De ce spunem că axa numerelor reale este «plină», fără găuri?

Pentru că numerele iraționale ocupă exact punctele rămase libere de la numerele raționale

Pentru că toate numerele de pe axă sunt raționale

Pentru că unitatea de măsură este mereu $$1$$ cm

Pentru că pe axă nu există numere negative

Cum pun radical din 2 pe axa numerelor?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Aproximarea numerelor iraționale pe axă

Îl strângi între două numere ușor de marcat, apropiindu-te pas cu pas. Cum $1^{2} = 1$ și $2^{2} = 4$ , valoarea stă între $1$ și $2$ . Apoi $1, 4^{2} = 1, 96$ , iar $1, 5^{2} = 2, 25$ , deci intervalul se îngustează la $1, 4$ și $1, 5$ . Primul număr e aproximarea prin lipsă, al doilea prin adaos, iar fiecare pas taie intervalul de zece ori.

Axa numerelor este o dreaptă pe care fiecărui punct îi corespunde exact un număr real, și invers. Numerele întregi, fracțiile și zecimalele se plasează ușor: împarți unitatea în atâtea părți egale cât spune numitorul (sau numărul de zecimale) și numeri câte spune numărătorul. Dar cum plasezi un număr irațional, ca $2$ , care are infinit de multe zecimale ce nu se repetă?

Trucul se numește aproximare prin lipsă și prin adaos: încadrezi numărul între două valori „frumoase", tot mai apropiate, ridicând la pătrat zecimale succesive și comparând cu numărul de sub radical. De exemplu: $1^{2} = 1$ , $2^{2} = 4$ , deci $1 < 2 < 2$ ; apoi $1, 4^{2} = 1, 96$ și $1, 5^{2} = 2, 25$ , deci $1, 4 < 2 < 1, 5$ . Aici $1, 4$ e aproximarea prin lipsă (mai mică), iar $1, 5$ e cea prin adaos (mai mare). Fiecare pas îngustează intervalul de 10 ori. Așa „astupăm găurile" lăsate de numerele raționale, iar axa reală devine complet plină.

De reținut

$1, 4 < 2 < 1, 5$ , prin lipsă și prin adaos
fiecare zecimală în plus îngustează intervalul de zece ori
axa reală se umple complet, fără poziții rămase libere

Greșeala tipică

Se marchează $2$ exact la $1, 4$ , ca și cum aceea ar fi valoarea. Este doar o aproximare prin lipsă, iar numărul adevărat stă puțin mai la dreapta.

Exerciții din această mini-lecție

Între ce două numere întregi consecutive se află $13$ ?
- a) Între $2$ și $3$
- b) Între $3$ și $4$
- c) Între $4$ și $5$
- d) Între $1$ și $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Între $3$ și $4$

$3^{2} = 9$ și $4^{2} = 16$ , iar $9 < 13 < 16$ , deci $3 < 13 < 4$ .
De ce spunem că axa numerelor reale este «plină», fără găuri?
- a) Pentru că toate numerele de pe axă sunt raționale
- b) Pentru că numerele iraționale ocupă exact punctele rămase libere de la numerele raționale
- c) Pentru că unitatea de măsură este mereu $1$ cm
- d) Pentru că pe axă nu există numere negative
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Pentru că numerele iraționale ocupă exact punctele rămase libere de la numerele raționale

Numerele raționale singure ar lăsa goluri pe axă (de exemplu în dreptul lui $2$ ); numerele iraționale, găsite prin aproximări, astupă exact aceste goluri, astfel încât fiecărui punct îi corespunde un număr real.
Între ce două numere întregi consecutive se află $55$ ?
- a) Între $6$ și $7$
- b) Între $7$ și $8$
- c) Între $8$ și $9$
- d) Între $5$ și $6$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Între $7$ și $8$

$7^{2} = 49$ și $8^{2} = 64$ , iar $49 < 55 < 64$ , deci $7 < 55 < 8$ .

Întrebări conexe

Cum marchez pe axă o fracție ca 7 supra 4?

Împarți fiecare unitate în patru părți egale, cât spune numitorul, apoi numeri șapte astfel de bucăți de la origine. Ajungi între $1$ și $2$ , mai exact la $1, 75$ . Aceeași metodă merge la orice fracție: numitorul spune în câte părți tai, iar numărătorul câte iei.

Se poate desena exact radical din 2 cu rigla și compasul?

Se poate, și fără nicio aproximare. Construiești un pătrat cu latura de o unitate, iar diagonala lui măsoară exact atât. Pui apoi vârful compasului în origine, cu deschiderea cât diagonala, și tai axa. Punctul obținut este chiar cel căutat, fiindcă $1^{2} + 1^{2} = 2$ .

Cum compar două numere doar uitându-mă pe axă?

Numărul așezat mai la dreapta este cel mai mare, oricât de complicat ar arăta scris. Astfel se compară fără calcule un radical cu o fracție sau cu un întreg. Regula funcționează și pentru valorile negative: cu cât punctul stă mai la stânga, cu atât numărul e mai mic.

Câte zecimale sunt de ajuns pentru o reprezentare bună?

Pe hârtia obișnuită, una sau două zecimale ajung, fiindcă ochiul nu distinge diferențe mai mici. Pentru $3$ marchezi la $1, 73$ și nimeni nu vede lipsa restului. Cerințele de exercițiu spun de obicei explicit câte zecimale se cer, iar tu te oprești acolo.

Ce înseamnă că axa numerelor reale nu are goluri?

Înseamnă că fiecărui punct de pe dreaptă îi răspunde un singur număr, și fiecărui număr un singur punct. Fracțiile singure lăsau locuri neocupate, tocmai acolo unde stau radicalii și numerele ca $π$ . Adăugându-le, dreapta se umple complet, fără nicio poziție rămasă liberă.

Cum aleg unitatea de măsură când desenez axa?

Te uiți la numerele care trebuie marcate și alegi o lungime care le cuprinde pe toate. Dacă lucrezi cu valori între $- 3$ și $3$ , o unitate de doi centimetri umple bine o foaie de caiet. Unitatea rămâne aceeași pe toată axa, altfel pozițiile devin înșelătoare.

Oamenii mai întreabă și: reprezentarea numerelor reale pe axă · aproximare prin lipsă și prin adaos · cum reprezint radical din 2 pe axă · încadrarea unui radical între întregi · axa numerelor reale