Simulare comentată, rezolvată pas cu pas

Ai ajuns la ultima lecție a anului: o simulare de matematică pentru clasa a 7-a, rezolvată pas cu pas, exact așa cum arată un subiect real de sfârșit de an sau de pregătire pentru clasa a VIII-a. Un test integrat nu îți cere să știi „ceva anume", ci să treci fluent de la radicali la ecuații, de la reperul cartezian la un trapez și, la final, la teorema lui Pitagora — toate în aceeași oră. În lecția aceasta parcurgem un model de test clasa a 7-a exact ca la un examen: citim enunțul, gândim cu voce tare, scriem rezolvarea îngrijit și, la final, ne dăm singuri nota după un barem comentat. E antrenamentul care transformă „știu teoria" în „iau punctajul".

Ce vei învăța

• Vei ști să abordezi un subiect de simulare integrat pe toate cele șapte domenii ale clasei a VII-a.
• Vei ști să urmărești rezolvarea comentată pas cu pas a fiecărui exercițiu, înțelegând nu doar ce se scrie, ci și de ce.
• Vei ști să îți evaluezi lucrarea după un barem și să vezi unde se pierd, de fapt, punctele.
• Vei ști să recunoști rapid domeniul din care provine un exercițiu și metoda potrivită de rezolvare.
• Vei ști să eviți greșelile clasice care „mănâncă" puncte chiar și la elevii care știu materia.

Hai să descoperim împreună

Cum este construit un subiect de simulare

Un subiect de matematică pentru clasa a VII-a nu este o grămadă de exerciții la întâmplare. El este construit cu grijă astfel încât să atingă toate cele șapte mari domenii parcurse în timpul anului:

1. Numere reale și radicali — calcule cu  ​, scoaterea/introducerea factorilor, raționalizare, medii.
2. Ecuații și sisteme liniare — ecuații de forma $ax+b=0$ și sisteme de două ecuații cu două necunoscute.
3. Organizarea datelor și reperul cartezian — tabele, medii, poligonul frecvențelor, coordonate, distanțe.
4. Patrulatere, perimetre și arii — paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat, trapez.
5. Cercul — unghi înscris, coarde, tangente, lungimea cercului, aria discului.
6. Asemănarea triunghiurilor — segmente proporționale, teorema lui Thales, criterii de asemănare.
7. Relații metrice și trigonometrie — proiecții, teorema înălțimii/catetei, Pitagora, $\sin$, $\cos$, $\text{tg}$, $\text{ctg}$.

Structura clasică a lucrării are trei subiecte și un punctaj total de 100 de puncte, din care 10 puncte se acordă din oficiu:

• Subiectul I (30 de puncte) — exerciții scurte, cu răspuns direct („completează", „încercuiește"). Se rezolvă în minte sau pe ciornă și se trece doar rezultatul. Aici se merge pe viteză și corectitudine.
• Subiectul II (30 de puncte) — exerciții scurte, dar unde trebuie să arăți calculele. Un rezultat corect fără rezolvare nu ia tot punctajul.
• Subiectul III (30 de puncte) — probleme complete, de obicei 2–3, cu mai multe cerințe (a, b, c). Aici se cere redactare completă: ipoteză, raționament justificat, concluzie.

Ce înseamnă „rezolvare comentată"

O rezolvare comentată nu înseamnă doar șirul de calcule. Înseamnă că, lângă fiecare pas, îți explici de ce faci acel pas. Compară:

• Rezolvare seacă: $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.
• Rezolvare comentată: „Descompun $50=25\cdot 2$; scot factorul $25$ de sub radical pentru că $\sqrt{25}=5$, deci $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$."

Comentariul este exact ceea ce te ajută la examen: dacă înțelegi de ce, nu mai memorezi mecanic și poți rezolva și un exercițiu pe care nu l-ai mai văzut. Pentru consolidarea acestor tehnici, poți reciti lecțiile Recapitulare: numere reale și operații cu radicali și Strategii de rezolvare și gestionarea timpului la un test.

Cum citești baremul

Baremul este „harta punctelor". El îți spune că un exercițiu de 5 puncte poate fi împărțit, de exemplu, în $2p$ pentru montarea corectă (ce formulă/relație folosești) și $3p$ pentru finalizarea calculului. De aceea, regula de aur este:

Scrie tot ce gândești. Chiar dacă nu ajungi la rezultatul final, pașii corecți se punctează.

Un raționament corect scris pe jumătate ia jumătate din punctaj; un rezultat corect „picat din cer", fără justificare la Subiectul II sau III, poate să nu ia decât o parte. Vei vedea imediat, în rezolvările de mai jos, unde „stau" punctele.

Un mini-exercițiu, gândit cu voce tare

Să luăm un exercițiu simplu și să-l „desfacem" complet, ca model de gândire:

Punctul $A(-3,5)$ se află în cadranul ___ .

Gândesc așa: prima coordonată (abscisa) este $-3$, deci negativă — punctul e la stânga axei $Oy$. A doua coordonată (ordonata) este $5$, deci pozitivă — punctul e deasupra axei $Ox$. Stânga + sus = cadranul II. Am folosit ce știu din Reprezentarea punctelor în plan. Cadrane și cazuri particulare. Observă că nu am „ghicit": am justificat semnul fiecărei coordonate. Exact așa vom lucra fiecare exercițiu.

Ordinea inteligentă de rezolvare

La un test integrat nu ești obligat să rezolvi exercițiile în ordinea din foaie. O strategie care aduce puncte în plus este:

1. Prima trecere — culegi punctele sigure. Rezolvă întâi tot ce știi imediat: exercițiile de la Subiectul I și acele cerințe (a) de la problemele mari care se rezolvă direct (de obicei un Pitagora sau o arie simplă). Așa aduni rapid un „capital" de puncte și îți crește încrederea.
2. A doua trecere — exercițiile de dificultate medie. Revii la Subiectul II și la cerințele (b) din probleme, care cer un pas–doi de calcul.
3. A treia trecere — exercițiile grele. La final rămân cerințele (c), care combină mai multe idei. Ai deja punctele sigure la tine, deci poți „risca" timp aici fără emoții.

Regula practică: niciun exercițiu nu merită mai mult de $8$–$10$ minute la prima încercare. Dacă te blochezi, notează ce ai reușit și treci mai departe — revii cu mintea odihnită.

Acum să trecem la simularea propriu-zisă, rezolvată pas cu pas.

Exemple rezolvate

Cele opt exemple de mai jos sunt exerciții tipice de simulare, câte unul reprezentativ pentru fiecare mare tehnică. Fiecare este rezolvat complet și comentat.

Exemplul 1 — Numere reale și radicali (Subiectul II)

Enunț: Calculați $E=\sqrt{50}-\sqrt{18}+2\sqrt{2}$.

Comentariu — ce recunosc: toți termenii au sub radical un multiplu al lui $2$. Ideea este să scot factorii de sub fiecare radical, ca să obțin radicali de același fel ($\sqrt{2}$), pe care apoi îi pot aduna.

Pasul 1 — scot factorii de sub radical: $$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2},\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}.$$

Pasul 2 — rescriu expresia: $$E=5\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}.$$

Pasul 3 — adun coeficienții lui $\sqrt{2}$ (ca și cum $\sqrt{2}$ ar fi o „unitate de măsură"): $$E=(5-3+2)\sqrt{2}=4\sqrt{2}.$$

Răspuns: $E=4\sqrt{2}$.

Unde stau punctele: $2p$ pentru scoaterea corectă a factorilor, $3p$ pentru calculul final. Dacă scriai doar $4\sqrt{2}$ fără pași, la Subiectul II riscai să pierzi punctele de pe „drum".

Exemplul 2 — Ecuație cu numitori (Subiectul II)

Enunț: Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\frac{2x-1}{3}=\frac{x+2}{4}$.

Comentariu: am o egalitate de două fracții. Cel mai curat mod de a scăpa de numitori este înmulțirea în cruce (produsul mezilor egal cu produsul extremilor), tehnică echivalentă cu înmulțirea ambelor părți cu numitorul comun $12$.

Pasul 1 — înmulțesc în cruce: $$4(2x-1)=3(x+2).$$

Pasul 2 — desfac parantezele: $$8x-4=3x+6.$$

Pasul 3 — grupez necunoscutele într-o parte și numerele în cealaltă (trec $3x$ la stânga și $-4$ la dreapta, schimbând semnul): $$8x-3x=6+4\Rightarrow 5x=10.$$

Pasul 4 — aflu $x$: $$x=\frac{10}{5}=2.$$

Verificare (pasul pe care mulți îl sar!): înlocuiesc $x=2$ în enunț: stânga $=\frac{2\cdot 2-1}{3}=\frac{3}{3}=1$; dreapta $=\frac{2+2}{4}=\frac{4}{4}=1$. Egalitate adevărată, deci $x=2$ este corect.

Răspuns: $x=2$, adică $S=\{2\}$.

Exemplul 3 — Sistem, problemă practică (Subiectul III)

Enunț: Într-o librărie, $3$ caiete și $2$ pixuri costă $23$ de lei, iar $2$ caiete și $2$ pixuri costă $18$ lei. Cât costă un caiet și cât costă un pix?

Comentariu: am două informații, două necunoscute — este o problemă de sistem de două ecuații liniare. Notez cu litere mărimile necunoscute.

Pasul 1 — notații: fie $c$ = prețul unui caiet (lei) și $p$ = prețul unui pix (lei).

Pasul 2 — traduc enunțul în ecuații: $$\{\begin{array}{l}3c+2p=23\\ 2c+2p=18\end{array}$$

Pasul 3 — metoda reducerii: ambele ecuații au $2p$. Scad a doua din prima; termenii cu $p$ se anulează: $$(3c+2p)-(2c+2p)=23-18\Rightarrow c=5.$$

Pasul 4 — revin cu $c=5$ în a doua ecuație: $$2\cdot 5+2p=18\Rightarrow 10+2p=18\Rightarrow 2p=8\Rightarrow p=4.$$

Verificare: $3\cdot 5+2\cdot 4=15+8=23$ ✓.

Răspuns: un caiet costă $5$ lei, iar un pix costă $4$ lei.

Unde stau punctele: $3p$ pentru montarea corectă a sistemului (traducerea enunțului), $4p$ pentru rezolvare, $3p$ pentru răspuns și verificare. Poți relua metoda din Probleme rezolvate cu ajutorul sistemelor de două ecuații liniare.

Exemplul 4 — Reper cartezian și distanțe (Subiectul III)

Enunț: În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,2)$, $B(5,2)$ și $C(5,5)$. a) Calculați lungimile $AB$ și $BC$. b) Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic și calculați lungimea $AC$. c) Calculați aria triunghiului $ABC$.

a) $A$ și $B$ au aceeași ordonată ($y=2$), deci $AB$ este orizontal și lungimea lui este diferența absciselor: $$AB=5-1=4.$$ $B$ și $C$ au aceeași abscisă ($x=5$), deci $BC$ este vertical: $$BC=5-2=3.$$

b) $AB$ este orizontal, $BC$ este vertical, deci ele sunt perpendiculare: unghiul din $B$ este drept. Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $B$. Ipotenuza $AC$ o aflu cu teorema lui Pitagora (sau cu formula distanței): $$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.$$

c) Catetele sunt $AB=4$ și $BC=3$, deci aria triunghiului dreptunghic este: $$\mathcal{A}=\frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{4\cdot 3}{2}=6(\text{unita˘ți pa˘trate}).$$

Comentariu: vezi cum reperul cartezian și geometria se întâlnesc — este exact tipul de exercițiu „de graniță" din Distanța dintre două puncte din plan.

Exemplul 5 — Patrulater: rombul (Subiectul III)

Enunț: Un romb are diagonalele de $12$ cm și $16$ cm. Calculați: a) aria rombului; b) lungimea laturii; c) perimetrul.

a) Aria rombului se calculează cu semiprodusul diagonalelor: $$\mathcal{A}=\frac{d_1\cdot d_2}{2}=\frac{12\cdot 16}{2}=\frac{192}{2}=96{\text{cm}}^2.$$

b) Diagonalele rombului se taie perpendicular și se înjumătățesc. Deci în centrul $O$ se formează un triunghi dreptunghic cu catetele egale cu jumătățile diagonalelor: $\frac{12}{2}=6$ cm și $\frac{16}{2}=8$ cm. Latura rombului este ipotenuza: $$\ell =\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{cm}.$$

c) Rombul are toate laturile egale, deci: $$P=4\ell =4\cdot 10=40\text{cm}.$$

Comentariu: aici s-au întâlnit trei domenii într-un singur exercițiu — proprietățile rombului, teorema lui Pitagora și aria. Este cea mai frecventă „țesătură" a Subiectului III.

Exemplul 6 — Relații metrice și trigonometrie (Subiectul III)

Enunț: Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ cm și $AC=8$ cm. Fie $AD$ înălțimea din $A$, $D\in BC$. a) Calculați $BC$. b) Calculați lungimea înălțimii $AD$. c) Calculați $\sin B$, $\cos B$ și $\text{tg}B$.

a) Cu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $ABC$: $$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10\text{cm}.$$

b) Folosesc o relație metrică: produsul catetelor este egal cu produsul ipotenuzei și înălțimii ($AB\cdot AC=BC\cdot AD$), pentru că aria se poate scrie în două feluri. De aici: $$AD=\frac{AB\cdot AC}{BC}=\frac{6\cdot 8}{10}=\frac{48}{10}=4,8\text{cm}.$$

c) În triunghiul dreptunghic $ABC$, față de unghiul $B$: cateta opusă este $AC=8$, cateta alăturată este $AB=6$, ipotenuza este $BC=10$. Aplic definițiile: $$\sin B=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{ipotenuza˘}}=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=0,8;$$ $$\cos B=\frac{\text{cateta ala˘turata˘}}{\text{ipotenuza˘}}=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=0,6;$$ $$\text{tg}B=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$$

Verificare de siguranță: ${\sin }^{2}B+{\cos }^{2}B=0,64+0,36=1$ ✓ — semn că valorile sunt corecte. Detalii în Rezolvarea triunghiului dreptunghic.

Exemplul 7 — Cercul: unghi înscris și lungime de arc (Subiectul III)

Enunț: Într-un cerc cu centrul $O$, unghiul la centru $\widehat{AOB}$ are măsura de $80^{\circ }$. a) Cât măsoară unghiul înscris $\widehat{ACB}$ care subîntinde același arc $AB$? b) Dacă raza cercului este $R=9$ cm, calculați lungimea arcului mic $AB$ (în funcție de $\pi$).

Comentariu — ce recunosc: am și un unghi la centru, și un unghi înscris care „privesc" același arc. Aici cheia este legătura dintre ele: unghiul înscris este jumătate din unghiul la centru care subîntinde același arc.

a) Unghiul înscris care subîntinde același arc ca un unghi la centru are jumătate din măsura acestuia: $$\widehat{ACB}=\frac{\widehat{AOB}}{2}=\frac{80^{\circ }}{2}=40^{\circ }.$$

b) Arcul mic $AB$ are aceeași măsură în grade ca unghiul la centru care îl subîntinde, deci $80^{\circ }$. Lungimea unui arc este fracțiunea corespunzătoare din întreaga circumferință: $${\ell }_{AB}=\frac{80^{\circ }}{360^{\circ }}\cdot 2\pi R=\frac{2}{9}\cdot 2\pi \cdot 9=\frac{2}{9}\cdot 18\pi =4\pi \text{cm}.$$

Răspuns: $\widehat{ACB}=40^{\circ }$ și ${\ell }_{AB}=4\pi$ cm.

Unde stau punctele: $3p$ pentru relația unghi înscris–unghi la centru, $2p$ pentru scrierea corectă a fracției de arc, $2p$ pentru calculul final. Poți relua ideea din Unghi la centru și unghi înscris în cerc.

Exemplul 8 — Asemănarea triunghiurilor (Subiectul III)

Enunț: În triunghiul $ABC$, o dreaptă paralelă cu $BC$ taie latura $AB$ în $M$ și latura $AC$ în $N$. Se știe că $AM=4$ cm, $AB=10$ cm și $BC=15$ cm. a) Arătați că triunghiurile $AMN$ și $ABC$ sunt asemenea și aflați raportul de asemănare. b) Calculați $MN$. c) Aflați raportul ariilor triunghiurilor $AMN$ și $ABC$.

Comentariu: o paralelă la o latură „decupează" un triunghi mic asemenea cu cel mare. Recunosc o configurație clasică de asemănare.

a) Deoarece $MN\parallel BC$, unghiurile $\widehat{AMN}$ și $\widehat{ABC}$ sunt corespondente (deci egale), la fel $\widehat{ANM}$ și $\widehat{ACB}$; unghiul $\hat{A}$ este comun. Cu criteriul UU (unghi–unghi), triunghiurile $AMN$ și $ABC$ sunt asemenea. Raportul de asemănare este raportul laturilor omoloage de pe $AB$: $$k=\frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}.$$

b) Din asemănare, laturile omoloage sunt proporționale, deci $\frac{MN}{BC}=k$: $$MN=k\cdot BC=\frac{2}{5}\cdot 15=6\text{cm}.$$

c) La triunghiuri asemenea, raportul ariilor este pătratul raportului de asemănare: $$\frac{{\mathcal{A}}_{AMN}}{{\mathcal{A}}_{ABC}}=k^2={\left(\frac{2}{5}\right)}^2=\frac{4}{25}.$$

Răspuns: $k=\frac{2}{5}$, $MN=6$ cm și raportul ariilor este $\frac{4}{25}$.

Comentariu: reține distincția — laturile se află cu raportul $k$, dar ariile cu $k^2$. Este cea mai des uitată nuanță la asemănare. Detalii în Criteriile de asemănare a triunghiurilor.

Să exersăm

Acum e rândul tău. Mai jos ai o simulare completă, nouă, structurată exact ca la examen. Cronometrează-te (ideal $\le$ 50 de minute), rezolvă tot pe o foaie și abia apoi verifică la secțiunea următoare. Punctajul e trecut lângă fiecare exercițiu.

Subiectul I (30 de puncte — completează cu rezultatul)

1. (5p) Rezultatul calculului $\sqrt{144}+\sqrt{25}$ este ___ .
2. (5p) Scriind $\sqrt{45}$ sub forma $a\sqrt{b}$ (cu $b$ minim), se obține ___ .
3. (5p) Soluția ecuației $4x+8=0$ este $x=$ ___ .
4. (5p) Punctul $M(6,-3)$ se află în cadranul ___ .
5. (5p) Media aritmetică a numerelor $12$, $15$ și $18$ este ___ .
6. (5p) Ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele de $9$ cm și $12$ cm are lungimea de ___ cm.

Subiectul II (30 de puncte — arată calculele)

7. (5p) Calculați $\sqrt{75}-\sqrt{48}+\sqrt{27}$.
8. (5p) Raționalizați numitorul fracției $\frac{9}{\sqrt{3}}$.
9. (5p) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $3(2x-1)=4x+7$.
10. (5p) Rezolvați sistemul $\{\begin{array}{l}x+2y=10\\ 3x-2y=6\end{array}$.
11. (5p) În triunghiul $ABC$, punctele $M\in (AB)$ și $N\in (AC)$ sunt astfel încât $MN\parallel BC$. Știind că $AM=3$ cm, $MB=5$ cm și $AN=6$ cm, calculați $NC$.
12. (5p) Un cerc are raza de $10$ cm. Calculați lungimea cercului și aria discului (în funcție de $\pi$).

Subiectul III (30 de puncte — rezolvare completă)

13. (10p) Trapezul isoscel $ABCD$ are bazele $AB=16$ cm și $CD=6$ cm, iar laturile neparalele $AD=BC=13$ cm. a) Calculați înălțimea trapezului. b) Calculați aria trapezului. c) Calculați lungimea liniei mijlocii și perimetrul.

14. (10p) Triunghiul $MNP$ este dreptunghic în $M$, cu $MN=12$ cm și $MP=16$ cm. Fie $MD$ înălțimea din $M$, $D\in NP$. a) Calculați $NP$. b) Calculați înălțimea $MD$ și proiecțiile $ND$ și $PD$. c) Calculați $\sin N$ și $\cos N$.

15. (10p) Într-o clasă de $25$ de elevi s-a înregistrat numărul de cărți citite într-o lună:

a) Verificați că totalul elevilor este $25$ și aflați câți elevi au citit cel puțin $3$ cărți. b) Calculați numărul mediu de cărți citite pe elev. c) Ce frecvență relativă (în procente) corespunde elevilor care au citit exact $2$ cărți?

Răspunsuri și explicații

Subiectul I

1. $\sqrt{144}+\sqrt{25}=12+5=\boxed{17}$. (Rădăcinile unor pătrate perfecte.)
2. $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$. Scot factorul $9$ pentru că $\sqrt{9}=3$. Răspuns: $\boxed{3\sqrt{5}}$.
3. $4x+8=0\Rightarrow 4x=-8\Rightarrow x=\boxed{-2}$. (Trec $8$ la dreapta cu semn schimbat, apoi împart la $4$.)
4. $M(6,-3)$: abscisa pozitivă (dreapta), ordonata negativă (jos) $\Rightarrow$ dreapta + jos $=$ cadranul IV. Răspuns: $\boxed{IV}$.
5. Media aritmetică $=\frac{12+15+18}{3}=\frac{45}{3}=\boxed{15}$.
6. $\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=\boxed{15}$ cm. (Teorema lui Pitagora.)

Subiectul II

7. Scot factorii: $\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3}$, $\sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$, $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$. Atunci: $$5\sqrt{3}-4\sqrt{3}+3\sqrt{3}=(5-4+3)\sqrt{3}=\boxed{4\sqrt{3}}.$$

8. Amplific fracția cu $\sqrt{3}$ ca să scap de radicalul din numitor: $$\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=\boxed{3\sqrt{3}}.$$

9. $3(2x-1)=4x+7\Rightarrow 6x-3=4x+7$. Grupez: $6x-4x=7+3\Rightarrow 2x=10\Rightarrow x=\boxed{5}$. Verificare: $3(2\cdot 5-1)=3\cdot 9=27$; $4\cdot 5+7=27$ ✓.

10. Adun cele două ecuații (termenii $+2y$ și $-2y$ se anulează — metoda reducerii): $$(x+2y)+(3x-2y)=10+6\Rightarrow 4x=16\Rightarrow x=4.$$ Revin în prima ecuație: $4+2y=10\Rightarrow 2y=6\Rightarrow y=3$. Soluția: $\boxed{(x,y)=(4,3)}$. Verificare a doua ecuație: $3\cdot 4-2\cdot 3=12-6=6$ ✓.

11. $MN\parallel BC$, deci se aplică teorema lui Thales: paralela taie laturile în segmente proporționale. $$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\Rightarrow \frac{3}{5}=\frac{6}{NC}.$$ Din proporție (produsul extremilor $=$ produsul mezilor): $3\cdot NC=5\cdot 6=30\Rightarrow NC=\boxed{10}$ cm.

12. Lungimea cercului: $\mathcal{L}=2\pi r=2\pi \cdot 10=\boxed{20\pi }$ cm. Aria discului: $\mathcal{A}=\pi r^2=\pi \cdot 10^2=\boxed{100\pi }$ cm². (Dacă foloseai $\pi \approx 3,14$: $\mathcal{L}\approx 62,8$ cm, $\mathcal{A}\approx 314$ cm².)

Subiectul III

13. Trapezul isoscel.

a) Cobor înălțimile din $C$ și $D$ pe baza mare $AB$. Fiind trapez isoscel, cele două „margini" de la bază sunt egale, fiecare de: $$\frac{AB-CD}{2}=\frac{16-6}{2}=5\text{cm}.$$ În triunghiul dreptunghic format (catetă orizontală $5$, ipotenuză latura $AD=13$), înălțimea $h$ este cealaltă catetă: $$h=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=\boxed{12}\text{cm}.$$

b) Aria trapezului: $$\mathcal{A}=\frac{(AB+CD)\cdot h}{2}=\frac{(16+6)\cdot 12}{2}=\frac{22\cdot 12}{2}=\frac{264}{2}=\boxed{132}{\text{cm}}^2.$$

c) Linia mijlocie $=$ semisuma bazelor $=\frac{16+6}{2}=\boxed{11}$ cm. Perimetrul $=16+6+13+13=\boxed{48}$ cm.

14. Relații metrice în triunghiul dreptunghic.

a) Teorema lui Pitagora: $$NP=\sqrt{M{N}^2+M{P}^2}=\sqrt{12^2+16^2}=\sqrt{144+256}=\sqrt{400}=\boxed{20}\text{cm}.$$

b) Înălțimea din vârful unghiului drept: $$MD=\frac{MN\cdot MP}{NP}=\frac{12\cdot 16}{20}=\frac{192}{20}=\boxed{9,6}\text{cm}.$$ Proiecțiile catetelor pe ipotenuză (teorema catetei: ${\text{cateta˘}}^2=\text{ipotenuza˘}\times \text{proiecția ei}$): $$ND=\frac{M{N}^2}{NP}=\frac{144}{20}=7,2\text{cm},PD=\frac{M{P}^2}{NP}=\frac{256}{20}=12,8\text{cm}.$$ Verificare: $ND+PD=7,2+12,8=20=NP$ ✓.

c) Față de unghiul $N$: cateta opusă este $MP=16$, cateta alăturată este $MN=12$, ipotenuza $NP=20$: $$\sin N=\frac{MP}{NP}=\frac{16}{20}=\boxed{0,8},\cos N=\frac{MN}{NP}=\frac{12}{20}=\boxed{0,6}.$$ Verificare: $0,8^2+0,6^2=0,64+0,36=1$ ✓.

15. Organizarea datelor.

a) Total $=3+5+8+6+3=25$ ✓. „Cel puțin $3$ cărți" înseamnă $3$ sau $4$ cărți: $6+3=\boxed{9}$ elevi.

b) Numărul mediu de cărți (media ponderată — fiecare valoare înmulțită cu frecvența ei): $$\overline{x}=\frac{0\cdot 3+1\cdot 5+2\cdot 8+3\cdot 6+4\cdot 3}{25}=\frac{0+5+16+18+12}{25}=\frac{51}{25}=\boxed{2,04}\text{ca˘rți/elev}.$$

c) Frecvența relativă a celor cu exact $2$ cărți: $$\frac{8}{25}=0,32=\boxed{32\%}.$$

De reținut

• Un subiect de simulare acoperă toate cele șapte domenii: numere reale/radicali, ecuații și sisteme, organizarea datelor și reperul cartezian, patrulatere/arii, cerc, asemănare (Thales), relații metrice și trigonometrie.
• Structura standard: Subiectul I (răspuns direct), Subiectul II (calcule arătate), Subiectul III (rezolvare completă), $10p$ din oficiu, total $100p$.
• Formule-cheie ale simulării: teorema lui Pitagora $i^2=c_1^2+c_2^2$; înălțimea din unghiul drept $AD=\frac{c_1\cdot c_2}{i}$; teorema catetei $c^2=i\cdot \text{proiecția}$; teorema lui Thales $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$; aria trapezului $\frac{(B+b)h}{2}$; aria rombului $\frac{d_1{d}_2}{2}$; lungimea cercului $2\pi r$; aria discului $\pi r^2$.
• La Subiectul II și III se punctează pașii, nu doar rezultatul: scrie tot raționamentul.
• Verifică întotdeauna: soluția ecuației prin înlocuire, relația ${\sin }^2+{\cos }^2=1$, suma proiecțiilor egală cu ipotenuza.

Greșeli frecvente

• Aduni radicali diferiți. $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ nu este $\sqrt{5}$. Se adună doar radicalii de același fel, după ce ai scos factorii de sub radical. Verifică mereu dacă radicalii au același număr sub semn.
• Nu schimbi semnul la mutarea termenilor. Când treci un termen dintr-o parte în alta a ecuației, îi schimbi semnul: din $6x-3=4x+7$ obții $6x-4x=7+3$, nu $6x-4x=7-3$.
• Confuzi diagonala cu latura la romb / baza mare cu latura la trapez. La romb, latura este ipotenuza triunghiului cu catetele jumătățile diagonalelor. La trapezul isoscel, „marginea" de la bază este $\frac{B-b}{2}$, nu $B-b$.
• Confuzi cateta opusă cu cea alăturată la $\sin$, $\cos$, $\text{tg}$. Uită-te mereu față de care unghi calculezi: cateta opusă „privește" unghiul din față, cea alăturată îl „atinge". Poți relua Sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit.

Aplică acasă

• Fă-ți propriul barem. Rezolvă simularea din secțiunea „Să exersăm" pe o foaie, cronometrat, apoi corectează-te singur cu punctajele din enunț. Adună punctele, adaugă $10$ din oficiu și vezi ce notă ai lua. Notează exercițiile la care ai greșit și reia lecția-sursă.
• Măsoară și calculează în casă. Alege un obiect dreptunghic (masă, tablou, ecran de televizor) și, cu ruleta, măsoară cele două laturi. Calculează diagonala cu teorema lui Pitagora, apoi verifică prin măsurare directă. Compară rezultatele — diferența îți arată eroarea de măsurare.
• Construiește un tabel de date reale. Timp de o săptămână, notează câte minute faci sport (sau citit) în fiecare zi. La final, întocmește un tabel de frecvențe, calculează media zilnică și desenează poligonul frecvențelor, exact ca la exercițiul 15.

Pentru părinți și profesori

Această lecție este un antrenament de examen, nu o predare de noțiuni noi. Cel mai util sprijin este să lăsați elevul să rezolve simularea singur și cronometrat, apoi să corectați împreună. Nu oferiți rezolvarea, ci puneți întrebări de ghidare: „Din ce domeniu crezi că e exercițiul?", „Ce formulă folosești aici și de ce?", „Cum poți verifica singur dacă rezultatul e corect?".

Semne că elevul a înțeles cu adevărat: recunoaște rapid domeniul fiecărui exercițiu (nu stă blocat întrebându-se „ce se cere aici"), își arată pașii fără să sară direct la rezultat și își verifică singur soluțiile (înlocuiește în ecuație, controlează ${\sin }^2+{\cos }^2=1$, verifică suma proiecțiilor). Dacă greșește sistematic la un anumit tip de exercițiu, întoarceți-vă la lecția de recapitulare a acelui domeniu, nu insistați pe simulare. Punctajul comentat îi arată clar unde „scapă" puncte — de multe ori nu la teorie, ci la redactare și la verificare.

Întrebări frecvente

Cum arată o simulare de matematică pentru clasa a 7-a? Este un test integrat, împărțit de obicei în trei subiecte (răspunsuri scurte, exerciții cu calcule și probleme complete), cu un total de $100$ de puncte, din care $10$ din oficiu. Acoperă toate domeniile anului: numere reale, ecuații, date, geometrie plană și relații metrice.

Cât durează și cum îmi împart timpul la o simulare? De regulă ai în jur de $50$ de minute. Recomandarea este să rezolvi întâi Subiectul I (repede, cca $10$ minute), apoi Subiectul II ($15$ minute) și să lași cel mai mult timp pentru Subiectul III (probleme complete), păstrând $5$ minute la final pentru verificare.

De ce trebuie să scriu toți pașii dacă știu rezultatul? Pentru că baremul punctează raționamentul, nu doar rezultatul final. La Subiectul II și III, un rezultat corect fără justificare pierde o parte din puncte, iar un raționament corect scris pe jumătate îți aduce totuși punctele intermediare.

Ce domenii sunt cel mai des în simulare la clasa a 7-a? Toate cele șapte apar, dar cele mai „grele" ca punctaj sunt geometria patrulaterelor cu arii și relațiile metrice în triunghiul dreptunghic (Pitagora, teorema înălțimii și a catetei, trigonometrie), pentru că apar de obicei la Subiectul III.

Cum îmi calculez singur nota după barem? Aduni punctele obținute la fiecare exercițiu (folosind punctajele din enunț), adaugi cele $10$ puncte din oficiu și împarți la $10$. De exemplu, $73$ de puncte acumulate $+10$ oficiu $=83$ de puncte, adică nota $8,3$.

Ce fac dacă mă blochez la un exercițiu? Treci mai departe și revii la final — nu pierde $10$ minute pe un singur punct. Scrie măcar ce știi (formula, o figură, un pas), pentru că părțile corecte se punctează, iar mintea odihnită găsește deseori soluția la a doua citire.

Simularea aceasta mă pregătește pentru clasa a VIII-a? Da. Recapitularea integrată a tuturor domeniilor clasei a VII-a este exact fundamentul pe care se construiește clasa a VIII-a (calcul algebric, funcții, geometrie în spațiu). Cu cât stăpânești mai bine radicalii, ecuațiile și relațiile metrice acum, cu atât mai ușor îți va fi la anul.

Cum verific dacă un rezultat trigonometric e corect? Folosește relația fundamentală: pentru orice unghi ascuțit, ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$. Dacă ai obținut $\sin x=0,8$ și $\cos x=0,6$, verifici $0,64+0,36=1$ — corect. Dacă suma nu dă $1$, ai o greșeală.