea pe ipotenuză, $h^{2} = m \cdot n$ și $b^{2} = a \cdot m$ .
Arii de patrulatere: paralelogram $b \cdot h$ , dreptunghi $L \cdot ℓ$ , romb $\frac{d _{1} d _{2}}{2}$ , trapez $\frac{( B + b ) \cdot h}{2}$ .
Cercul: unghiul înscris este jumătate din unghiul la centru care cuprinde același arc; $L = 2 π R$ , $A = π R^{2}$ .
Asemănare: raportul ariilor este $k^{2}$ , nu $k$ .
Trigonometrie: $sin = \frac{opus}{ip}$ , $cos = \frac{al a ˘ turat}{ip}$ .

Toate se combină la examen, deci exersează-le împreună!

De reținut

teorema lui Pitagora: ipotenuza la pătrat este suma pătratelor catetelor
aria trapezului $= \frac{( B + b ) \cdot h}{2}$ ; aria rombului $= \frac{d _{1} d _{2}}{2}$
la triunghiuri asemenea, raportul ariilor este pătratul raportului laturilor

Greșeala tipică

Se folosește raportul laturilor acolo unde se cere raportul ariilor la două triunghiuri asemenea. Ariile se află în raport egal cu pătratul acelui număr, deci rezultatul iese mult diferit.

Exerciții din această mini-lecție

Un trapez are bazele de $12$ cm și $6$ cm, iar înălțimea de $5$ cm. Care este aria trapezului?
- a) $45$ cm²
- b) $54$ cm²
- c) $90$ cm²
- d) $18$ cm²
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $45$ cm²

$A = \frac{( B + b ) \cdot h}{2} = \frac{( 12 + 6 ) \cdot 5}{2} = \frac{90}{2} = 45$ cm².
Un unghi la centru de $14 0^{\circ}$ cuprinde arcul $A B$ dintr-un cerc. Cât măsoară un unghi înscris care cuprinde același arc $A B$ ?
- a) $14 0^{\circ}$
- b) $7 0^{\circ}$
- c) $3 5^{\circ}$
- d) $28 0^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $7 0^{\circ}$

Unghiul înscris are măsura jumătate din unghiul la centru care cuprinde același arc: $\frac{14 0 ^{\circ}}{2} = 7 0^{\circ}$ .
Un trapez are bazele de $14$ cm și $8$ cm, iar înălțimea de $6$ cm. Care este aria trapezului?
- a) $56$ cm²
- b) $66$ cm²
- c) $76$ cm²
- d) $132$ cm²
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $66$ cm²

$A = \frac{( B + b ) \cdot h}{2} = \frac{( 14 + 8 ) \cdot 6}{2} = \frac{132}{2} = 66$ cm². Varianta d) apare dacă uiți să împarți la $2$ .

Întrebări conexe

Ce formule de arie trebuie știute pentru patrulatere?

Dreptunghiul dă produsul laturilor, paralelogramul latura ori înălțimea corespunzătoare, rombul jumătate din produsul diagonalelor, iar trapezul semisuma bazelor înmulțită cu înălțimea. Pătratul intră ca dreptunghi cu laturi egale.

Cum recunosc două triunghiuri asemenea?

După unghiuri egale două câte două sau după laturi proporționale. Cel mai des apare configurația cu o paralelă la o latură, care taie un triunghi mic asemenea cu cel mare. Raportul laturilor se scrie apoi între laturile care se corespund.

Ce lungimi aflu cu relațiile metrice din triunghiul dreptunghic?

Înălțimea pe ipotenuză, proiecțiile catetelor și catetele înseși, pornind de la două mărimi cunoscute. Pătratul înălțimii este produsul celor două proiecții, iar pătratul fiecărei catete este produsul dintre ipotenuză și proiecția ei. Sunt cele mai rapide calcule din capitol.

Cum calculez lungimea unui cerc și aria discului?

Lungimea este dublul produsului dintre numărul pi și rază, iar aria este acel număr înmulțit cu raza la pătrat. La un sector, ambele se înmulțesc cu fracția din cerc pe care o acoperă unghiul. Raza se citește cu grijă, nu diametrul.

Ce linii importante are un triunghi?

Înălțimea, mediana, bisectoarea și mediatoarea, fiecare cu punctul ei de întâlnire. Într-un triunghi isoscel, cele patru pornite din vârful dintre laturile egale coincid. Proprietatea aceasta scurtează multe demonstrații.

Cum combin asemănarea cu teorema lui Pitagora într-o problemă?

Afli întâi laturile lipsă din triunghiul dreptunghic, apoi scrii raportul de asemănare și obții mărimile din al doilea triunghi. Dacă se cere o arie, ții minte că raportul ariilor este pătratul raportului laturilor.

Oamenii mai întreabă și: ce intră la geometrie plană · recapitulare geometrie plană · triunghi patrulatere cerc · pregătire examen geometrie plană · formule de geometrie plană pentru examen