Tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit

Când un topograf vrea să afle înălțimea unui bloc fără să urce pe acoperiș, el măsoară de la ce distanță privește și sub ce unghi „vede" vârful clădirii. Legătura dintre acel unghi și raportul înălțime-distanță se numește tangentă. În lecția aceasta continuăm trigonometria din triunghiul dreptunghic, adăugând două rapoarte noi lângă sinus și cosinus: tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit. Vei vedea că sunt simple rapoarte între catete, dar deschid ușa spre calcule pe care altfel nu le-ai putea face.

Ce vei învăța

• Vei ști să definești și să calculezi tangenta unui unghi ascuțit ca raport dintre cateta opusă și cateta alăturată.
• Vei ști să definești și să calculezi cotangenta unui unghi ascuțit ca raport dintre cateta alăturată și cateta opusă.
• Vei ști să folosești relația $\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1$ și să treci de la una la cealaltă.
• Vei ști să exprimi tangenta și cotangenta cu ajutorul sinusului și cosinusului: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ și $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$.
• Vei ști să recunoști legăturile dintre tangenta unui unghi și cotangenta complementului său într-un triunghi dreptunghic.

Hai să descoperim împreună

Recapitulăm scena: triunghiul dreptunghic

Toată trigonometria de gimnaziu se petrece într-un triunghi dreptunghic, adică un triunghi care are un unghi drept (de $90^{\circ }$). Să notăm triunghiul $ABC$ cu unghiul drept în $A$, adică $m(\hat{A})=90^{\circ }$.

În acest triunghi avem trei laturi cu nume speciale:

• Ipotenuza este latura opusă unghiului drept, cea mai lungă latură. Aici ipotenuza este $BC$.
• Catetele sunt cele două laturi care formează unghiul drept. Aici catetele sunt $AB$ și $AC$.

Când ne uităm la un unghi ascuțit al triunghiului, de exemplu la $\hat{B}$, cele două catete capătă roluri diferite față de acel unghi:

• Cateta opusă unghiului $\hat{B}$ este latura care „stă în față", nu atinge vârful $B$. Aceasta este $AC$.
• Cateta alăturată unghiului $\hat{B}$ este cateta care pornește chiar din vârful $B$ (fără să fie ipotenuza). Aceasta este $AB$.

Reține ideea-cheie: opusă înseamnă „peste drum", iar alăturată înseamnă „lipită de unghi". Rolurile se schimbă dacă privim celălalt unghi ascuțit. Am folosit deja aceste noțiuni la sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit; acum construim pe ele.

De la sinus și cosinus la un raport nou

În lecția anterioară am definit, pentru un unghi ascuțit $\alpha$ dintr-un triunghi dreptunghic:

$$\sin \alpha =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza}},\cos \alpha =\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza}}.$$

Amândouă rapoartele foloseau ipotenuza la numitor. Dar există și o întrebare foarte firească: cât de „înclinată" este o latură față de alta, comparând direct cele două catete între ele? Dacă vreau să compar înălțimea unei rampe cu lungimea ei orizontală, ipotenuza nici nu mă interesează — mă interesează raportul dintre catete. Exact acest raport se numește tangentă.

Definiția tangentei unui unghi ascuțit

Definiție. Într-un triunghi dreptunghic, tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei opuse acelui unghi și lungimea catetei alăturate lui.

$$\boxed{\mathrm{tg}\alpha =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}}$$

Tangenta unghiului $\alpha$ se notează $\mathrm{tg}\alpha$ (se citește „tangentă de alfa"). În unele cărți vei întâlni și notația $\tan \alpha$, dar în manualele românești folosim $\mathrm{tg}$.

Pentru triunghiul $ABC$ cu unghiul drept în $A$, tangenta unghiului $B$ este:

$$\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}=\frac{\text{cateta opusa˘ lui }B}{\text{cateta ala˘turata˘ lui }B}.$$

Un prim exemplu concret. Fie un triunghi dreptunghic cu cateta opusă de $3$ cm și cateta alăturată de $4$ cm față de unghiul $\alpha$. Atunci:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{4}=0,75.$$

Observă un lucru important, care sperie uneori elevii: rezultatul nu are unitate de măsură. Tangenta este un raport de lungimi (cm împărțit la cm), deci centimetrii se simplifică și rămâne un simplu număr. La fel se întâmplă cu toate valorile trigonometrice.

Definiția cotangentei unui unghi ascuțit

Dacă tangenta compară opusa cu alăturata, cotangenta face exact invers.

Definiție. Într-un triunghi dreptunghic, cotangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei alăturate acelui unghi și lungimea catetei opuse lui.

$$\boxed{\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{cateta opusa˘}}}$$

Cotangenta se notează $\mathrm{ctg}\alpha$ (uneori $\cot \alpha$). Pentru triunghiul $ABC$ cu unghiul drept în $A$:

$$\mathrm{ctg}B=\frac{AB}{AC}=\frac{\text{cateta ala˘turata˘ lui }B}{\text{cateta opusa˘ lui }B}.$$

Pentru același triunghi cu catete de $3$ cm și $4$ cm din exemplul de mai sus:

$$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{4}{3}\approx 1,33.$$

Ai observat? $\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{4}$ și $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{4}{3}$. Cotangenta este fracția „întoarsă cu susul în jos" față de tangentă. Acesta nu e un accident, ci o proprietate pe care o demonstrăm imediat.

Relația dintre tangentă și cotangentă: produsul lor este 1

Să înmulțim tangenta și cotangenta aceluiași unghi. Notăm cu $o$ lungimea catetei opuse și cu $a$ lungimea catetei alăturate față de $\alpha$. Atunci:

$$\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =\frac{o}{a}\cdot \frac{a}{o}=\frac{o\cdot a}{a\cdot o}=1.$$

Am obținut o relație curată și foarte utilă:

$$\boxed{\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1}$$

Cu alte cuvinte, tangenta și cotangenta aceluiași unghi sunt numere inverse unul altuia. De aici scoatem imediat două formule practice:

$$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }\text{și}\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{\mathrm{ctg}\alpha }.$$

De ce e util? Dacă știi una dintre valori, o afli imediat pe cealaltă fără să mai măsori nimic. De exemplu, dacă $\mathrm{tg}\alpha =\frac{2}{5}$, atunci $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{5}{2}$. Sau, dacă $\mathrm{tg}\alpha =3$ (adică $\frac{3}{1}$), atunci $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{1}{3}$.

Verificare rapidă cu exemplul nostru: $\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}=1$. Corect.

Legătura cu sinusul și cosinusul

Aici trigonometria devine cu adevărat elegantă. Să arătăm că tangenta se poate scrie folosind sinusul și cosinusul aceluiași unghi. Într-un triunghi dreptunghic cu unghiul ascuțit $\alpha$, notăm:

• cateta opusă lui $\alpha$: $o$,
• cateta alăturată lui $\alpha$: $a$,
• ipotenuza: $i$.

Atunci, din definițiile lecției anterioare:

$$\sin \alpha =\frac{o}{i},\cos \alpha =\frac{a}{i}.$$

Calculăm raportul $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$. Împărțirea a două fracții înseamnă înmulțirea primeia cu inversa celei de-a doua:

$$\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{o}{i}}{\frac{a}{i}}=\frac{o}{i}\cdot \frac{i}{a}=\frac{o\cdot i}{i\cdot a}=\frac{o}{a}=\mathrm{tg}\alpha .$$

Ipotenuza $i$ s-a simplificat și a rămas exact raportul catetelor, adică tangenta. Deci:

$$\boxed{\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }}$$

Analog, pentru cotangentă:

$$\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\frac{a}{i}}{\frac{o}{i}}=\frac{a}{i}\cdot \frac{i}{o}=\frac{a}{o}=\mathrm{ctg}\alpha .$$

$$\boxed{\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }}$$

Reține ordinea, ca să nu le încurci: la tangentă, sinusul este sus (opusa e sus și la tangentă, și la sinus). La cotangentă, cosinusul este sus. O frază care ajută: „tangenta are sinus sus" nu prea rimează, dar poți memora astfel: tangenta = opusă/alăturată = (opusă/ipotenuză) / (alăturată/ipotenuză) = sin/cos.

Un exemplu de aplicare directă. Dacă știm că $\sin \alpha =\frac{3}{5}$ și $\cos \alpha =\frac{4}{5}$, atunci:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{4}=\frac{3}{4}.$$

Și, folosind relația produsului sau formula cu cosinus și sinus:

$$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{4}{3}.$$

Recunoști valorile? Sunt exact cele din triunghiul $3$–$4$–$5$ cu care am început. Toate metodele se leagă între ele — semn că am definit lucrurile corect.

O observație despre mărimea tangentei

La sinus și cosinus ai învățat că valorile sunt mereu mai mici decât 1 (pentru un unghi ascuțit), pentru că o catetă este întotdeauna mai scurtă decât ipotenuza. La tangentă și cotangentă lucrurile stau altfel. Tangenta compară două catete între ele, iar o catetă poate fi mai mare, mai mică sau egală cu cealaltă. Prin urmare:

• dacă cateta opusă este mai mică decât cea alăturată, atunci $\mathrm{tg}\alpha <1$;
• dacă cele două catete sunt egale (unghi de $45^{\circ }$), atunci $\mathrm{tg}\alpha =1$;
• dacă cateta opusă este mai mare decât cea alăturată, atunci $\mathrm{tg}\alpha >1$.

Deci tangenta poate fi oricât de mare, nu este limitată de $1$. Aceasta e o diferență importantă față de sinus și cosinus și o sursă frecventă de greșeli.

Cum „citim" o valoare a tangentei

Este util să ai o intuiție despre ce înseamnă o tangentă mare sau mică, fără să înveți încă valori exacte. Gândește-te la o rampă: cateta opusă este cât urcă, iar cateta alăturată este cât înaintează pe orizontală. Tangenta este raportul dintre urcare și înaintare — adică exact panta. Cu cât panta e mai abruptă, cu atât tangenta este mai mare.

Să urmărim informal cum se schimbă tangenta când unghiul crește, pe câteva triunghiuri simple (nu memora aceste numere, doar observă tendința):

Se vede clar o dependență: pe măsură ce unghiul crește de la aproape $0^{\circ }$ spre aproape $90^{\circ }$, tangenta crește de la valori foarte mici spre valori foarte mari. Cotangenta, fiind inversa, se comportă exact invers — scade când unghiul crește. Nu trebuie să reții tabelul; reține doar sensul: tangentă mare = unghi „abrupt", tangentă mică = unghi „aplatizat".

Un cadru mental util: complementul unghiului

Într-un triunghi dreptunghic $ABC$ cu unghiul drept în $A$, cele două unghiuri ascuțite $\hat{B}$ și $\hat{C}$ se completează până la $90^{\circ }$ (pentru că suma unghiurilor triunghiului este $180^{\circ }$, iar unul e deja de $90^{\circ }$). Spunem că $\hat{B}$ și $\hat{C}$ sunt unghiuri complementare: $m(\hat{B})+m(\hat{C})=90^{\circ }$.

Cateta opusă lui $B$ este totodată cateta alăturată lui $C$, și invers. De aceea:

$$\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}=\mathrm{ctg}C\text{și}\mathrm{ctg}B=\frac{AB}{AC}=\mathrm{tg}C.$$

Cu alte cuvinte, tangenta unui unghi este egală cu cotangenta complementului său: $\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{ctg}(90^{\circ }-\alpha )$. Ai grijă să nu confunzi această relație (despre două unghiuri diferite, care se completează) cu relația $\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1$ (despre același unghi). Sunt lucruri diferite. Valorile exacte pentru $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ și $60^{\circ }$ le vei studia detaliat în lecția despre valorile trigonometrice ale unghiurilor speciale.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — tangenta și cotangenta dintr-un triunghi cu catete date

Enunț. În triunghiul dreptunghic $MNP$ cu $m(\hat{M})=90^{\circ }$ avem catetele $MN=5$ cm și $MP=12$ cm. Calculează $\mathrm{tg}N$, $\mathrm{ctg}N$, $\mathrm{tg}P$ și $\mathrm{ctg}P$.

Rezolvare. Facem un desen și fixăm rolurile. Unghiul drept e în $M$, deci catetele sunt $MN$ și $MP$, iar ipotenuza este $NP$.

Pentru unghiul $N$:

• cateta opusă lui $N$ este $MP=12$;
• cateta alăturată lui $N$ este $MN=5$.

$$\mathrm{tg}N=\frac{\text{opusa˘}}{\text{ala˘turata˘}}=\frac{MP}{MN}=\frac{12}{5},\mathrm{ctg}N=\frac{MN}{MP}=\frac{5}{12}.$$

Pentru unghiul $P$ rolurile se inversează:

• cateta opusă lui $P$ este $MN=5$;
• cateta alăturată lui $P$ este $MP=12$.

$$\mathrm{tg}P=\frac{MN}{MP}=\frac{5}{12},\mathrm{ctg}P=\frac{MP}{MN}=\frac{12}{5}.$$

Verificare. $\mathrm{tg}N\cdot \mathrm{ctg}N=\frac{12}{5}\cdot \frac{5}{12}=1$. Corect. În plus, observăm că $\mathrm{tg}N=\mathrm{ctg}P$ (ambele $\frac{12}{5}$), fiindcă $N$ și $P$ sunt complementare.

Exemplul 2 — de la o valoare la cealaltă cu $\mathrm{tg}\cdot \mathrm{ctg}=1$

Enunț. Se știe că $\mathrm{tg}\alpha =\frac{7}{24}$. Calculează $\mathrm{ctg}\alpha$.

Rezolvare. Folosim relația $\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1$, deci $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }$.

$$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{1}{\frac{7}{24}}=\frac{24}{7}.$$

Concluzie. Cotangenta este fracția inversată: $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{24}{7}$. Verificare: $\frac{7}{24}\cdot \frac{24}{7}=1$. Corect.

Exemplul 3 — tangenta din sinus și cosinus

Enunț. Pentru un unghi ascuțit $\alpha$ se cunosc $\sin \alpha =\frac{8}{17}$ și $\cos \alpha =\frac{15}{17}$. Calculează $\mathrm{tg}\alpha$ și $\mathrm{ctg}\alpha$.

Rezolvare. Aplicăm direct formulele de legătură.

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}}=\frac{8}{17}\cdot \frac{17}{15}=\frac{8}{15}.$$

$$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{15}{8}.$$

Verificare. $\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =\frac{8}{15}\cdot \frac{15}{8}=1$. Corect. (Numerele $8$, $15$, $17$ formează un triunghi dreptunghic, pentru că $8^2+15^2=64+225=289=17^2$.)

Exemplul 4 — aflarea unei catete cunoscând tangenta

Enunț. În triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $m(\hat{A})=90^{\circ }$ se știe că $\mathrm{tg}B=\frac{3}{4}$ și că cateta alăturată lui $B$ are $AB=8$ cm. Află cateta opusă lui $B$.

Rezolvare. Tangenta unghiului $B$ este raportul dintre cateta opusă ($AC$) și cateta alăturată ($AB$):

$$\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}⟹\frac{3}{4}=\frac{AC}{8}.$$

Aceasta este o proporție. Aflăm $AC$ înmulțind încrucișat:

$$4\cdot AC=3\cdot 8⟹4\cdot AC=24⟹AC=6\text{ cm}.$$

Concluzie. Cateta opusă lui $B$ măsoară $6$ cm. Verificare rapidă: $\mathrm{tg}B=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$. Corect.

Exemplul 5 — folosirea complementarității

Enunț. Într-un triunghi dreptunghic, unghiurile ascuțite sunt $\alpha$ și $\beta$, cu $\alpha +\beta =90^{\circ }$. Se știe că $\mathrm{tg}\alpha =2$. Calculează $\mathrm{ctg}\alpha$, $\mathrm{tg}\beta$ și $\mathrm{ctg}\beta$.

Rezolvare. Mai întâi cotangenta aceluiași unghi:

$$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }=\frac{1}{2}.$$

Fiindcă $\alpha$ și $\beta$ sunt complementare, tangenta unuia este cotangenta celuilalt:

$$\mathrm{tg}\beta =\mathrm{ctg}\alpha =\frac{1}{2},\mathrm{ctg}\beta =\mathrm{tg}\alpha =2.$$

Verificare. $\mathrm{tg}\beta \cdot \mathrm{ctg}\beta =\frac{1}{2}\cdot 2=1$. Corect.

Exemplul 6 — o mică problemă aplicată (rampa)

Enunț. O rampă de acces urcă $1,2$ m pe verticală de-a lungul unei distanțe orizontale de $9$ m. Calculează tangenta și cotangenta unghiului $\alpha$ pe care rampa îl face cu orizontala.

Rezolvare. Față de unghiul $\alpha$ dintre rampă și sol:

• cateta opusă este urcarea pe verticală: $1,2$ m;
• cateta alăturată este distanța orizontală: $9$ m.

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{1,2}{9}=\frac{12}{90}=\frac{2}{15}.$$

$$\mathrm{ctg}\alpha =\frac{9}{1,2}=\frac{90}{12}=\frac{15}{2}=7,5.$$

Interpretare. Cotangenta $7,5$ ne spune că, pentru fiecare metru urcat, rampa se întinde $7,5$ metri pe orizontală — o rampă foarte lină, potrivită pentru accesul persoanelor cu dizabilități. Verificare: $\frac{2}{15}\cdot \frac{15}{2}=1$. Corect.

Exemplul 7 — înălțimea unui bloc (ne întoarcem la topograf)

Enunț. Ne întoarcem la topograful din introducere. El se așază la $30$ m de baza unui bloc și măsoară că unghiul $\alpha$ sub care „vede" vârful clădirii are $\mathrm{tg}\alpha =\frac{7}{5}$. La ce înălțime se află vârful blocului față de ochiul aparatului?

Rezolvare. Formăm un triunghi dreptunghic: cateta alăturată unghiului $\alpha$ este distanța pe orizontală ($30$ m), iar cateta opusă este înălțimea $h$ pe care o căutăm. Din definiția tangentei:

$$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\text{opusa˘}}{\text{ala˘turata˘}}=\frac{h}{30}.$$

Cum $\mathrm{tg}\alpha =\frac{7}{5}$, obținem proporția $\frac{h}{30}=\frac{7}{5}$. Înmulțim încrucișat:

$$5\cdot h=7\cdot 30⟹5h=210⟹h=42\text{ m}.$$

Concluzie. Vârful blocului se află la $42$ m deasupra aparatului. Observă că tangenta a fost mai mare decât $1$ (blocul e mai înalt decât distanța de la care e privit), lucru perfect posibil. Aceasta este exact ideea din prima frază a lecției: cu un unghi și o distanță, tangenta îți dă o înălțime la care nu ai putea ajunge cu ruleta.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet. Fă un desen ori de câte ori te ajută. Răspunsurile și explicațiile sunt mai jos, dar încearcă întâi singur.

1. Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului $\alpha$ are $6$ cm, iar cateta alăturată are $8$ cm. Calculează $\mathrm{tg}\alpha$ și $\mathrm{ctg}\alpha$.

2. Scrie definiția tangentei și a cotangentei unui unghi ascuțit, folosind cuvintele „cateta opusă" și „cateta alăturată".

3. Se dă $\mathrm{tg}\alpha =\frac{9}{20}$. Calculează $\mathrm{ctg}\alpha$.

4. Se dă $\mathrm{ctg}\beta =4$. Calculează $\mathrm{tg}\beta$.

5. Pentru un unghi ascuțit se știe $\sin \alpha =\frac{20}{29}$ și $\cos \alpha =\frac{21}{29}$. Calculează $\mathrm{tg}\alpha$ și $\mathrm{ctg}\alpha$.

6. Adevărat sau fals (justifică): „Tangenta unui unghi ascuțit este întotdeauna mai mică decât $1$."

7. În triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $m(\hat{C})=90^{\circ }$ avem catetele $CA=7$ și $CB=24$. Calculează $\mathrm{tg}A$, $\mathrm{ctg}A$, $\mathrm{tg}B$ și $\mathrm{ctg}B$.

8. Calculează produsul $\mathrm{tg}35^{\circ }\cdot \mathrm{ctg}35^{\circ }$ fără să cunoști vreo valoare numerică. Explică pe ce te bazezi.

9. În triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $m(\hat{A})=90^{\circ }$ se știe $\mathrm{tg}B=\frac{5}{2}$ și cateta alăturată $AB=6$ cm. Află cateta opusă lui $B$.

10. Se dă $\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{7}$. Calculează $\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{ctg}\alpha$.

11. Adevărat sau fals (justifică): „Dacă $\mathrm{tg}\alpha =1$, atunci cele două catete ale triunghiului sunt egale."

12. Într-un triunghi dreptunghic, unghiurile ascuțite sunt $\alpha$ și $\beta$ (complementare). Se știe $\mathrm{tg}\alpha =\frac{5}{9}$. Fără alte calcule, scrie $\mathrm{ctg}\beta$ și $\mathrm{tg}\beta$.

13. Un unghi ascuțit are $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{40}{9}$ și $\cos \alpha =\frac{40}{41}$. Calculează $\sin \alpha$. (Indicație: folosește $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$.)

14. Desenează un triunghi dreptunghic în care cateta opusă unghiului $\alpha$ este de trei ori mai mare decât cateta alăturată. Cât este $\mathrm{tg}\alpha$? Dar $\mathrm{ctg}\alpha$?

15. Un catarg vertical proiectează o umbră pe sol. Raza de soare face cu solul un unghi $\alpha$ pentru care $\mathrm{tg}\alpha =\frac{5}{2}$. Dacă umbra (pe orizontală) are $2,4$ m, cât de înalt este catargul?

16. Se dă $\mathrm{tg}\alpha =\frac{2}{5}$. Calculează valoarea expresiei $E=3\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha -2$.

17. Adevărat sau fals (justifică): „$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$."

18. În triunghiul dreptunghic $DEF$ cu $m(\hat{D})=90^{\circ }$, $\mathrm{tg}E=\frac{8}{15}$ și ipotenuza $EF=34$ cm. Află lungimile celor două catete. (Indicație: dacă $\mathrm{tg}E=\frac{8}{15}$, catetele pot fi scrise $8k$ și $15k$; folosește teorema lui Pitagora.)

19. Un acoperiș urcă $2,4$ m pe verticală pe o distanță orizontală de $3$ m (de la streașină spre coamă). Calculează $\mathrm{tg}\alpha$ și $\mathrm{ctg}\alpha$ pentru unghiul $\alpha$ dintre acoperiș și orizontală.

20. Se dă $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{3}{5}$. Calculează valoarea expresiei $E=5\mathrm{tg}\alpha -2\mathrm{ctg}\alpha$.

Răspunsuri și explicații

1. $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\text{opusa˘}}{\text{ala˘turata˘}}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$; $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$. Verificare: $\frac{3}{4}\cdot \frac{4}{3}=1$.

2. Tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă și cateta alăturată acelui unghi. Cotangenta este raportul dintre cateta alăturată și cateta opusă. (Sunt fracții inversate una față de cealaltă.)

3. $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }=\frac{1}{\frac{9}{20}}=\frac{20}{9}$.

4. $\mathrm{tg}\beta =\frac{1}{\mathrm{ctg}\beta }=\frac{1}{4}$.

5. $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{20/29}{21/29}=\frac{20}{21}$; $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{21}{20}$. Verificare: $\frac{20}{21}\cdot \frac{21}{20}=1$.

6. Fals. Tangenta compară două catete, iar cateta opusă poate fi mai mare decât cea alăturată; în acest caz $\mathrm{tg}\alpha >1$. Exemplu: catete de $8$ și $3$ dau $\mathrm{tg}\alpha =\frac{8}{3}>1$. Tangenta poate fi oricât de mare.

7. Unghiul drept e în $C$, deci catetele sunt $CA=7$ și $CB=24$, iar ipotenuza este $AB$. Pentru $A$: opusă $=CB=24$, alăturată $=CA=7$, deci $\mathrm{tg}A=\frac{24}{7}$, $\mathrm{ctg}A=\frac{7}{24}$. Pentru $B$: opusă $=CA=7$, alăturată $=CB=24$, deci $\mathrm{tg}B=\frac{7}{24}$, $\mathrm{ctg}B=\frac{24}{7}$. (Observă: $\mathrm{tg}A=\mathrm{ctg}B$, fiindcă $A$ și $B$ sunt complementare.)

8. $\mathrm{tg}35^{\circ }\cdot \mathrm{ctg}35^{\circ }=1$. Ne bazăm pe relația $\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1$, valabilă pentru orice unghi ascuțit, indiferent de valoarea lui. Nu avem nevoie de valori numerice.

9. $\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}\Rightarrow \frac{5}{2}=\frac{AC}{6}$. Înmulțim încrucișat: $2\cdot AC=30$, deci $AC=15$ cm.

10. $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{7}{3}$. Atunci $\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{ctg}\alpha =\frac{3}{7}+\frac{7}{3}=\frac{9}{21}+\frac{49}{21}=\frac{58}{21}$.

11. Adevărat. $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\text{opusa˘}}{\text{ala˘turata˘}}=1$ înseamnă opusă $=$ alăturată, deci cele două catete sunt egale. (Este cazul unghiului de $45^{\circ }$, într-un triunghi dreptunghic isoscel.)

12. Deoarece $\alpha$ și $\beta$ sunt complementare: $\mathrm{ctg}\beta =\mathrm{tg}\alpha =\frac{5}{9}$ și $\mathrm{tg}\beta =\mathrm{ctg}\alpha =\frac{9}{5}$.

13. Din $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ rezultă $\sin \alpha =\frac{\cos \alpha }{\mathrm{ctg}\alpha }=\frac{40/41}{40/9}=\frac{40}{41}\cdot \frac{9}{40}=\frac{9}{41}$. (Coerent: $9$, $40$, $41$ este triplet pitagoreic, $9^2+40^2=81+1600=1681=41^2$.)

14. Dacă notăm cateta alăturată cu $x$, atunci cateta opusă este $3x$. $\mathrm{tg}\alpha =\frac{3x}{x}=3$; $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$. (Valorile nu depind de $x$.)

triunghi dreptunghic cu cateta alăturată x și cateta opusă 3x, unghiul alfa la baza dintre alăturată și ipotenuză

15. Față de unghiul $\alpha$: opusă $=$ înălțimea catargului $h$, alăturată $=$ umbra $=2,4$ m. $\mathrm{tg}\alpha =\frac{h}{2,4}=\frac{5}{2}$. Deci $h=2,4\cdot \frac{5}{2}=1,2\cdot 5=6$ m. Catargul are $6$ m.

16. $\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1$ (nu contează că $\mathrm{tg}\alpha =\frac{2}{5}$). Deci $E=3\cdot 1-2=1$.

17. Fals. Corect este $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ (sinus sus). Expresia $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ este de fapt $\mathrm{ctg}\alpha$, nu tangenta.

18. Scriem catetele ca $8k$ (opusă lui $E$) și $15k$ (alăturată lui $E$), pentru că $\mathrm{tg}E=\frac{8k}{15k}=\frac{8}{15}$. Teorema lui Pitagora: $(8k{)}^2+(15k{)}^2=34^2$, adică $64k^2+225k^2=1156$, deci $289k^2=1156$, $k^2=4$, $k=2$. Catetele sunt $8k=16$ cm și $15k=30$ cm. Verificare: $16^2+30^2=256+900=1156=34^2$. Corect.

19. Față de unghiul $\alpha$: opusă $=2,4$ m (urcarea), alăturată $=3$ m. $\mathrm{tg}\alpha =\frac{2,4}{3}=\frac{24}{30}=\frac{4}{5}=0,8$; $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{3}{2,4}=\frac{30}{24}=\frac{5}{4}=1,25$. Verificare: $\frac{4}{5}\cdot \frac{5}{4}=1$.

20. Din $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{3}{5}$ rezultă $\mathrm{tg}\alpha =\frac{1}{\mathrm{ctg}\alpha }=\frac{5}{3}$. Atunci $E=5\cdot \frac{5}{3}-2\cdot \frac{3}{5}=\frac{25}{3}-\frac{6}{5}=\frac{125}{15}-\frac{18}{15}=\frac{107}{15}$.

De reținut

• Tangenta: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}$. Cotangenta: $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{cateta opusa˘}}$. Sunt rapoarte de lungimi, deci numere fără unitate de măsură.
• Relația de bază: $\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1$, prin urmare $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }$. Tangenta și cotangenta aceluiași unghi sunt numere inverse.
• Legătura cu sinus și cosinus: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$ și $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$. La tangentă sinusul e sus; la cotangentă cosinusul e sus.
• Complementaritate: într-un triunghi dreptunghic, $\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{ctg}(90^{\circ }-\alpha )$; tangenta unui unghi egalează cotangenta complementului său.
• Spre deosebire de sinus și cosinus, tangenta și cotangenta pot fi mai mari decât $1$ (nu sunt limitate).

Greșeli frecvente

• Inversarea opusei cu alăturata. Mulți scriu tangenta cu alăturata sus. Reține: la tangentă, opusa e sus (t-o-pusă). Verifică mereu pe un desen care catetă „stă în față" față de unghiul ales.
• Confuzia $\mathrm{tg}=\frac{\sin }{\cos }$ cu $\mathrm{ctg}=\frac{\cos }{\sin }$. Un truc: la sinus și la tangentă opusa este sus; deci tangenta = sinus/cosinus. Cotangenta e „întoarsă": cosinus/sinus.
• Amestecarea celor două relații. $\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1$ este despre același unghi, iar $\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{ctg}(90^{\circ }-\alpha )$ este despre două unghiuri complementare. Nu le combina.
• Credința că tangenta e mereu sub $1$. Fals — tangenta poate depăși $1$ ori de câte ori cateta opusă e mai mare decât cea alăturată. Nu aplica automat regula de la sinus/cosinus.

Aplică acasă

1. Măsoară înclinarea unei scări sau a unei rampe. Cu o riglă și un fir cu greutate, măsoară cât urcă (pe verticală) o treaptă și cât se întinde (pe orizontală). Calculează $\mathrm{tg}\alpha$ și $\mathrm{ctg}\alpha$ pentru unghiul cu orizontala. Compară două scări diferite: care e mai abruptă? (Cea cu tangenta mai mare.)

2. Umbra la prânz și seara. Înfige un băț vertical în pământ și măsoară de două ori, la ore diferite, înălțimea bățului (rămâne constantă) și lungimea umbrei. Calculează de fiecare dată $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\text{ıˆna˘lțime}}{\text{umbra˘}}$ pentru unghiul razelor cu solul. Observă cum se schimbă tangenta când soarele coboară.

3. Verificare cu proporția. Alege un triunghi dreptunghic din desenul unei cutii sau al unei cărămizi și, cunoscând o catetă și tangenta unui unghi, prezice cealaltă catetă prin proporție. Apoi măsoară și verifică dacă predicția ta e corectă.

Pentru părinți și profesori

La această lecție, elevul face pasul de la sinus/cosinus (rapoarte cu ipotenuza) la tangentă/cotangentă (rapoarte între catete). Cel mai important este ca elevul să identifice corect care catetă este opusă și care alăturată față de unghiul ales — acesta e punctul critic. Sfat practic: cereți-i mereu să facă un desen și să coloreze unghiul înainte de a scrie fracția.

Întrebări bune de verificare:

• „Ce este tangenta unui unghi ascuțit? Dar cotangenta?" (răspuns cu opusă/alăturată).
• „Dacă $\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{4}$, cât este $\mathrm{ctg}\alpha$ și de ce?" (răspuns $\frac{4}{3}$, pentru că produsul lor e $1$).
• „Poate tangenta să fie mai mare decât $1$?" (da, spre deosebire de sinus/cosinus).
• „Cum scrii tangenta cu ajutorul lui sinus și cosinus?" ($\frac{\sin }{\cos }$).

Semne că a înțeles: schimbă corect rolurile catetelor când trece de la un unghi ascuțit la celălalt, folosește relația produsului fără să refacă desenul și nu confundă $\frac{\sin }{\cos }$ cu $\frac{\cos }{\sin }$. Dacă greșește, întoarceți-vă la definiția pe desen, nu la memorarea formulei.

Întrebări frecvente

Ce este tangenta unui unghi ascuțit la clasa a 7-a? Tangenta unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este raportul dintre lungimea catetei opuse acelui unghi și lungimea catetei alăturate. Se notează $\mathrm{tg}\alpha$ și este un număr fără unitate de măsură.

Care este diferența dintre tangentă și cotangentă? Sunt rapoarte inversate: tangenta este opusă/alăturată, iar cotangenta este alăturată/opusă. Pentru același unghi, ele sunt numere inverse, adică $\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1$.

De ce este $\mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{ctg}\alpha =1$? Pentru că $\mathrm{tg}\alpha =\frac{o}{a}$ și $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{a}{o}$, iar produsul $\frac{o}{a}\cdot \frac{a}{o}$ se simplifică și dă $1$. De aceea, dacă știi una, o afli imediat pe cealaltă.

Cum calculez tangenta dacă știu sinusul și cosinusul? Împarți sinusul la cosinus: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$. Pentru cotangentă împarți cosinusul la sinus: $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$.

Poate tangenta să fie mai mare decât 1? Da. Spre deosebire de sinus și cosinus (care sunt mereu sub $1$ pentru un unghi ascuțit), tangenta compară două catete. Dacă cateta opusă e mai mare decât cea alăturată, tangenta depășește $1$; dacă sunt egale (unghi de $45^{\circ }$), tangenta este exact $1$.

Ce înseamnă că tangenta nu are unitate de măsură? Tangenta este un raport de lungimi (de exemplu cm/cm), iar unitatea se simplifică. Rămâne un simplu număr, ca $0,75$ sau $\frac{3}{4}$, care descrie „înclinarea", nu o lungime.

Este adevărat că $\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{ctg}(90^{\circ }-\alpha )$? Da. Într-un triunghi dreptunghic, unghiurile ascuțite se completează până la $90^{\circ }$, iar cateta opusă unuia este alăturată celuilalt. De aceea tangenta unui unghi este egală cu cotangenta complementului său.

Unde folosesc tangenta în viața reală? La calculul înclinării rampelor și acoperișurilor, la aflarea înălțimii unei clădiri sau a unui copac din umbra lui, la pantele drumurilor și în construcții. Ori de câte ori compari o urcare verticală cu o distanță orizontală, tangenta este instrumentul potrivit.