Recapitulare: mulțimea numerelor reale și operații cu radicali

Ai ajuns la finalul clasei a VII-a și e momentul să strângi la un loc tot ce ai învățat despre numere reale și radicali. Aceste noțiuni nu sunt doar pentru teste: când un arhitect calculează lungimea unei diagonale, când un programator estimează timpul de rulare al unui algoritm sau când calculezi latura unui teren pătrat pornind de la aria lui, apar rădăcini pătrate și numere iraționale. Această lecție de recapitulare a numerelor reale de la clasa 7 te ajută să legi între ele mulțimile $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ și toate operațiile cu radicali de la clasa a 7-a, ca să intri sigur pe tine în clasa a VIII-a.

Ce vei învăța

• Vei ști să identifici un număr real ca fiind rațional sau irațional și să îl plasezi corect pe axa numerelor.
• Vei ști să scoți și să introduci factori sub radical, apoi să aduni și să scazi radicalii asemenea.
• Vei ști să înmulțești și să împarți radicali și să efectuezi raționalizarea numitorului de la clasa 7 de forma $a\sqrt{b}$.
• Vei ști să respecți ordinea operațiilor în expresii combinate cu numere reale și radicali.
• Vei ști să folosești modulul (valoarea absolută) și relația $\sqrt{a^2}=|a|$ pentru a calcula corect.

Hai să descoperim împreună

1. Harta mulțimilor de numere

Pe parcursul gimnaziului ai construit, pas cu pas, o adevărată „scară" de mulțimi de numere. Fiecare treaptă o cuprinde pe cea de dedesubt:

$$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$$

Să le recitim înțelesul:

• $\mathbb{N}$ — numerele naturale: $0,1,2,3,\dots$ (numărăm obiecte).
• $\mathbb{Z}$ — numerele întregi: adăugăm și numerele negative: $\dots ,-2,-1,0,1,2,\dots$
• $\mathbb{Q}$ — numerele raționale: toate numerele care se pot scrie ca o fracție $\frac{a}{b}$, cu $a\in \mathbb{Z}$, $b\in \mathbb{Z}$ și $b\ne 0$. Aici intră $\frac{3}{4}$, $-\frac{7}{2}$, dar și $5$ (fiindcă $5=\frac{5}{1}$) sau $0,25=\frac{1}{4}$.
• $\mathbb{R}$ — numerele reale: raționalele împreună cu numerele iraționale, adică toate numerele de pe axă.

Cum recunoști un număr rațional? Scrierea lui zecimală este finită (de exemplu $0,75$) sau periodică (de exemplu $0,333\cdots =\frac{1}{3}$, sau $0,1666\dots$).

Cum recunoști un număr irațional? Scrierea lui zecimală este infinită și neperiodică — nu se termină niciodată și nicio grupă de cifre nu se repetă la nesfârșit. Exemple clasice: $\sqrt{2}=1,41421356\dots$, $\sqrt{3}=1,7320508\dots$, $\pi =3,14159\dots$

Regulă de aur pentru radicali: $\sqrt{n}$ (cu $n$ număr natural) este rațional doar dacă $n$ este pătrat perfect ($1,4,9,16,25,36,\dots$). Astfel $\sqrt{49}=7$ este rațional, dar $\sqrt{50}$ este irațional, pentru că $50$ nu este pătrat perfect. Dacă vrei să reiei baza, revezi lecția Numere iraționale. Exemple și recunoaștere și Mulțimea numerelor reale ℝ.

Ca să nu confunzi mulțimile, ține minte un principiu simplu: fiecare mulțime le include pe toate cele dinaintea ei. Prin urmare, orice număr natural este și întreg, și rațional, și real; dar nu orice număr real este rațional. Un truc practic: dacă poți scrie numărul ca o fracție de întregi, este rațional; dacă are o rădăcină „care nu iese frumos" sau apare $\pi$, bănuiește un irațional și verifică. Iată câteva exemple ordonate într-un mic tabel de recunoaștere:

Observă că un radical „ascuns" poate fi de fapt rațional: $\sqrt{0,04}=0,2$ pentru că $0,2^2=0,04$. De aceea nu te grăbi să spui „irațional" doar pentru că vezi semnul x​ — verifică întâi dacă expresia de dedesubt este pătratul unui număr cunoscut.

De ce avem nevoie de numere iraționale? Mult timp oamenii au crezut că orice lungime se poate scrie ca o fracție de numere întregi. Surpriza a venit dintr-o figură cât se poate de simplă: pătratul cu latura de $1$. Aplicând teorema lui Pitagora (pe care o studiezi tot în clasa a VII-a), diagonala lui măsoară $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Or, $\sqrt{2}$ nu se poate scrie ca o fracție de întregi — este primul număr irațional descoperit. Concluzia e importantă: numerele raționale, oricât de multe ar fi, „lasă goluri" pe axă, iar aceste goluri sunt umplute exact de iraționale. Abia mulțimea $\mathbb{R}$, a numerelor reale, acoperă toată axa, fără nicio gaură. Așa înțelegi de ce nu ne putem opri la $\mathbb{Q}$: fără iraționale n-am putea măsura nici măcar diagonala unui pătrat de latură $1$.

2. Rădăcina pătrată, estimări și modulul

Definiție. Pentru un număr real $a\ge 0$, rădăcina pătrată $\sqrt{a}$ este acel număr pozitiv sau nul care ridicat la pătrat dă $a$. Deci $\sqrt{a}\ge 0$ mereu, iar $(\sqrt{a}{)}^2=a$.

Atenție la o relație foarte importantă, pe care o folosim des:

$$\sqrt{a^2}=|a|$$

De ce apare modulul? Fiindcă rezultatul unei rădăcini pătrate nu poate fi negativ. Astfel $\sqrt{(-6{)}^2}=\sqrt{36}=6=|-6|$, nu $-6$. Revezi la nevoie Relația dintre puterea cu exponent 2 și rădăcină.

Estimarea unei rădăcini. Când $n$ nu este pătrat perfect, îl „prindem" între două pătrate perfecte vecine. De exemplu, pentru $\sqrt{50}$: $$49<50<64\Rightarrow \sqrt{49}<\sqrt{50}<\sqrt{64}\Rightarrow 7<\sqrt{50}<8.$$ Deci partea întreagă a lui $\sqrt{50}$ este $7$, iar $\sqrt{50}\approx 7,07$. Această tehnică o ai detaliat în Estimarea rădăcinii pătrate a unui număr rațional pozitiv.

Plasarea pe axa numerelor. Un număr irațional ca $\sqrt{7}$ nu are o poziție „exactă" pe care s-o putem marca dintr-o mișcare, dar îl putem plasa cu ajutorul unei aproximări. Cum $\sqrt{7}\approx 2,65$, îl așezăm pe axă puțin după mijlocul intervalului dintre $2$ și $3$, mai aproape de $3$. Pentru orice radical, întâi îi găsești partea întreagă (numerele naturale între care se află), apoi rafinezi cu o zecimală. De exemplu, $\sqrt{30}$: cum $25<30<36$, avem $5<\sqrt{30}<6$; o estimare mai fină dă $\sqrt{30}\approx 5,48$, deci îl plasezi cam la jumătatea intervalului $[5;6]$. Revezi tehnica în Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor prin aproximări.

Modulul unui număr real. Reamintim definiția: $$|a|=\{\begin{array}{ll}a,& \text{daca˘ }a\ge 0\\ -a,& \text{daca˘ }a<0\end{array}$$ Modulul măsoară distanța de la număr la $0$ pe axă, deci este mereu pozitiv sau nul. De exemplu $|-4|=4$ și $|4|=4$. Fii atent la un caz care apare des în probleme cu radicali: când vrei modulul unei diferențe de forma $a-\sqrt{b}$, trebuie mai întâi să decizi semnul. Compari $a$ cu $\sqrt{b}$ (folosind o estimare), apoi:

• dacă $a-\sqrt{b}\ge 0$, atunci $|a-\sqrt{b}|=a-\sqrt{b}$;
• dacă $a-\sqrt{b}<0$, atunci $|a-\sqrt{b}|=\sqrt{b}-a$ (schimbi ordinea, ca să obții un rezultat pozitiv).

De exemplu, $|3-\sqrt{2}|=3-\sqrt{2}$ (fiindcă $\sqrt{2}\approx 1,41<3$), dar $|1-\sqrt{2}|=\sqrt{2}-1$ (fiindcă $\sqrt{2}>1$). Această idee o vei folosi mereu când dai de $\sqrt{(a-\sqrt{b}{)}^2}$. Vezi și Modulul ca distanță pe axa numerelor.

3. Scoaterea factorilor de sub radical

Aceasta este poate cea mai folosită tehnică din tot capitolul. Ne bazăm pe proprietatea: $$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b},a\ge 0,b\ge 0.$$

Ideea: căutăm în numărul de sub radical un pătrat perfect ca factor, îl scoatem afară ca rădăcină, iar restul rămâne dedesubt.

Să lucrăm $\sqrt{72}$ pas cu pas:

1. Descompunem: $72=36\cdot 2$, unde $36$ este pătrat perfect.
2. Separăm: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{36}\cdot \sqrt{2}$.
3. Scoatem pătratul: $\sqrt{36}=6$, deci $\sqrt{72}=6\sqrt{2}$.

O metodă și mai sigură este descompunerea în factori primi: $72=2^3\cdot 3^2$. Fiecare pereche de factori egali „iese" cu un exemplar în față. Din $3^2$ iese un $3$; din $2^3=2^2\cdot 2$ iese un $2$ și rămâne un $2$ înăuntru. Obținem $\sqrt{72}=2\cdot 3\cdot \sqrt{2}=6\sqrt{2}$. Vezi și Scoaterea factorilor de sub radical.

4. Introducerea factorilor sub radical

Operația inversă: mutăm un factor pozitiv din fața radicalului sub radical, ridicându-l la pătrat: $$a\sqrt{b}=\sqrt{a^2\cdot b},a\ge 0,b\ge 0.$$

De exemplu $5\sqrt{3}=\sqrt{5^2\cdot 3}=\sqrt{25\cdot 3}=\sqrt{75}$. Această formă este utilă mai ales când vrem să comparăm doi radicali. Ca să vezi care e mai mare, $4\sqrt{3}$ sau $3\sqrt{5}$, îi bagi pe amândoi sub radical: $$4\sqrt{3}=\sqrt{48},3\sqrt{5}=\sqrt{45}.$$ Cum $48>45$, rezultă $4\sqrt{3}>3\sqrt{5}$. Detalii în Introducerea factorilor sub radical.

5. Adunarea și scăderea radicalilor asemenea

Doi radicali sunt asemenea dacă au aceeași expresie sub radical (același „radical"). La fel ca la termenii asemenea, îi adunăm sau scădem punând coeficientul în față: $$m\sqrt{a}\pm n\sqrt{a}=(m\pm n)\sqrt{a}.$$

Atenție: $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ nu se poate aduna într-un singur radical — nu sunt asemenea! Nu există regula $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$; aceasta este una dintre cele mai frecvente greșeli.

Adesea trebuie mai întâi să scoatem factori, ca radicalii să devină asemenea. Exemplu: $$\sqrt{12}+\sqrt{27}=2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=5\sqrt{3}.$$ Aici $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$ și $\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}$. La final au aceeași parte $\sqrt{3}$, deci se adună. Vezi și Adunarea și scăderea numerelor reale.

O analogie care ajută mult: gândește-te la $\sqrt{3}$ ca la un „obiect", de pildă un măr. Atunci $2\sqrt{3}+3\sqrt{3}$ înseamnă „2 mere plus 3 mere", adică 5 mere, deci $5\sqrt{3}$. Dar $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ar fi „un măr plus o pară" — nu le poți contopi într-un singur fruct! Exact la fel, radicalii diferiți rămân termeni separați. Iată încă un exemplu în care apar două grupe de radicali asemenea: $$\sqrt{50}+\sqrt{12}-\sqrt{2}+\sqrt{75}=5\sqrt{2}+2\sqrt{3}-\sqrt{2}+5\sqrt{3}=(5-1)\sqrt{2}+(2+5)\sqrt{3}=4\sqrt{2}+7\sqrt{3}.$$ Observă cum am grupat separat termenii cu $\sqrt{2}$ și cei cu $\sqrt{3}$, apoi am adunat coeficienții în fiecare grupă. Rezultatul rămâne o sumă de doi radicali, pentru că $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$ nu sunt asemenea.

6. Înmulțirea și împărțirea radicalilor

Înmulțirea se face pe două „canale": coeficient cu coeficient și radical cu radical: $$m\sqrt{a}\cdot n\sqrt{b}=(m\cdot n)\sqrt{a\cdot b}.$$ Exemplu: $2\sqrt{3}\cdot 5\sqrt{6}=10\sqrt{18}=10\cdot 3\sqrt{2}=30\sqrt{2}$ (am scos factorii la final!).

Un caz special foarte util: $\sqrt{a}\cdot \sqrt{a}=(\sqrt{a}{)}^2=a$. De exemplu $\sqrt{7}\cdot \sqrt{7}=7$. Această egalitate este „motorul" din spatele multor simplificări: de fiecare dată când un radical se întâlnește cu el însuși, dispare radicalul și rămâne numărul de dedesubt. O vei folosi la raționalizare, la ridicarea la pătrat a unei expresii cu radical și ori de câte ori doi factori identici apar în același produs.

Împărțirea folosește: $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}},b>0.$$ Exemplu: $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5$. Când apar și coeficienți, împarți coeficient la coeficient și radical la radical, exact ca la înmulțire: $\frac{8\sqrt{54}}{4\sqrt{6}}=\frac{8}{4}\cdot \sqrt{\frac{54}{6}}=2\sqrt{9}=2\cdot 3=6$. Vezi Înmulțirea numerelor reale cu radicali și Împărțirea numerelor reale cu radicali.

7. Raționalizarea numitorului

De multe ori rezultatul are un radical la numitor, de exemplu $\frac{6}{\sqrt{3}}$. „A raționaliza" înseamnă a scăpa de radicalul de la numitor, transformându-l într-un număr rațional. Trucul: înmulțim fracția sus și jos cu radicalul de la numitor.

$$\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{(\sqrt{3}{)}^2}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}.$$

Pentru un numitor de forma $a\sqrt{b}$, înmulțim tot cu $\sqrt{b}$: $$\frac{10}{2\sqrt{5}}=\frac{10}{2\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{2\cdot 5}=\frac{10\sqrt{5}}{10}=\sqrt{5}.$$

De ce e importantă raționalizarea numitorului de la clasa 7? Pentru că o formă cu numitor rațional se calculează, se compară și se simplifică mult mai ușor. Imaginează-ți că vrei să afli aproximativ cât face $\frac{6}{\sqrt{3}}$. Cu radical la numitor ar trebui să împarți $6$ la $1,732\dots$ — greu de făcut mintal. Dar după raționalizare ai $2\sqrt{3}\approx 2\cdot 1,732=3,46$ — o înmulțire simplă. Acesta este marele avantaj practic: raționalizarea mută radicalul „sus", unde e ușor de estimat. Revezi Raționalizarea numitorului de forma a√b.

Un ultim detaliu util: uneori numitorul trebuie simplificat înainte de raționalizare. De pildă, la $\frac{8}{\sqrt{8}}$ observăm întâi că $\frac{8}{\sqrt{8}}=\frac{8}{2\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}$, apoi raționalizăm: $\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$. Alegerea unei simplificări la început îți scurtează mult calculul.

De ce înmulțim exact cu radicalul de la numitor și nu cu altceva? Fiindcă $\sqrt{b}\cdot \sqrt{b}=(\sqrt{b}{)}^2=b$, adică pătratul radicalului îl transformă tocmai într-un număr rațional. Acesta este întregul „secret" al raționalizării: alegem factorul care ridică radicalul la pătrat. Și, foarte important, înmulțim și la numărător, și la numitor cu aceeași cantitate — altfel am schimba valoarea fracției. Practic, $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}}=1$, iar înmulțirea cu $1$ nu modifică fracția, doar îi schimbă forma. Reține deci că raționalizarea nu „strică" numărul: $\frac{6}{\sqrt{3}}$ și $2\sqrt{3}$ sunt exact același număr, scris în două feluri. Poți verifica oricând estimând: $\frac{6}{1,732}\approx 3,46$ și $2\cdot 1,732\approx 3,46$ — coincid.

8. Ordinea operațiilor cu numere reale

Când expresia are mai multe operații, respectăm regula clasică, valabilă și pentru radicali:

1. Paranteze (dinăuntru spre afară);
2. Puteri și radicali;
3. Înmulțiri și împărțiri (de la stânga la dreapta);
4. Adunări și scăderi (de la stânga la dreapta).

Un radical acționează și ca o paranteză: mai întâi calculezi ce e sub el, apoi extragi rădăcina. De exemplu $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$ (nu $3+4=7$!). Vezi Ordinea efectuării operațiilor cu numere reale.

Un sfat de strategie pentru expresiile lungi: lucrează pe bucăți. Calculează separat fiecare radical, fiecare modul și fiecare produs, notează rezultatul intermediar, apoi le combini la final. Așa nu te încurci și poți verifica ușor fiecare pas. Multe greșeli din teze nu vin din necunoașterea regulilor, ci din graba de a face tot „dintr-o mișcare".

9. O rutină sigură pentru orice exercițiu cu radicali

Ca să nu uiți nimic, urmează mereu aceeași ordine de lucru:

1. Simplifică fiecare radical scoțând factorii de sub el (aduci totul la forma $a\sqrt{b}$ cu $b$ cât mai mic).
2. Grupează radicalii asemenea și adună/scade coeficienții.
3. Efectuează înmulțirile și împărțirile de radicali, scoțând din nou factorii la final.
4. Raționalizează orice numitor care mai conține radical.
5. Verifică dacă rezultatul e în forma cea mai simplă (numitor rațional, radical fără pătrate perfecte înăuntru).

Această rutină funcționează de la cele mai simple exerciții până la cele combinate din teze și îți dă siguranță la orice exercițiu cu radicali de la clasa 7.

10. Tabelul pătratelor perfecte — instrumentul tău de bază

Aproape tot ce faci cu radicali se sprijină pe recunoașterea rapidă a pătratelor perfecte. Dacă le știi „pe de rost" până la $15^2$, scoaterea factorilor, estimările și raționalizarea devin aproape instantanee. Merită să le fixezi bine:

Cum folosești tabelul în practică? În trei feluri, toate esențiale:

• La scoaterea factorilor, cauți în număr cel mai mare pătrat perfect care îl divide. Pentru $\sqrt{288}$, parcurgi tabelul de sus în jos și observi că $144$ divide $288$ (căci $288=144\cdot 2$), deci $\sqrt{288}=12\sqrt{2}$ dintr-un singur pas. Dacă ai fi luat un pătrat mai mic, ca $4$, ai fi ajuns la $\sqrt{288}=2\sqrt{72}$ și ar fi trebuit să mai simplifici o dată. Alegerea celui mai mare pătrat perfect îți scurtează munca.
• La estimări, „prinzi" numărul între două pătrate perfecte vecine din tabel. Pentru $\sqrt{130}$: cauți vecinii lui $130$ și găsești $121<130<144$, deci $11<\sqrt{130}<12$, iar cum $130$ e aproape de mijloc, $\sqrt{130}\approx 11,4$.
• La recunoașterea rațional/irațional, verifici pur și simplu dacă numărul apare pe rândul de jos al tabelului. Dacă da, radicalul „iese frumos" și e rațional; dacă nu, e irațional.

Un mic antrenament util este să spui cu voce tare pătratele în ordine inversă: $225,196,169,144,\dots$ Când le poți enumera în ambele sensuri, le-ai fixat cu adevărat, iar orice radical de la clasa a VII-a devine ușor de „citit" dintr-o privire.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Clasificarea numerelor

Precizează care dintre numerele $-3;\frac{2}{7};\sqrt{16};\sqrt{20};0,2(3);\pi$ sunt raționale și care iraționale.

Rezolvare.

• $-3\in \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$ → rațional.
• $\frac{2}{7}$ este fracție → rațional (scriere periodică $0,285714\dots$).
• $\sqrt{16}=4$, deci rațional (16 este pătrat perfect).
• $\sqrt{20}$: 20 nu e pătrat perfect → irațional.
• $0,2(3)=0,2333\dots$ are zecimale periodice → rațional.
• $\pi$ are zecimale infinite neperiodice → irațional.

Raționale: $-3,\frac{2}{7},\sqrt{16},0,2(3)$. Iraționale: $\sqrt{20},\pi$.

Exemplul 2 — Scoaterea factorilor și adunare

Calculează $E=\sqrt{8}+\sqrt{18}-\sqrt{50}$.

Rezolvare. Scoatem factorii din fiecare radical: $$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2},\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2},\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}.$$ Acum toți sunt asemenea (au $\sqrt{2}$): $$E=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-5\sqrt{2}=(2+3-5)\sqrt{2}=0\cdot \sqrt{2}=0.$$ Rezultat: $E=0$.

Exemplul 3 — Înmulțire cu scoatere de factori

Calculează $P=3\sqrt{6}\cdot 2\sqrt{10}$.

Rezolvare. $$P=(3\cdot 2)\sqrt{6\cdot 10}=6\sqrt{60}.$$ Scoatem factorii din $\sqrt{60}=\sqrt{4\cdot 15}=2\sqrt{15}$: $$P=6\cdot 2\sqrt{15}=12\sqrt{15}.$$

Exemplul 4 — Raționalizare

Adu la o formă cu numitor rațional expresia $A=\frac{9}{\sqrt{3}}+\frac{4}{2\sqrt{2}}$.

Rezolvare. Raționalizăm fiecare fracție. $$\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3};\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\frac{4\sqrt{2}}{4}=\sqrt{2}.$$ Deci $A=3\sqrt{3}+\sqrt{2}$. Cei doi radicali nu sunt asemenea, deci aceasta este forma finală.

Exemplul 5 — Expresie combinată cu ordinea operațiilor

Calculează $B=\sqrt{9+16}+2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}-|-5|$.

Rezolvare. Pas cu pas, respectând ordinea:

• Radicalul acționează ca paranteză: $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
• Înmulțirea: $2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=2\cdot (\sqrt{3}{)}^2=2\cdot 3=6$.
• Modulul: $|-5|=5$.

Adunăm și scădem în ordine: $$B=5+6-5=6.$$

Exemplul 6 — Modul și rădăcina din pătrat

Calculează $C=\sqrt{(2-\sqrt{5}{)}^2}+\sqrt{5}$, știind că $\sqrt{5}\approx 2,24$.

Rezolvare. Folosim $\sqrt{x^2}=|x|$: $$\sqrt{(2-\sqrt{5}{)}^2}=|2-\sqrt{5}|.$$ Cum $\sqrt{5}\approx 2,24>2$, numărul $2-\sqrt{5}$ este negativ, deci $$|2-\sqrt{5}|=-(2-\sqrt{5})=\sqrt{5}-2.$$ Atunci $$C=(\sqrt{5}-2)+\sqrt{5}=2\sqrt{5}-2.$$ Aceasta este forma exactă a rezultatului.

Exemplul 7 — Expresie combinată cu raționalizare

Calculează $D=\frac{12}{\sqrt{3}}-\sqrt{27}+2\sqrt{12}$.

Rezolvare. Lucrăm pe bucăți, urmând rutina.

• Raționalizăm prima fracție: $\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$.
• Scoatem factorii: $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$ și $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, deci $2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$.

Toți termenii au acum $\sqrt{3}$: $$D=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}+4\sqrt{3}=(4-3+4)\sqrt{3}=5\sqrt{3}.$$

Exemplul 8 — Comparare de numere reale

Ordonează crescător numerele $3\sqrt{5}$, $7$ și $2\sqrt{11}$.

Rezolvare. Le aducem pe toate la formă de radical, ca să le putem compara ușor. $$3\sqrt{5}=\sqrt{45},7=\sqrt{49},2\sqrt{11}=\sqrt{44}.$$ Comparăm numerele de sub radical: $44<45<49$. Prin urmare $$2\sqrt{11}<3\sqrt{5}<7.$$ Aceasta este ordonarea crescătoare cerută. Metoda „bag totul sub radical" este de departe cea mai sigură pentru compararea numerelor reale de la clasa 7.

Exemplul 9 — Simplificare, apoi raționalizare

Calculează $F=\frac{20}{\sqrt{20}}+\sqrt{45}$.

Rezolvare. Aici cel mai deștept prim pas nu este să raționalizezi imediat, ci să simplifici numitorul. Observăm că $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$, deci $$\frac{20}{\sqrt{20}}=\frac{20}{2\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}.$$ Abia acum raționalizăm, înmulțind sus și jos cu $\sqrt{5}$: $$\frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}.$$ Al doilea termen se simplifică direct: $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$. Cei doi termeni sunt acum asemenea: $$F=2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}.$$ Observă cât de mult a ajutat simplificarea de la început: dacă am fi raționalizat brusc $\frac{20}{\sqrt{20}}$ cu $\sqrt{20}$, am fi obținut $\frac{20\sqrt{20}}{20}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ — același rezultat, dar cu un drum mai lung și mai expus la greșeli. Regula practică: întâi privește dacă poți simplifica, abia apoi raționalizează.

Exemplul 10 — Expresie combinată lungă

Calculează $G=\sqrt{25-9}\cdot \sqrt{2}+\sqrt{50}-3\sqrt{2}$.

Rezolvare. Lucrăm pe bucăți, tratând fiecare radical ca pe o paranteză.

• Primul radical: $\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$ (calculăm întâi ce e sub radical!). Apoi $4\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{2}$.
• Al doilea: $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.
• Al treilea rămâne $3\sqrt{2}$.

Toți termenii au acum $\sqrt{2}$, deci sunt asemenea: $$G=4\sqrt{2}+5\sqrt{2}-3\sqrt{2}=(4+5-3)\sqrt{2}=6\sqrt{2}.$$ Atenție la capcana de la început: $\sqrt{25-9}$ nu este $\sqrt{25}-\sqrt{9}=5-3=2$; radicalul se aplică întregii diferențe $25-9=16$, iar $\sqrt{16}=4$. Din fericire, în acest exemplu cele două „variante" dau rezultate diferite — $4$, respectiv $2$ — deci greșeala s-ar observa imediat; verifică singur de ce doar $4$ este corect.

Să exersăm

Rezolvă pe caiet, apoi verifică-te la secțiunea următoare. Exercițiile sunt gradate ușor → greu.

1. Scrie cea mai „mică" mulțime din care face parte fiecare număr: $7$; $-4$; $\frac{3}{5}$; $\sqrt{2}$.
2. Adevărat sau fals, cu motivare: „$\sqrt{81}$ este număr irațional".
3. Scoate factorii de sub radical: a) $\sqrt{45}$; b) $\sqrt{200}$; c) $\sqrt{98}$.
4. Introdu factorul sub radical: a) $4\sqrt{2}$; b) $2\sqrt{7}$; c) $6\sqrt{3}$.
5. Calculează $\sqrt{20}+\sqrt{45}$.
6. Calculează $\sqrt{75}-\sqrt{12}$.
7. Efectuează $\sqrt{6}\cdot \sqrt{24}$.
8. Efectuează $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}$.
9. Raționalizează numitorul: a) $\frac{5}{\sqrt{5}}$; b) $\frac{12}{\sqrt{6}}$.
10. Raționalizează: $\frac{14}{2\sqrt{7}}$.
11. Compară, prin introducerea sub radical, numerele $5\sqrt{2}$ și $3\sqrt{6}$.
12. Calculează $\sqrt{16+9}$ și explică de ce nu este egal cu $4+3$.
13. Calculează $\sqrt{(-7{)}^2}$ și $(\sqrt{7}{)}^2$. Sunt egale? Motivează.
14. Efectuează, respectând ordinea operațiilor: $3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}-\sqrt{49}+|-8|$.
15. Simplifică expresia $E=2\sqrt{18}-\frac{6}{\sqrt{2}}+\sqrt{8}$.
16. Adevărat sau fals, cu motivare: „$\sqrt{3}+\sqrt{3}=\sqrt{6}$".
17. Calculează exact $\sqrt{(3-\sqrt{10}{)}^2}$, știind că $\sqrt{10}\approx 3,16$.
18. Ordonează crescător: $4\sqrt{3}$, $5\sqrt{2}$ și $6$.
19. Efectuează și adu la forma cu numitor rațional: $\frac{15}{\sqrt{5}}-\sqrt{20}$.
20. Calculează $(2\sqrt{3}{)}^2$ și $2(\sqrt{3}{)}^2$. Sunt egale? Motivează.
21. Problemă aplicată. Un teren pătrat are aria de $180{\text{m}}^2$. Scrie lungimea laturii sub cea mai simplă formă cu radical și estimează-i valoarea între două numere naturale consecutive.
22. Problemă aplicată. Un dreptunghi are lungimea $\sqrt{50}$ cm și lățimea $\sqrt{2}$ cm. Calculează aria lui (în cm²).
23. Scoate factorii de sub radical, alegând cel mai mare pătrat perfect: $\sqrt{288}$.
24. Raționalizează numitorul: $\frac{21}{3\sqrt{7}}$.
25. Calculează $\sqrt{100-36}$ și explică de ce nu este egal cu $10-6$.
26. Problemă aplicată. Un triunghi dreptunghic are catetele de $6$ cm și $3$ cm. Scrie lungimea ipotenuzei sub cea mai simplă formă cu radical și estimeaz-o între două numere naturale consecutive. (Indicație: ipotenuza este $\sqrt{6^2+3^2}$.)

Răspunsuri și explicații

1. $7\in \mathbb{N}$; $-4\in \mathbb{Z}$; $\frac{3}{5}\in \mathbb{Q}$; $\sqrt{2}\in \mathbb{R}$ (irațional, deci „apare" abia în $\mathbb{R}$).

2. Fals. $\sqrt{81}=9$, pentru că $81=9^2$ este pătrat perfect; $9$ este natural, deci rațional.

3. a) $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$. b) $\sqrt{200}=\sqrt{100\cdot 2}=10\sqrt{2}$. c) $\sqrt{98}=\sqrt{49\cdot 2}=7\sqrt{2}$.

4. a) $4\sqrt{2}=\sqrt{16\cdot 2}=\sqrt{32}$. b) $2\sqrt{7}=\sqrt{4\cdot 7}=\sqrt{28}$. c) $6\sqrt{3}=\sqrt{36\cdot 3}=\sqrt{108}$.

5. $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$, $\sqrt{45}=3\sqrt{5}$, deci suma $=2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}$.

6. $\sqrt{75}=5\sqrt{3}$, $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$, deci $5\sqrt{3}-2\sqrt{3}=3\sqrt{3}$.

7. $\sqrt{6}\cdot \sqrt{24}=\sqrt{6\cdot 24}=\sqrt{144}=12$.

8. $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{72}{2}}=\sqrt{36}=6$.

9. a) $\frac{5}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$. b) $\frac{12}{\sqrt{6}}=\frac{12\sqrt{6}}{6}=2\sqrt{6}$.

10. $\frac{14}{2\sqrt{7}}=\frac{14\sqrt{7}}{2\cdot 7}=\frac{14\sqrt{7}}{14}=\sqrt{7}$.

11. $5\sqrt{2}=\sqrt{50}$ și $3\sqrt{6}=\sqrt{54}$. Cum $50<54$, rezultă $5\sqrt{2}<3\sqrt{6}$.

12. $\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$. Nu este $4+3=7$ pentru că radicalul se aplică întregii sume $16+9$, nu fiecărui termen separat; în general $\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b}$.

13. $\sqrt{(-7{)}^2}=\sqrt{49}=7$ și $(\sqrt{7}{)}^2=7$. Sunt egale, ambele valorând $7$. Explicație: $\sqrt{(-7{)}^2}=|-7|=7$ (folosim $\sqrt{a^2}=|a|$), iar $(\sqrt{7}{)}^2=7$; coincid ca valoare, deși pornesc de la scrieri diferite.

14. $3\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=3\cdot 2=6$; $\sqrt{49}=7$; $|-8|=8$. Deci $6-7+8=7$.

15. $2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$; $\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$; $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Atunci $E=6\sqrt{2}-3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=5\sqrt{2}$.

16. Fals. $\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ (radicali asemenea, adun coeficienții), nu $\sqrt{6}$. Regula $\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{a+b}$ nu există.

17. $\sqrt{(3-\sqrt{10}{)}^2}=|3-\sqrt{10}|$. Cum $\sqrt{10}\approx 3,16>3$, numărul $3-\sqrt{10}<0$, deci $|3-\sqrt{10}|=\sqrt{10}-3$.

18. $4\sqrt{3}=\sqrt{48}$, $5\sqrt{2}=\sqrt{50}$, $6=\sqrt{36}$. Cum $36<48<50$, avem $6<4\sqrt{3}<5\sqrt{2}$.

19. $\frac{15}{\sqrt{5}}=\frac{15\sqrt{5}}{5}=3\sqrt{5}$ și $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$, deci $3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\sqrt{5}$.

20. $(2\sqrt{3}{)}^2=2^2\cdot (\sqrt{3}{)}^2=4\cdot 3=12$, iar $2(\sqrt{3}{)}^2=2\cdot 3=6$. Nu sunt egale: în prima ridici la pătrat și coeficientul, în a doua doar radicalul.

21. Latura $\ell =\sqrt{180}=\sqrt{36\cdot 5}=6\sqrt{5}\text{m}$. Estimare: $\sqrt{5}\approx 2,24$, deci $\ell \approx 13,4\text{m}$; cum $169<180<196$, avem $13<\sqrt{180}<14$, adică latura este între $13\text{m}$ și $14\text{m}$.

22. Aria $=\sqrt{50}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{100}=10{\text{cm}}^2$.

23. Cel mai mare pătrat perfect care divide $288$ este $144$: $\sqrt{288}=\sqrt{144\cdot 2}=12\sqrt{2}$. (Dacă alegeai $4$, obțineai $2\sqrt{72}$ și mai aveai de simplificat.)

24. $\frac{21}{3\sqrt{7}}=\frac{21\sqrt{7}}{3\cdot 7}=\frac{21\sqrt{7}}{21}=\sqrt{7}$.

25. $\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$. Nu este $10-6=4$, pentru că radicalul se aplică întregii diferențe $100-36=64$, nu fiecărui număr separat; în general $\sqrt{a-b}\ne \sqrt{a}-\sqrt{b}$.

26. Ipotenuza $=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\text{cm}$. Estimare: $\sqrt{5}\approx 2,24$, deci $3\sqrt{5}\approx 6,7\text{cm}$; cum $36<45<49$, avem $6<\sqrt{45}<7$, adică ipotenuza este între $6\text{cm}$ și $7\text{cm}$.

De reținut

• $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$; un radical $\sqrt{n}$ este rațional doar dacă $n$ e pătrat perfect.
• $\sqrt{a^2}=|a|$ și $(\sqrt{a}{)}^2=a$ (pentru $a\ge 0$); rădăcina pătrată este mereu $\ge 0$.
• Scoaterea factorilor: $\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}$; introducerea: $a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}$ (cu $a\ge 0$).
• Adun/scad doar radicalii asemenea: $m\sqrt{a}\pm n\sqrt{a}=(m\pm n)\sqrt{a}$; înmulțesc coeficient cu coeficient și radical cu radical.
• Raționalizarea: $\frac{c}{a\sqrt{b}}=\frac{c\sqrt{b}}{ab}$; ordinea operațiilor tratează radicalul ca pe o paranteză.

Greșeli frecvente

• „$\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$". Fals! $\sqrt{9+16}=5$, nu $7$. Radicalul se aplică întregii expresii de dedesubt.
• „$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$" sau „$\sqrt{3}+\sqrt{3}=\sqrt{6}$". Aduni radicalii doar când sunt asemenea, și atunci aduni coeficienții: $\sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.
• „$\sqrt{a^2}=a$". Corect este $\sqrt{a^2}=|a|$; nu uita modulul când $a$ ar putea fi negativ.
• Lași radical la numitor. Forma finală trebuie raționalizată: $\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$, nu se lasă $\frac{6}{\sqrt{3}}$.
• Ridici la pătrat doar radicalul, uitând coeficientul. $(2\sqrt{3}{)}^2$ nu este $2\cdot 3=6$, ci $2^2\cdot (\sqrt{3}{)}^2=4\cdot 3=12$: la pătrat merge tot produsul, coeficient și radical.
• Nu scoți factorii până la capăt. După o înmulțire rămâi adesea cu un radical „nefinit": $\sqrt{18}$ nu este forma finală, ci $3\sqrt{2}$. Verifică mereu că sub radical nu mai există niciun pătrat perfect ca factor.
• Confunzi $-a$ din definiția modulului cu un număr negativ. În $|a|=-a$ pentru $a<0$, expresia $-a$ este de fapt pozitivă (opusul unui număr negativ). De exemplu, pentru $a=-4$ avem $-a=-(-4)=4$. Modulul nu dă niciodată un rezultat negativ.

Aplică acasă

1. Diagonala televizorului. Un ecran are lățimea de $12$ dm și înălțimea de $9$ dm. Diagonala este $\sqrt{12^2+9^2}$ dm. Calculează exact și în formă zecimală aproximativă, apoi verifică rezultatul măsurând cu o riglă un dreptunghi desenat la scară.
2. Grădina pătrată. Măsoară aria unui spațiu pătrat din casă sau curte (în ${\text{m}}^2$). Scrie latura sub forma $\sqrt{\text{arie}}$, scoate factorii dacă se poate și estimează valoarea între două numere naturale consecutive.
3. Provocare de calcul. Alcătuiește singur o expresie combinată cu cel puțin trei radicali diferiți, un modul și o raționalizare; rezolvă-o, apoi dă-o unui coleg să o verifice.
4. Rețeta cu proporții. Multe rețete se scalează cu factori care implică rădăcini când păstrezi forma unui vas. Alege un vas pătrat din bucătărie, măsoară-i latura, calculează aria, apoi imaginează un vas de arie dublă: latura noului vas este de $\sqrt{2}$ ori mai mare. Estimează cu cât crește latura și verifică dacă rezultatul ți se pare rezonabil.
5. Antrenamentul de recunoaștere. Scrie pe un bilețel zece numere amestecate (de exemplu $\sqrt{81}$, $\sqrt{40}$, $\frac{7}{4}$, $\sqrt{0,09}$, $\pi$, $\sqrt{121}$, $-\sqrt{5}$, $0,(6)$, $\sqrt{2}$, $3,5$) și pune-le rapid în două coloane: raționale și iraționale. Cronometrează-te și repetă a doua zi cu alte numere — scopul este să recunoști tipul „dintr-o privire", verificând mereu dacă expresia de sub radical este pătrat perfect.
6. Diagonala camerei tale (în plan). Măsoară lungimea și lățimea podelei camerei tale (numere întregi de metri, rotunjite). Calculează diagonala podelei cu $\sqrt{{\text{lungime}}^2+{\text{la˘țime}}^2}$, adu rezultatul la forma cea mai simplă cu radical și estimează-l între două numere naturale. Compară apoi cu o măsurare directă cu ruleta — ar trebui să fie foarte aproape.

Pentru părinți și profesori

Această lecție strânge un capitol întreg, așa că cel mai util sprijin este să cereți elevului să explice cu voce tare fiecare pas, nu doar să scrie rezultatul. Întrebări bune de verificare: „De ce este $\sqrt{50}$ irațional?", „De ce apare modulul în $\sqrt{a^2}=|a|$?", „De ce nu poți aduna $\sqrt{2}$ cu $\sqrt{3}$?". Dacă elevul răspunde corect la aceste „de ce"-uri, a înțeles ideile, nu doar tehnica. Un semn clar de stăpânire a materiei este când reușește să scoată factorii de sub radical fără să ezite și când raționalizează automat orice numitor cu radical. Încurajați-l să verifice singur rezultatele: multe se pot controla ridicând la pătrat sau estimând zecimal. O metodă simplă de exersare acasă este să alcătuiți împreună un „set de cinci minute": trei radicali de simplificat, o adunare de radicali și o raționalizare, în fiecare zi, timp de o săptămână. Repetiția scurtă și zilnică fixează tehnicile mult mai bine decât o singură sesiune lungă. Dacă elevul greșește, nu îi dați direct răspunsul; întrebați-l „unde crezi că s-a strecurat eroarea?" — de cele mai multe ori o va găsi singur, ceea ce înseamnă că a înțeles cu adevărat, nu doar a memorat.

Întrebări frecvente

Cum știu dacă un radical este număr rațional sau irațional? $\sqrt{n}$ (cu $n$ natural) este rațional doar dacă $n$ este pătrat perfect ($1,4,9,16,25,\dots$). Altfel este irațional, cu zecimale infinite și neperiodice. De exemplu $\sqrt{64}=8$ e rațional, dar $\sqrt{63}$ e irațional.

Cum scot factorii de sub radical la clasa a 7-a? Cauți sub radical un pătrat perfect care este factor, îl separi și îi extragi rădăcina. Exemplu: $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$. O metodă sigură este descompunerea în factori primi și scoaterea câte unui factor pentru fiecare pereche.

Ce înseamnă raționalizarea numitorului? Înseamnă să elimini radicalul din numitorul unei fracții, înmulțind fracția sus și jos cu acel radical. Astfel $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$, iar numitorul devine un număr rațional, mai ușor de folosit.

Când pot aduna doi radicali? Doar când sunt asemenea, adică au aceeași expresie sub radical. Atunci aduni coeficienții: $2\sqrt{5}+3\sqrt{5}=5\sqrt{5}$. Radicalii $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$ nu se pot aduna într-un singur radical.

De ce $\sqrt{a^2}=|a|$ și nu doar $a$? Pentru că rezultatul unei rădăcini pătrate nu poate fi negativ. Dacă $a$ este negativ, $\sqrt{a^2}$ trebuie să dea un număr pozitiv, deci egal cu $|a|$. Exemplu: $\sqrt{(-5{)}^2}=\sqrt{25}=5=|-5|$.

Cum compar doi radicali de forma $a\sqrt{b}$? Cel mai simplu îi introduci pe amândoi sub radical și compari numerele de dedesubt. De exemplu $5\sqrt{2}=\sqrt{50}$ și $3\sqrt{6}=\sqrt{54}$, iar cum $50<54$, rezultă $5\sqrt{2}<3\sqrt{6}$.

Ce se calculează prima dată într-o expresie cu radicali? Radicalul se comportă ca o paranteză: mai întâi calculezi ce e sub el, apoi extragi rădăcina. Restul respectă ordinea obișnuită: paranteze, puteri și radicali, înmulțiri/împărțiri, apoi adunări/scăderi.

La ce îmi folosesc radicalii în clasa a VIII-a? Vei folosi radicalii constant la teorema lui Pitagora, la relații metrice, la arii și volume, dar și la calculul algebric. O bază solidă de operații cu radicali de la clasa a 7-a îți ușurează enorm anul următor.

Cum verific dacă am scos corect factorii de sub radical? Introdu factorii la loc și vezi dacă obții numărul inițial: dacă din $6\sqrt{2}$ refaci $\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}$, ai lucrat corect. Un alt semn de siguranță este că sub radicalul final nu mai rămâne niciun pătrat perfect ca factor.

Când un exercițiu cu radicali este „complet rezolvat"? Când radicalii sunt aduși la forma cea mai simplă (fără pătrate perfecte sub radical), termenii asemenea sunt grupați, iar la numitor nu mai există niciun radical. Dacă toate aceste condiții sunt îndeplinite, forma finală este considerată corectă și completă.