Cum știu dacă un radical este irațional?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Numere reale, intervale și inecuații

Un număr este irațional dacă scrierea lui zecimală nu se termină și nu se repetă după niciun tipar. Radicalii sunt cazul cel mai des întâlnit: rezultatul iese rațional doar când numărul de sub radical este pătratul unui întreg. Astfel $25$ dă $5$ , deci este rațional, în timp ce $2$ rămâne irațional. Numărul pi intră în aceeași categorie, deși nu vine de la un radical.

Numerele reale se împart în raționale (fracții, zecimale finite sau periodice) și iraționale (zecimale infinite neperiodice, ca $2$ ). Un radical e rațional doar dacă numărul de sub el e pătrat perfect. Modulul $∣ a ∣$ este mereu $\geq 0$ : la o diferență $∣ x - y ∣$ scazi mereu numărul mic din cel mare.

Intervale: o mulțime de numere reale între două capete. Paranteză pătrată $[]$ = capăt inclus, paranteză rotundă $()$ = capăt exclus, iar lângă infinit e mereu paranteză rotundă. Intersecția ( $\cap$ ) ia doar ce e comun în ambele intervale; reuniunea ( $\cup$ ) ia tot ce acoperă împreună. Desenează-le pe aceeași axă ca să nu greșești.

Inecuații de gradul I: se rezolvă ca o ecuație, cu o singură regulă de aur — la înmulțire sau împărțire cu un număr negativ, semnul inegalității se inversează. Exemplu: din $- 2 x < 8$ , împărțim la $- 2$ și obținem $x > - 4$ , deci $S = (- 4, + \infty)$ .

De reținut

radicalul iese rațional numai când sub el stă un pătrat perfect
modulul este distanța până la zero, deci nu poate fi negativ
la înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ, sensul inegalității se întoarce

Greșeala tipică

Se spune că orice număr scris cu radical este irațional. Radicalii din pătrate perfecte dau numere întregi, deci raționale, iar aceasta este prima verificare de făcut.

Exerciții din această mini-lecție

Care dintre numerele următoare este irațional?
- a) $49$
- b) $28$
- c) $0, \overline{4}$
- d) $\frac{5}{9}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $28$

$28$ nu este pătrat perfect, deci $28 = 27$ este irațional. Celelalte sunt raționale: $49 = 7$ , $0, \overline{4}$ este zecimală periodică, iar $\frac{5}{9}$ este deja o fracție.
Se dau $A = [- 2, 3]$ și $B = (3, 6]$ . Determină $A \cap B$ .
- a) $[- 2, 6]$
- b) ${3}$
- c) $\emptyset$
- d) $[3, 6]$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\emptyset$

Deși intervalele par să se atingă în $3$ , avem $3 \in A$ (capăt inclus) dar $3 \in / B$ (capăt exclus). Cum $3$ nu e în ambele și nu mai există alt număr comun, $A \cap B = \emptyset$ . Atenție: $[- 2, 6]$ ar fi reuniunea $A \cup B$ , nu intersecția.
Care este mulțimea soluțiilor inecuației $2 x - 7 \leq 5$ , în $R$ ?
- a) $(- \infty, 6]$
- b) $[6, \infty)$
- c) $(- \infty, 6)$
- d) $(6, \infty)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(- \infty, 6]$

$2 x - 7 \leq 5 \Rightarrow 2 x \leq 12 \Rightarrow x \leq 6$ . Cum $6$ este soluție (inegalitate cu $\leq$ ), capătul este inclus: $(- \infty, 6]$ .

Întrebări conexe

Ce numere formează mulțimea numerelor reale?

Toate numerele raționale, adică fracțiile și zecimalele care se termină sau se repetă, împreună cu cele iraționale. Ele acoperă complet axa, fără nicio gaură. Naturalele și întregile sunt cuprinse în raționale.

Cum scot un factor de sub radical?

Descompui numărul în factori primi și scoți în față fiecare pereche identică. Din $72$ obții $36 \cdot 2$ , deci $62$ . Operația se face înainte de orice comparație sau adunare de radicali.

Ce înseamnă modulul unui număr real?

Distanța de la acel număr până la zero, măsurată pe axă, deci un rezultat mereu pozitiv sau nul. Modulul lui $- 7$ este $7$ . La o diferență cu radicali, scazi mereu numărul mai mic din cel mai mare, ca să nu obții semn negativ.

Cum compar două numere scrise cu radicali?

Le aduci pe amândouă sub același radical, introducând factorii din față. Astfel $32$ devine $18$ , iar $25$ devine $20$ , deci al doilea este mai mare. Comparația se face apoi între numerele de sub radical.

Cum aproximez un radical între două numere întregi?

Cauți cele mai apropiate pătrate perfecte de o parte și de alta. Fiindcă $16 < 20 < 25$ , rezultă că $20$ se află între $4$ și $5$ . Metoda dă imediat aproximarea prin lipsă și pe cea prin adaos.

Ce este partea întreagă a unui număr real?

Cel mai mare număr întreg care nu îl depășește. Pentru $4, 7$ partea întreagă este $4$ , iar pentru $- 2, 3$ este $- 3$ , fiindcă $- 2$ ar fi prea mare. Restul până la număr se numește parte fracționară.

Oamenii mai întreabă și: număr irațional · cum știu dacă un radical este irațional · numere raționale și iraționale · mulțimea numerelor reale · recapitulare numere reale