În triunghiul $$ABC$$, dreptunghic în $$A$$, cunoști ipotenuza $$BC$$ și unghiul ascuțit $$\angle B$$. Ce relație folosești ca să afli cateta alăturată $$AB$$?

$$AB = BC \cdot \operatorname{tg} B$$

În triunghiul $$ABC$$, dreptunghic în $$A$$, cunoști ipotenuza $$BC$$ și unghiul ascuțit $$\angle C$$. Ce relație folosești ca să afli cateta opusă $$AB$$?

$$AB = BC \cdot \operatorname{tg} C$$

Ce înseamnă să rezolvi un triunghi dreptunghic?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Rezolvarea triunghiului dreptunghic

Înseamnă să ajungi la toate cele șase mărimi ale lui: trei lungimi de laturi și trei măsuri de unghiuri, pornind de la puține date. Îți trebuie neapărat o lungime, la care se adaugă fie o a doua latură, fie un unghi ascuțit. Cu o latură și un unghi folosești sinusul, cosinusul sau tangenta; cu două laturi afli unghiurile din rapoarte, iar latura lipsă din Pitagora. La ipotenuza $10$ și un unghi de $3 0^{\circ}$ ies $5$ și $53$ .

A rezolva un triunghi dreptunghic înseamnă să-i afli toate laturile și toate unghiurile, pornind de la puține date cunoscute. Regula de aur: ai nevoie de cel puțin o latură plus încă o informație (altă latură sau un unghi ascuțit) — doar unghiurile îți dau forma triunghiului, nu și mărimea lui.

Dacă știi o latură și un unghi, folosești $sin$ , $cos$ sau $tg$ ca să afli celelalte laturi, iar unghiul rămas iese din $∠ B + ∠ C = 90°$ . Dacă știi două laturi, formezi un raport trigonometric ca să afli unghiurile, iar latura lipsă vine din teorema lui Pitagora.

Exemplu: în triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ , cu $B C = 10$ (ipotenuza) și $∠ B = 30°$ , obținem $∠ C = 60°$ , $A C = B C \cdot sin B = 5$ și $A B = B C \cdot cos B = 53$ . Verificăm cu Pitagora: $5^{2} + (53)^{2} = 100 = 1 0^{2}$ . ✓

De reținut

unghiurile ascuțite sunt complementare, deci suma lor este $9 0^{\circ}$
cateta opusă $=$ ipotenuză $\cdot sin$ ; cateta alăturată $=$ ipotenuză $\cdot cos$
fără măcar o lungime cunoscută, mărimea triunghiului rămâne nedeterminată

Greșeala tipică

Se folosește sinusul unghiului alăturat în loc de cel opus, iar cateta iese greșită. Verifică întâi ce latură stă în fața unghiului cu care lucrezi.

Exerciții din această mini-lecție

În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , cunoști ipotenuza $B C$ și unghiul ascuțit $∠ B$ . Ce relație folosești ca să afli cateta alăturată $A B$ ?
- a) $A B = B C \cdot sin B$
- b) $A B = B C \cdot cos B$
- c) $A B = B C \cdot tg B$
- d) $A B = \frac{B C}{sin B}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $A B = B C \cdot cos B$

Cosinusul leagă cateta alăturată de ipotenuză: $cos B = \frac{A B}{B C} \Rightarrow A B = B C \cdot cos B$ . Sinusul ar da cateta opusă, iar tangenta leagă între ele cele două catete, nu ipotenuza cu o catetă.
În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , cunoști ipotenuza $B C$ și unghiul ascuțit $∠ C$ . Ce relație folosești ca să afli cateta opusă $A B$ ?
- a) $A B = B C \cdot sin C$
- b) $A B = B C \cdot cos C$
- c) $A B = B C \cdot tg C$
- d) $A B = \frac{B C}{cos C}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $A B = B C \cdot sin C$

Sinusul leagă cateta opusă de ipotenuză: $sin C = \frac{A B}{B C}$ (căci $A B$ este opusă lui $C$ , nu-l atinge), deci $A B = B C \cdot sin C$ . Cosinusul ar da cateta alăturată.
Catetele unui triunghi dreptunghic $A B C$ (unghi drept în $A$ ) sunt $A B = 43$ și $A C = 4$ . Care este măsura unghiului $∠ B$ ?
- a) $3 0^{\circ}$
- b) $6 0^{\circ}$
- c) $4 5^{\circ}$
- d) $9 0^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3 0^{\circ}$

Cele două catete se leagă prin tangentă: $tg B = \frac{A C}{A B} = \frac{4}{4 3} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}$ , iar $tg 30° = \frac{3}{3}$ , deci $∠ B = 3 0^{\circ}$ (și, prin diferență, $∠ C = 6 0^{\circ}$ ).

Întrebări conexe

Cum aflu al doilea unghi ascuțit al triunghiului?

Îl scazi din $9 0^{\circ}$ , fiindcă cele două unghiuri ascuțite se completează până acolo. Dacă unul are $3 7^{\circ}$ , celălalt are $5 3^{\circ}$ . Suma tuturor unghiurilor rămâne $18 0^{\circ}$ , iar unghiul drept ocupă deja jumătate din ea.

Cum verific la final că rezolvarea e corectă?

Pui cele trei laturi în teorema lui Pitagora și vezi dacă egalitatea se închide. Pentru $5$ , $53$ și $10$ obții $25 + 75 = 100$ , deci totul se potrivește. Verifici și că ipotenuza a ieșit cea mai lungă, iar suma unghiurilor dă $18 0^{\circ}$ .

Cum aflu cateta dacă știu ipotenuza și unghiul opus ei?

Înmulțești ipotenuza cu sinusul acelui unghi. Pentru o ipotenuză de $20$ cm și un unghi de $4 5^{\circ}$ , obții $20 \cdot \frac{2}{2} = 102$ cm. Cealaltă catetă iese la fel, cu cosinusul, sau direct din teorema lui Pitagora.

Ce fac dacă în enunț apare doar aria și un unghi?

Scrii aria cu catetele necunoscute și legi cele două printr-un raport trigonometric. Dacă unghiul ascuțit are $4 5^{\circ}$ , catetele ies egale, iar din $\frac{c ^{2}}{2} = 18$ obții $c = 6$ . Ipotenuza vine apoi din Pitagora, iar al doilea unghi prin scădere.

Cum aflu înălțimea unui copac cu ajutorul unui unghi?

Te depărtezi la o distanță măsurată și privești vârful, notând unghiul față de orizontală. Înălțimea iese înmulțind distanța cu tangenta acelui unghi, la care adaugi înălțimea ochiului tău. La $20$ m depărtare și un unghi de $3 0^{\circ}$ , partea de deasupra ochiului măsoară aproape $11, 5$ m.

De ce nu ajung doar unghiurile ca să rezolv triunghiul?

Fiindcă unghiurile hotărăsc doar forma, nu și mărimea. Două triunghiuri cu aceleași unghiuri pot fi unul mic și unul uriaș, fiind asemenea între ele. O singură latură cunoscută fixează scara, iar de acolo toate celelalte lungimi se pot calcula.

Oamenii mai întreabă și: rezolvarea triunghiului dreptunghic · cum aflu toate laturile unui triunghi dreptunghic · trigonometrie în triunghiul dreptunghic · câte date îmi trebuie ca să rezolv triunghiul · aflarea unghiurilor din laturi