Valorile trigonometrice ale unghiurilor de 30°, 45° și 60°

Imaginează-ți că vrei să afli înălțimea unui bloc fără să te urci pe el sau lungimea unei rampe de acces pentru biciclete care urcă la un unghi de $30°$. În toate aceste situații ai nevoie de valorile trigonometrice ale câtorva unghiuri „speciale". Vestea bună este că pentru trei unghiuri foarte des întâlnite — $30°$, $45°$ și $60°$ — nu ai nevoie de niciun calculator: valorile lor pot fi deduse cu precizie din două triunghiuri pe care le cunoști deja, iar rezultatele se strâng într-un tabel scurt pe care merită să-l ții minte pe tot parcursul liceului. În această lecție de la clasa a 7-a vei învăța de unde vin aceste valori trigonometrice, cum arată tabelul trigonometric complet și cum îl folosești ca să calculezi laturi și unghiuri.

Ce vei învăța

• Vei ști să deduci valorile trigonometrice pentru $45°$ folosind triunghiul dreptunghic isoscel.
• Vei ști să deduci valorile pentru $30°$ și $60°$ folosind jumătatea triunghiului echilateral.
• Vei ști să memorezi și să folosești tabelul cu $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$ și $\mathrm{ctg}$ pentru $30°$, $45°$ și $60°$.
• Vei ști să calculezi laturi și unghiuri ale unui triunghi dreptunghic aplicând aceste valori.

Hai să descoperim împreună

De ce tocmai 30°, 45° și 60°?

În lecțiile anterioare ai învățat definițiile din triunghiul dreptunghic: pentru un unghi ascuțit $\alpha$, $$\sin \alpha =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza}},\cos \alpha =\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza}},$$ $$\mathrm{tg}\alpha =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}},\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{cateta opusa˘}}.$$

Dacă vrei să reiei aceste definiții, ai la dispoziție lecțiile Sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit și Tangenta și cotangenta unui unghi ascuțit.

Pentru majoritatea unghiurilor, aceste valori sunt numere „urâte" pe care le citim din calculator sau din tabele tipărite. Dar $30°$, $45°$ și $60°$ sunt speciale, pentru că apar în două triunghiuri foarte cunoscute: pătratul tăiat pe diagonală (care ne dă $45°$) și triunghiul echilateral tăiat pe înălțime (care ne dă $30°$ și $60°$). Din aceste figuri putem afla valorile exact, folosind doar teorema lui Pitagora. Hai să le construim pas cu pas.

Pasul 1. Valorile pentru 45° — triunghiul dreptunghic isoscel

Un triunghi dreptunghic isoscel are unghiul drept și celelalte două unghiuri egale. Fiindcă suma unghiurilor unui triunghi este $180°$, cele două unghiuri ascuțite măsoară fiecare $$\frac{180°-90°}{2}=\frac{90°}{2}=45°.$$

Așadar, un triunghi dreptunghic cu un unghi de $45°$ este automat isoscel: cele două catete sunt egale. Ca să facem calculul simplu, alegem catetele de lungime $1$.

Notăm triunghiul $ABC$ cu unghiul drept în $A$ și $AB=AC=1$. Ipotenuza $BC$ o aflăm cu teorema lui Pitagora: $$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=1^2+1^2=2⟹BC=\sqrt{2}.$$

Acum aplicăm definițiile pentru unghiul de $45°$ (de exemplu unghiul din $B$). Față de acest unghi:

• cateta opusă este $AC=1$;
• cateta alăturată este $AB=1$;
• ipotenuza este $BC=\sqrt{2}$.

Prin urmare: $$\sin 45°=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}},\cos 45°=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Fracția $\frac{1}{\sqrt{2}}$ are radical la numitor, așa că o raționalizăm (metodă învățată în lecția Raționalizarea numitorului de forma a√b): $$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Deci: $$\boxed{\sin 45°=\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}}.$$

Este firesc ca $\sin 45°$ să fie egal cu $\cos 45°$: într-un triunghi isoscel cele două catete sunt egale, deci „opusa" și „alăturata" au aceeași lungime.

Pentru tangentă și cotangentă: $$\mathrm{tg}45°=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{1}=1,\mathrm{ctg}45°=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{1}=1.$$

Reține imaginea intuitivă: la $45°$ „urci exact cât înaintezi", panta este de $1$, adică o creștere de $100\%$. De aceea $\mathrm{tg}45°=1$.

Pasul 2. Valorile pentru 30° și 60° — jumătatea triunghiului echilateral

Pentru celelalte două unghiuri pornim de la un triunghi echilateral, care are toate laturile egale și toate unghiurile de $60°$. Alegem latura egală cu $2$ (numărul $2$ e ales dinadins ca să evităm fracțiile la jumătate).

Fie triunghiul echilateral $ABC$ cu $AB=BC=CA=2$. Coborâm din $A$ înălțimea $AD$ pe latura $BC$. Într-un triunghi echilateral, înălțimea dintr-un vârf este în același timp și mediană și bisectoare (proprietate discutată în capitolul despre triunghiuri). Din asta rezultă două lucruri importante:

1. Punctul $D$ este mijlocul laturii $BC$, deci $BD=DC=\frac{2}{2}=1$.
2. Înălțimea $AD$ împarte unghiul $A$ (care are $60°$) în două unghiuri egale de câte $30°$.

Așa am obținut un triunghi dreptunghic $ABD$ cu:

• unghiul drept în $D$;
• unghiul din $B$ egal cu $60°$;
• unghiul $BAD$ egal cu $30°$;
• ipotenuza $AB=2$ și cateta $BD=1$.

Ne mai lipsește cateta $AD$. O aflăm iar cu teorema lui Pitagora în triunghiul $ABD$: $$A{B}^2=A{D}^2+B{D}^2⟹2^2=A{D}^2+1^2⟹A{D}^2=4-1=3⟹AD=\sqrt{3}.$$

Acum avem toate laturile: $BD=1$, $AD=\sqrt{3}$, $AB=2$. Le folosim pentru ambele unghiuri.

Pentru unghiul de 30° (unghiul $BAD$, din vârful $A$). Față de el:

• cateta opusă este $BD=1$;
• cateta alăturată este $AD=\sqrt{3}$;
• ipotenuza este $AB=2$.

$$\sin 30°=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2},\cos 30°=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ $$\mathrm{tg}30°=\frac{BD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3},\mathrm{ctg}30°=\frac{AD}{BD}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}.$$

Am raționalizat din nou: $\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Pentru unghiul de 60° (unghiul din $B$). Față de el, rolurile catetelor se inversează:

• cateta opusă este $AD=\sqrt{3}$;
• cateta alăturată este $BD=1$;
• ipotenuza este $AB=2$.

$$\sin 60°=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos 60°=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{2}.$$ $$\mathrm{tg}60°=\frac{AD}{BD}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3},\mathrm{ctg}60°=\frac{BD}{AD}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

Pasul 3. Tabelul valorilor trigonometrice

Strângem tot ce am dedus într-un singur tabel trigonometric. Acesta este cel mai important lucru din lecție — merită învățat pe de rost, dar cu înțelegerea de mai sus, ca să-l poți reconstrui oricând ai uitat un rând.

Trucuri de memorare

Ca să nu încurci valorile, folosește următoarele observații — sunt mai ușor de ținut minte decât par:

Trucul pentru sinus. Scrie pentru $30°$, $45°$, $60°$ radicalii din $1$, $2$, $3$ împărțiți la $2$: $$\sin 30°=\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2},\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ Sinusul crește de la $30°$ la $60°$: cu cât unghiul e mai mare (până la $90°$), cu atât cateta opusă e mai mare, deci raportul crește.

Trucul pentru cosinus. Cosinusul este exact invers, adică citește șirul de la coadă la cap: $\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 60°=\frac{1}{2}$. Cosinusul scade când unghiul crește.

Relația de complementaritate. Observă că $\sin 30°=\cos 60°$, $\sin 60°=\cos 30°$, $\sin 45°=\cos 45°$. Aceasta nu e o coincidență: unghiurile $30°$ și $60°$ sunt complementare (suma lor este $90°$), iar sinusul unui unghi este întotdeauna egal cu cosinusul complementului său. De asemenea, $\mathrm{tg}30°=\mathrm{ctg}60°$ și $\mathrm{tg}60°=\mathrm{ctg}30°$.

Trucul pentru tangentă. Tangenta crește: $\mathrm{tg}30°=\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,58$, apoi $\mathrm{tg}45°=1$, apoi $\mathrm{tg}60°=\sqrt{3}\approx 1,73$. Cotangenta face invers (scade), fiindcă $\mathrm{ctg}$ este inversul lui $\mathrm{tg}$: $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{1}{\mathrm{tg}\alpha }$.

Valori aproximative — o plasă de siguranță

Valorile exacte, cu radical, sunt cele pe care le scrii la teste. Dar uneori vrei să știi rapid „cam cât" iese un rezultat, ca să verifici dacă are sens. Pentru asta e util să reții și câteva valori zecimale aproximative ale radicalilor:

• $\sqrt{2}\approx 1,41$, deci $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,71$;
• $\sqrt{3}\approx 1,73$, deci $\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,87$ și $\frac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,58$.

Cu ele, tabelul devine, în aproximare zecimală:

Observă un lucru important: toate valorile lui $\sin$ și $\cos$ sunt cuprinse între $0$ și $1$. Este firesc, pentru că o catetă este întotdeauna mai scurtă decât ipotenuza, iar sinusul și cosinusul sunt rapoarte de forma $\frac{\text{cateta˘}}{\text{ipotenuza˘}}$. Dacă vreodată îți iese un sinus sau un cosinus mai mare decât $1$, poți fi sigur că ai greșit undeva. Tangenta, în schimb, poate trece de $1$ (cum se vede la $60°$, unde ajunge la $\approx 1,73$), pentru că ea este raportul a două catete, care nu are această limită.

Reține deci: valorile aproximative nu înlocuiesc forma cu radical, dar sunt o plasă de siguranță. Când termini o problemă, aruncă o privire — dacă îți iese cateta mai lungă decât ipotenuza sau un unghi „ciudat", numerele zecimale îți spun imediat că ceva nu e în regulă.

Pasul 4. Cum folosim tabelul ca să aflăm laturi

Odată memorat tabelul, îl folosim ca pe o „cheie" care leagă un unghi de rapoartele dintre laturi. Ideea de lucru este mereu aceeași:

1. Identifici unghiul cunoscut și decizi care funcție trigonometrică leagă latura cunoscută de cea căutată (te uiți dacă latura e opusă, alăturată sau ipotenuză).
2. Scrii egalitatea, de exemplu $\sin 30°=\frac{\text{opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}}$.
3. Înlocuiești valoarea din tabel și rezolvi ecuația în raport cu latura necunoscută.

De exemplu, dacă știm că într-un triunghi dreptunghic ipotenuza este $10$ și un unghi ascuțit are $30°$, atunci cateta opusă lui $30°$ se află direct: $$\sin 30°=\frac{\text{cateta opusa˘}}{10}⟹\frac{1}{2}=\frac{\text{cateta opusa˘}}{10}⟹\text{cateta opusa˘}=10\cdot \frac{1}{2}=5.$$

Vom exersa tehnica pe larg în secțiunea de exemple. Aceste calcule sunt exact „materia primă" pentru lecția următoare, Rezolvarea triunghiului dreptunghic, în care afli toate elementele unui triunghi pornind de la câteva date.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Calcul direct cu valori din tabel

Calculează $E=\sin 30°+\cos 60°+\mathrm{tg}45°$.

Rezolvare. Citim fiecare valoare din tabel: $$\sin 30°=\frac{1}{2},\cos 60°=\frac{1}{2},\mathrm{tg}45°=1.$$ Înlocuim: $$E=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=1+1=2.$$

Răspuns: $E=2$.

Exemplul 2 — Expresie cu radicali

Calculează $F=4\cos 30°-\mathrm{tg}60°+\sin 45°\cdot \cos 45°$.

Rezolvare. Din tabel: $\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\mathrm{tg}60°=\sqrt{3}$, $\sin 45°=\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Calculăm pe rând: $$4\cos 30°=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}.$$ $$\sin 45°\cdot \cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}.$$

Adunăm totul: $$F=2\sqrt{3}-\sqrt{3}+\frac{1}{2}=(2-1)\sqrt{3}+\frac{1}{2}=\sqrt{3}+\frac{1}{2}.$$

Răspuns: $F=\sqrt{3}+\frac{1}{2}$ (aproximativ $1,73+0,5=2,23$).

Exemplul 3 — Aflarea unei catete cunoscând ipotenuza

Într-un triunghi dreptunghic $ABC$ cu unghiul drept în $A$, ipotenuza $BC=12\text{ cm}$, iar unghiul $B=60°$. Află catetele $AB$ și $AC$.

Rezolvare. Față de unghiul $B=60°$:

• cateta opusă este $AC$;
• cateta alăturată este $AB$;
• ipotenuza este $BC=12$.

Pentru $AC$ (cateta opusă) folosim sinusul: $$\sin 60°=\frac{AC}{BC}⟹\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AC}{12}⟹AC=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{ cm}.$$

Pentru $AB$ (cateta alăturată) folosim cosinusul: $$\cos 60°=\frac{AB}{BC}⟹\frac{1}{2}=\frac{AB}{12}⟹AB=12\cdot \frac{1}{2}=6\text{ cm}.$$

Verificare cu Pitagora: $A{B}^2+A{C}^2=6^2+(6\sqrt{3}{)}^2=36+36\cdot 3=36+108=144=12^2$. ✓

Răspuns: $AB=6\text{ cm}$, $AC=6\sqrt{3}\text{ cm}$.

Exemplul 4 — Aflarea ipotenuzei cunoscând o catetă

În triunghiul dreptunghic $MNP$ cu unghiul drept în $M$, cateta $MN=5\text{ cm}$, iar unghiul $P=30°$. Află ipotenuza $NP$ și cealaltă catetă $MP$.

Rezolvare. Față de unghiul $P=30°$:

• cateta opusă este $MN=5$;
• cateta alăturată este $MP$;
• ipotenuza este $NP$.

Cateta opusă și ipotenuza sunt legate prin sinus: $$\sin 30°=\frac{MN}{NP}⟹\frac{1}{2}=\frac{5}{NP}⟹NP=5\cdot 2=10\text{ cm}.$$

(Atenție: din $\frac{1}{2}=\frac{5}{NP}$ rezultă $NP=\frac{5}{1/2}=5\cdot 2=10$.)

Pentru cateta $MP$ folosim tangenta (leagă cele două catete): $$\mathrm{tg}30°=\frac{MN}{MP}⟹\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{5}{MP}⟹MP=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=5\cdot \frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{15}{\sqrt{3}}=\frac{15\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}\text{ cm}.$$

Verificare: $M{N}^2+M{P}^2=5^2+(5\sqrt{3}{)}^2=25+75=100=10^2=N{P}^2$. ✓

Răspuns: $NP=10\text{ cm}$, $MP=5\sqrt{3}\text{ cm}$.

Exemplul 5 — Aplicație practică: umbra unui stâlp

Un stâlp vertical are $6\text{ m}$. Razele soarelui cad sub un unghi de $60°$ față de sol. Ce lungime are umbra stâlpului?

Rezolvare. Stâlpul, umbra și raza de soare formează un triunghi dreptunghic. Unghiul drept este la baza stâlpului. Unghiul de $60°$ este între rază și sol (umbră). Față de acest unghi de $60°$:

• cateta opusă este stâlpul, $=6\text{ m}$;
• cateta alăturată este umbra, pe care o notăm $u$.

Cele două catete se leagă prin tangentă: $$\mathrm{tg}60°=\frac{\text{opusa˘}}{\text{ala˘turata˘}}=\frac{6}{u}⟹\sqrt{3}=\frac{6}{u}⟹u=\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\text{ m}.$$

Deci umbra are $2\sqrt{3}\approx 2\cdot 1,73=3,46\text{ m}$.

Răspuns: umbra are $2\sqrt{3}\text{ m}\approx 3,46\text{ m}$.

Exemplul 6 — Aflarea unui unghi din tabel

Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este $8\text{ cm}$, iar o catetă este $4\text{ cm}$. Ce măsură are unghiul opus catetei de $4\text{ cm}$?

Rezolvare. Notăm cu $\alpha$ unghiul opus catetei de $4$. Atunci: $$\sin \alpha =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}.$$

Căutăm în tabel: pentru ce unghi $\sin =\frac{1}{2}$? Din tabel, $\sin 30°=\frac{1}{2}$. Deci $\alpha =30°$.

Răspuns: unghiul are $30°$. (Aceasta este exact situația din jumătatea triunghiului echilateral: cateta este jumătate din ipotenuză, deci unghiul opus ei este $30°$.)

Exemplul 7 — Aflarea unei catete cu cotangenta

Într-un triunghi dreptunghic $DEF$ cu unghiul drept în $E$, cateta $DE=4\text{ cm}$ este opusă unghiului $F=30°$. Află cealaltă catetă, $EF$, folosind cotangenta.

Rezolvare. Cotangenta leagă cele două catete, dar în ordinea inversă tangentei: $\mathrm{ctg}=\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{cateta opusa˘}}$. Față de unghiul $F=30°$, cateta alăturată este $EF$ (cea căutată), iar cateta opusă este $DE=4$. Scriem: $$\mathrm{ctg}30°=\frac{EF}{DE}⟹\sqrt{3}=\frac{EF}{4}⟹EF=4\sqrt{3}\text{ cm}.$$

Verificare cu tangenta: $\mathrm{tg}30°=\frac{DE}{EF}=\frac{4}{4\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, exact valoarea din tabel. ✓

Răspuns: $EF=4\sqrt{3}\text{ cm}$.

Exemplul 8 — Problemă în doi pași: înălțimea și baza unui triunghi isoscel

Un triunghi isoscel $ABC$ are laturile egale $AB=AC=10\text{ cm}$, iar unghiurile de la bază, $\hat{B}$ și $\hat{C}$, măsoară câte $30°$. Coborâm din $A$ înălțimea $AD$ pe baza $BC$. Află înălțimea $AD$, lungimea bazei $BC$ și aria triunghiului.

Rezolvare. Într-un triunghi isoscel, înălțimea din vârf cade în mijlocul bazei și formează două triunghiuri dreptunghice congruente. Lucrăm în triunghiul dreptunghic $ABD$: unghiul drept în $D$, unghiul $\hat{B}=30°$, ipotenuza $AB=10$.

Pasul 1 — înălțimea $AD$ (cateta opusă unghiului de $30°$): $$\sin 30°=\frac{AD}{AB}⟹\frac{1}{2}=\frac{AD}{10}⟹AD=5\text{ cm}.$$

Pasul 2 — baza $BC$. Aflăm mai întâi $BD$ (cateta alăturată unghiului de $30°$): $$\cos 30°=\frac{BD}{AB}⟹\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{BD}{10}⟹BD=5\sqrt{3}\text{ cm}.$$ Cum $D$ este mijlocul bazei, $BC=2\cdot BD=10\sqrt{3}\text{ cm}$.

Pasul 3 — aria (bază $\times$ înălțime, împărțit la $2$): $$\mathcal{A}=\frac{BC\cdot AD}{2}=\frac{10\sqrt{3}\cdot 5}{2}=\frac{50\sqrt{3}}{2}=25\sqrt{3}{\text{ cm}}^2.$$

Răspuns: $AD=5\text{ cm}$, $BC=10\sqrt{3}\text{ cm}$, aria $=25\sqrt{3}{\text{ cm}}^2\approx 43,3{\text{ cm}}^2$.

Exemplul 9 — Aflarea unui unghi cu cosinusul

Într-un triunghi dreptunghic, cateta alăturată unui unghi ascuțit are $3\text{ cm}$, iar ipotenuza are $6\text{ cm}$. Ce măsură are acel unghi?

Rezolvare. Notăm unghiul cu $\beta$. Cateta alăturată și ipotenuza sunt legate prin cosinus: $$\cos \beta =\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza˘}}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}.$$ Căutăm în tabel: pentru ce unghi $\cos =\frac{1}{2}$? Găsim $\cos 60°=\frac{1}{2}$, deci $\beta =60°$.

Observă cum se completează exemplul 6: acolo o catetă egală cu jumătate din ipotenuză era cateta opusă și dădea un unghi de $30°$; aici aceeași jumătate este cateta alăturată și dă unghiul de $60°$. Cele două unghiuri sunt, firește, complementare. Dacă am cunoaște în schimb cele două catete (nu ipotenuza), am folosi tangenta: de exemplu, dacă catetele sunt $5$ și $5\sqrt{3}$, atunci $\mathrm{tg}\beta =\frac{5\sqrt{3}}{5}=\sqrt{3}$, de unde $\beta =60°$.

Răspuns: unghiul are $60°$.

Să exersăm

Rezolvă în caiet. Folosește tabelul de valori și verifică-ți răspunsurile la final.

1. Scrie din memorie valorile: $\sin 30°$, $\sin 45°$, $\sin 60°$.
2. Scrie din memorie valorile: $\cos 30°$, $\cos 45°$, $\cos 60°$.
3. Calculează $\mathrm{tg}45°+\mathrm{ctg}45°$.
4. Calculează $\sin 60°-\cos 30°$.
5. Calculează $2\sin 30°+2\cos 60°$.
6. Calculează $E=\mathrm{tg}30°\cdot \mathrm{tg}60°$.
7. Calculează $F=\sin 45°\cdot \sqrt{2}$.
8. Adevărat sau fals (cu motivare): „$\cos 60°>\cos 30°$".
9. Adevărat sau fals (cu motivare): „$\mathrm{tg}60°=\mathrm{ctg}30°$".
10. Calculează $G=4\sin 30°\cdot \cos 60°+{\mathrm{tg}}^{2}45°$. (Reține: ${\mathrm{tg}}^{2}45°$ înseamnă $(\mathrm{tg}45°{)}^2$.)
11. Calculează $H=2\sin 60°\cdot \cos 30°-\mathrm{tg}45°$.
12. Într-un triunghi dreptunghic $ABC$ cu unghiul drept în $A$, ipotenuza $BC=20\text{ cm}$ și $\hat{B}=30°$. Află cateta $AC$ (opusă lui $B$).
13. În triunghiul dreptunghic $ABC$ (unghi drept în $A$), $BC=16\text{ cm}$ și $\hat{C}=45°$. Află catetele $AB$ și $AC$.
14. Un triunghi dreptunghic are o catetă de $9\text{ cm}$, iar unghiul alăturat acestei catete este $60°$. Află ipotenuza.
15. O rampă pentru cărucioare are unghiul de înclinare de $30°$ față de orizontală și lungimea (partea înclinată) de $4\text{ m}$. La ce înălțime ajunge capătul de sus al rampei?
16. Într-un triunghi dreptunghic, o catetă este jumătate din ipotenuză. Ce măsuri au cele două unghiuri ascuțite? Justifică.
17. Calculează $\frac{\sin 60°}{\cos 60°}$ și arată că rezultatul este egal cu $\mathrm{tg}60°$.
18. Un turn de observație are $15\text{ m}$. De la baza lui, un vizitator vede vârful sub un unghi de $60°$ față de orizontală (privind de la nivelul solului, de la o distanță $d$). Află distanța $d$ de la vizitator la baza turnului.
19. Calculează $I=\mathrm{ctg}60°\cdot \mathrm{tg}60°$.
20. Calculează $J={\sin }^{2}30°+{\cos }^{2}30°$. (Reține: ${\sin }^{2}30°$ înseamnă $(\sin 30°{)}^2$.)
21. Într-un triunghi dreptunghic $ABC$ cu unghiul drept în $A$, cateta $AB=8\text{ cm}$ este alăturată unghiului $\hat{B}=45°$. Află cealaltă catetă, $AC$.
22. Cateta opusă unui unghi de $30°$ dintr-un triunghi dreptunghic are $7\text{ cm}$. Află ipotenuza.
23. Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este $10\text{ cm}$, iar o catetă are $5\sqrt{3}\text{ cm}$. Ce măsură are unghiul opus acestei catete?
24. O scară de $6\text{ m}$ este sprijinită de un perete și face cu solul un unghi de $60°$. La ce înălțime pe perete ajunge capătul de sus al scării și cât de departe de perete se află baza scării?

Răspunsuri și explicații

1. $\sin 30°=\frac{1}{2}$, $\sin 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. $\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 60°=\frac{1}{2}$.

3. $\mathrm{tg}45°+\mathrm{ctg}45°=1+1=2$.

4. $\sin 60°-\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=0$. (Sunt egale, pentru că $60°$ și $30°$ sunt complementare.)

5. $2\sin 30°+2\cos 60°=2\cdot \frac{1}{2}+2\cdot \frac{1}{2}=1+1=2$.

6. $E=\mathrm{tg}30°\cdot \mathrm{tg}60°=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{3}{3}=1$.

7. $F=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}=\frac{2}{2}=1$.

8. Fals. $\cos 60°=\frac{1}{2}=0,5$, iar $\cos 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,87$. Cum $0,5<0,87$, avem $\cos 60°<\cos 30°$. Cosinusul scade când unghiul crește.

9. Adevărat. $\mathrm{tg}60°=\sqrt{3}$ și $\mathrm{ctg}30°=\sqrt{3}$, deci sunt egale. (Unghiurile $60°$ și $30°$ sunt complementare, iar tangenta unui unghi este egală cu cotangenta complementului.)

10. $G=4\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+1^2=4\cdot \frac{1}{4}+1=1+1=2$.

11. $H=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-1=2\cdot \frac{3}{4}-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$.

12. $\sin 30°=\frac{AC}{BC}⟹\frac{1}{2}=\frac{AC}{20}⟹AC=20\cdot \frac{1}{2}=10\text{ cm}$.

13. Față de $\hat{C}=45°$: opusă $=AB$, alăturată $=AC$, ipotenuză $=BC=16$. $AB=BC\sin 45°=16\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2}\text{ cm}$; $AC=BC\cos 45°=16\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2}\text{ cm}$. (Firesc: la $45°$ triunghiul e isoscel, catetele sunt egale.)

14. Cateta de $9$ este alăturată unghiului de $60°$, deci folosim cosinusul: $\cos 60°=\frac{9}{\text{ipotenuza˘}}⟹\frac{1}{2}=\frac{9}{I}⟹I=18\text{ cm}$.

15. Înălțimea este cateta opusă unghiului de $30°$, iar rampa (partea înclinată) este ipotenuza: $\sin 30°=\frac{h}{4}⟹\frac{1}{2}=\frac{h}{4}⟹h=2\text{ m}$.

16. Dacă o catetă este jumătate din ipotenuză, atunci $\sin \alpha =\frac{\text{cateta˘}}{\text{ipotenuza˘}}=\frac{1}{2}$, deci acel unghi $\alpha =30°$. Celălalt unghi ascuțit este $90°-30°=60°$. Unghiurile sunt $30°$ și $60°$.

17. $\frac{\sin 60°}{\cos 60°}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{1}=\sqrt{3}=\mathrm{tg}60°$. ✓ (Aceasta ilustrează relația generală $\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$.)

18. Turnul (înălțime $15$) este cateta opusă unghiului de $60°$, iar distanța $d$ este cateta alăturată. $\mathrm{tg}60°=\frac{15}{d}⟹\sqrt{3}=\frac{15}{d}⟹d=\frac{15}{\sqrt{3}}=\frac{15\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}\text{ m}\approx 8,66\text{ m}$.

19. $I=\mathrm{ctg}60°\cdot \mathrm{tg}60°=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{3}=\frac{3}{3}=1$. (În general, $\mathrm{ctg}\alpha \cdot \mathrm{tg}\alpha =1$, fiindcă sunt inverse una alteia.)

20. $J={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\frac{4}{4}=1$. (Nu este o coincidență: pentru orice unghi ascuțit are loc relația ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$, care se obține direct din teorema lui Pitagora.)

21. Cele două catete se leagă prin tangentă: $\mathrm{tg}45°=\frac{AC}{AB}⟹1=\frac{AC}{8}⟹AC=8\text{ cm}$. (Firesc: la $45°$ triunghiul este isoscel, deci catetele sunt egale.)

22. Cateta opusă și ipotenuza se leagă prin sinus: $\sin 30°=\frac{7}{\text{ipotenuza˘}}⟹\frac{1}{2}=\frac{7}{I}⟹I=7\cdot 2=14\text{ cm}$.

23. $\sin \alpha =\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}}=\frac{5\sqrt{3}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Din tabel, $\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$, deci unghiul are $60°$.

24. Scara este ipotenuza ($6\text{ m}$), iar unghiul cu solul este $60°$. Înălțimea pe perete este cateta opusă: $h=6\sin 60°=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ m}\approx 5,20\text{ m}$. Distanța bazei față de perete este cateta alăturată: $d=6\cos 60°=6\cdot \frac{1}{2}=3\text{ m}$. (Verificare cu Pitagora: $(3\sqrt{3}{)}^2+3^2=27+9=36=6^2$. ✓)

De reținut

• Tabelul de aur al trigonometriei de gimnaziu:

• Valorile pentru $45°$ vin din triunghiul dreptunghic isoscel cu catete $1$ și ipotenuză $\sqrt{2}$.
• Valorile pentru $30°$ și $60°$ vin din jumătatea triunghiului echilateral cu laturi $1$, $\sqrt{3}$, $2$.
• Sinusul crește, cosinusul scade când unghiul crește de la $30°$ la $60°$; $\sin \alpha =\cos (90°-\alpha )$.
• Pentru a afla o latură: alegi funcția potrivită ($\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$) după cum latura e opusă, alăturată sau ipotenuză, apoi rezolvi ecuația.

Greșeli frecvente

• Confuzia sinus ↔ cosinus. Mulți elevi scriu $\sin 30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Corect este $\sin 30°=\frac{1}{2}$ (valoare mică pentru unghi mic). Ține minte: șirul $\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$ este pentru sinus, în ordinea $30°,45°,60°$.
• Uitarea raționalizării. Nu lăsa răspunsul ca $\frac{1}{\sqrt{3}}$; scrie-l ca $\frac{\sqrt{3}}{3}$. La fel, $\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Alegerea greșită a funcției. Înainte de a scrie ecuația, întreabă-te clar: latura cunoscută și cea căutată sunt catete și ipotenuză (folosești $\sin$/$\cos$) sau ambele catete (folosești $\mathrm{tg}$/$\mathrm{ctg}$)? O alegere greșită aici duce la un rezultat complet greșit.
• Greșeala la împărțirea prin fracție. Din $\frac{1}{2}=\frac{5}{NP}$ nu rezultă $NP=5\cdot \frac{1}{2}$, ci $NP=5\cdot 2=10$. Când necunoscuta e la numitor, „întorci" fracția.

Aplică acasă

• Măsoară umbra. Într-o zi însorită, înfige în pământ un băț vertical de înălțime cunoscută (de exemplu $1\text{ m}$) și măsoară lungimea umbrei lui. Împarte înălțimea la umbră: obții $\mathrm{tg}$ al unghiului sub care cade soarele. Compară cu valorile din tabel — cât de aproape ești de $30°$, $45°$ sau $60°$?
• Panta unei scări sau rampe. Alege o scară sau o rampă din jurul casei. Măsoară cât urcă (înălțimea) și cât înaintează pe orizontală. Dacă cele două sunt aproape egale, unghiul e apropiat de $45°$. Verifică prin $\mathrm{tg}$.
• Reconstruiește tabelul din memorie. Ia o foaie și, fără să te uiți, desenează triunghiul isoscel și jumătatea de echilateral, apoi deduce singur toate cele 12 valori. Este cel mai bun exercițiu pentru a le fixa definitiv.

Pentru părinți și profesori

Această lecție consolidează definițiile trigonometrice pe cazuri concrete. Cel mai valoros lucru pe care îl puteți încuraja este ca elevul să nu memoreze mecanic, ci să poată reconstrui tabelul din cele două triunghiuri (isoscel și jumătate de echilateral). Astfel, chiar dacă uită o valoare la un test, o poate rededuce în câteva secunde cu teorema lui Pitagora.

Întrebări de verificare pe care le puteți pune:

• „De ce $\sin 45°=\cos 45°$?" (Răspuns așteptat: catetele triunghiului sunt egale.)
• „De ce $\sin 30°=\cos 60°$?" (Unghiurile sunt complementare, suma $90°$.)
• „Cum arăți că $\mathrm{tg}60°=\sqrt{3}$ pornind de la un triunghi?" (Din jumătatea echilateralului: opusă $\sqrt{3}$, alăturată $1$.)

Semnul că elevul a înțeles: rezolvă corect problemele 12–18, unde nu ajunge doar să știe valorile, ci trebuie să aleagă funcția potrivită și să rezolve ecuația. Dacă greșește alegerea funcției, reveniți la desen și marcați împreună cateta opusă, cea alăturată și ipotenuza față de unghiul dat.

Întrebări frecvente

Cât este sin 30, cos 45 și tg 60? $\sin 30°=\frac{1}{2}$, $\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\mathrm{tg}60°=\sqrt{3}$. Toate se citesc din tabelul valorilor trigonometrice pentru $30°$, $45°$ și $60°$ pe care îl folosești la clasa a 7-a.

De unde vin valorile trigonometrice pentru 30, 45 și 60 de grade? Pentru $45°$ se folosește triunghiul dreptunghic isoscel (catete egale, ipotenuză $\sqrt{2}$), iar pentru $30°$ și $60°$ se folosește jumătatea triunghiului echilateral (laturi $1$, $\sqrt{3}$, $2$). În ambele cazuri se aplică teorema lui Pitagora și definițiile lui $\sin$, $\cos$, $\mathrm{tg}$, $\mathrm{ctg}$.

Cum țin minte mai ușor tabelul trigonometric? Pentru sinus, scrie $\frac{\sqrt{1}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}$ în dreptul unghiurilor $30°,45°,60°$. Pentru cosinus, citește același șir invers. Tangenta crește: $\frac{\sqrt{3}}{3}$, $1$, $\sqrt{3}$, iar cotangenta face invers.

De ce sin 45 este egal cu cos 45? Pentru că un triunghi dreptunghic cu un unghi de $45°$ este isoscel: cele două catete sunt egale, deci „cateta opusă" și „cateta alăturată" au aceeași lungime, iar rapoartele lor cu ipotenuza sunt egale. Ambele dau $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ce înseamnă că 30° și 60° sunt unghiuri complementare? Înseamnă că suma lor este $90°$. Pentru unghiuri complementare avem $\sin 30°=\cos 60°$ și $\sin 60°=\cos 30°$, precum și $\mathrm{tg}30°=\mathrm{ctg}60°$. De aceea în tabel valorile lui $30°$ și $60°$ apar „încrucișate".

Am nevoie de calculator pentru sin, cos și tg la clasa a 7-a? Pentru unghiurile $30°$, $45°$ și $60°$ nu ai nevoie de calculator: valorile sunt exacte și se rețin din tabel. Calculatorul (sau tabele tipărite) e necesar doar pentru alte unghiuri, care nu se studiază detaliat la gimnaziu.

Cum folosesc tabelul ca să aflu o latură a triunghiului? Identifică unghiul cunoscut și scrie funcția care leagă latura cunoscută de cea căutată: $\sin$ sau $\cos$ dacă intervine ipotenuza, $\mathrm{tg}$ sau $\mathrm{ctg}$ dacă intervin doar catetele. Înlocuiește valoarea din tabel și rezolvă ecuația pentru latura necunoscută, ca în Rezolvarea triunghiului dreptunghic.

Care este diferența dintre tangentă și cotangentă la aceste unghiuri? Tangenta este raportul cateta opusă / cateta alăturată, iar cotangenta este inversul ei, cateta alăturată / cateta opusă. De exemplu $\mathrm{tg}30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$, iar $\mathrm{ctg}30°=\sqrt{3}$; produsul lor este mereu $1$.