Segmentele au lungimile $$AB=8$$ cm, $$CD=6$$ cm, $$MN=12$$ cm, $$PQ=9$$ cm. Sunt proporționale în această ordine?

Da, raportul comun este $$\dfrac{4}{3}$$

Da, raportul comun este $$\dfrac{3}{4}$$

Nu, produsul extremilor diferă de produsul mezilor

Nu se poate stabili fără desen

Ce sunt segmentele proporționale?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Segmente proporționale

Patru segmente sunt proporționale când raportul primelor două este egal cu raportul celorlalte două. Raportul se calculează împărțind lungimile, luate în aceeași unitate, și iese un număr fără unitate de măsură. Astfel $A B = 8$ cm și $C D = 4$ cm dau raportul $2$ . Ca să verifici o proporție sau să afli un segment lipsă, folosești că produsul extremilor este cât produsul mezilor.

Raportul a două segmente $[A B]$ și $[C D]$ este numărul $\frac{A B}{C D}$ , calculat cu ambele lungimi în aceeași unitate de măsură (raportul e un număr fără unitate). De exemplu, dacă $A B = 8$ cm și $C D = 4$ cm, atunci $\frac{A B}{C D} = \frac{8}{4} = 2$ .

Patru segmente $[A B]$ , $[C D]$ , $[M N]$ , $[P Q]$ sunt proporționale (în această ordine) dacă $\frac{A B}{C D} = \frac{M N}{P Q}$ . Uneltele principale sunt:

Proprietatea fundamentală a proporțiilor: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a \cdot d = b \cdot c$ (produsul extremilor = produsul mezilor). Cu ea afli rapid un segment necunoscut sau verifici proporționalitatea fără să simplifici fracții.
Ordinea contează: $\frac{A B}{C D} = \frac{M N}{P Q}$ nu e același lucru cu a schimba ordinea segmentelor.

Această idee stă la baza teoremei lui Thales și a asemănării triunghiurilor.

De reținut

$\frac{A B}{C D} = \frac{M N}{P Q}$ înseamnă segmente proporționale
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ este echivalent cu $a d = b c$
raportul se calculează cu lungimi scrise în aceeași unitate

Greșeala tipică

Se împart lungimi scrise în unități diferite, de pildă metri la centimetri, iar raportul iese fals. Amândouă se aduc întâi la aceeași unitate.

Exerciții din această mini-lecție

Se dau segmentele $[A B]$ cu $A B = 18$ cm și $[C D]$ cu $C D = 12$ cm. Cât este raportul $\frac{A B}{C D}$ , scris ca fracție ireductibilă?
- a) $\frac{3}{2}$
- b) $\frac{2}{3}$
- c) $\frac{4}{3}$
- d) $\frac{6}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{3}{2}$

$\frac{A B}{C D} = \frac{18}{12}$ . Simplificăm cu $6$ : $\frac{18}{12} = \frac{3}{2}$ .
Segmentele au lungimile $A B = 8$ cm, $C D = 6$ cm, $M N = 12$ cm, $P Q = 9$ cm. Sunt proporționale în această ordine?
- a) Da, raportul comun este $\frac{4}{3}$
- b) Da, raportul comun este $\frac{3}{4}$
- c) Nu, produsul extremilor diferă de produsul mezilor
- d) Nu se poate stabili fără desen
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Da, raportul comun este $\frac{4}{3}$

Verificăm cu produsul extremilor = produsul mezilor: $A B \cdot P Q = 8 \cdot 9 = 72$ și $C D \cdot M N = 6 \cdot 12 = 72$ . Sunt egale, deci proporționale, cu raportul comun $\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ .
Se dau segmentele $[A B]$ cu $A B = 20$ cm și $[C D]$ cu $C D = 15$ cm. Cât este raportul $\frac{A B}{C D}$ , scris ca fracție ireductibilă?
- a) $\frac{4}{3}$
- b) $\frac{3}{4}$
- c) $\frac{5}{4}$
- d) $\frac{6}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{4}{3}$

$\frac{A B}{C D} = \frac{20}{15}$ . Simplificăm cu $5$ : $\frac{20}{15} = \frac{4}{3}$ .

Întrebări conexe

Cum aflu x din proporția 6 supra 9 egal x supra 12?

Înmulțești încrucișat: $6 \cdot 12 = 9 \cdot x$ , deci $72 = 9 x$ și $x = 8$ . Verificarea se face simplificând amândouă rapoartele, care trebuie să dea aceeași valoare: $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ și $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$ . Aceeași metodă merge la orice proporție cu un termen necunoscut, oriunde ar sta el.

Cum transform lungimile înainte de a face raportul?

Le aduci pe amândouă la aceeași unitate, de obicei la cea mai mică. Pentru $2$ m și $50$ cm scrii $200$ cm și $50$ cm, deci raportul este $4$ . Dacă lași metrii lângă centimetri, obții $\frac{2}{50}$ , adică un rezultat de o sută de ori greșit.

Ce înseamnă mezii și extremii unei proporții?

Într-o proporție scrisă cu două fracții, extremii sunt primul numărător și ultimul numitor, iar mezii sunt cei doi termeni din mijloc. La $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ , extremii sunt $a$ și $d$ , iar mezii $b$ și $c$ . Egalitatea produselor lor este chiar proprietatea fundamentală.

Cum împart un segment în părți proporționale cu 2 și 3?

Aduni numerele date și afli cât valorează o parte. Pentru un segment de $25$ cm împărțit în raportul doi la trei, ai cinci părți, deci fiecare are $5$ cm. Bucățile ies $10$ cm și $15$ cm, iar suma lor confirmă rezultatul.

Poate raportul a două segmente să fie mai mic decât 1?

Poate, și se întâmplă ori de câte ori primul segment e mai scurt decât al doilea. La $A B = 3$ cm și $C D = 12$ cm, raportul este $\frac{1}{4}$ . Schimbând ordinea, obții $4$ , deci raportul răstoarnă valoarea. De aceea contează ce segment pui sus și ce segment pui jos.

Unde se folosesc segmentele proporționale în afara școlii?

Machetele și planurile de casă păstrează rapoarte fixe față de realitate, la fel ca hărțile. Fotografiile mărite sau micșorate păstrează și ele proporțiile, altfel imaginea iese turtită. Chiar și rețetele de bucătărie folosesc aceeași idee, când dublezi cantitățile pentru mai multe porții.

Oamenii mai întreabă și: segmente proporționale · raportul a două segmente · proprietatea fundamentală a proporțiilor · cum aflu un segment dintr-o proporție · proporții cu segmente