Cum calculez sinusul și cosinusul unui unghi?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Sinusul și cosinusul unui unghi

Într-un triunghi dreptunghic alegi un unghi ascuțit și îi identifici laturile: cea din fața lui e cateta opusă, cea care pleacă din vârful lui e cateta alăturată, iar ipotenuza stă mereu în fața unghiului drept. Sinusul e raportul dintre opusă și ipotenuză, cosinusul între alăturată și ipotenuză. La catete de $6$ și $8$ , cu ipotenuza $10$ , obții $0, 6$ și $0, 8$ .

Într-un triunghi dreptunghic, alegem un unghi ascuțit, de exemplu $A$ . Fiecare latură primește un rol față de acest unghi: ipotenuza este mereu latura opusă unghiului drept, cateta opusă este cea din fața lui $A$ (nu îl atinge), iar cateta alăturată este cea care pleacă din vârful lui $A$ .

Definim: $sin A = \frac{opus a ˘}{ipotenuz a ˘}$ și $cos A = \frac{al a ˘ turat a ˘}{ipotenuz a ˘}$ . Fiindcă o catetă e mereu mai scurtă decât ipotenuza, ambele rapoarte sunt numere strict între 0 și 1.

Exemplu: dacă cateta opusă $= 6$ , cea alăturată $= 8$ , iar ipotenuza $= 10$ , atunci $sin A = \frac{6}{10} = 0, 6$ și $cos A = \frac{8}{10} = 0, 8$ .

O relație de aur leagă cele două, moștenită direct din Pitagora: $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ . Iar pentru unghiuri complementare, $sin A = cos B$ . Cu aceste rapoarte poți afla o latură necunoscută dacă știi unghiul și o altă latură — fără să măsori direct!

De reținut

$sin = \frac{opus a ˘}{ipotenuz a ˘}$ , $cos = \frac{al a ˘ turat a ˘}{ipotenuz a ˘}$
la un unghi ascuțit, $0 < sin x < 1$ și $0 < cos x < 1$
$sin^{2} x + cos^{2} x = 1$

Greșeala tipică

Se ia cateta alăturată la sinus, fiindcă e mai aproape de unghi pe desen. Sinusul cere latura din fața unghiului, cea care nu îl atinge deloc.

Exerciții din această mini-lecție

În triunghiul dreptunghic $X Y Z$ cu $m (∠ Z) = 90°$ , avem $X Z = 8$ cm și $Y Z = 15$ cm (deci $X Y = 17$ cm). Cât este $sin X$ ?
- a) $\frac{15}{17}$
- b) $\frac{8}{17}$
- c) $\frac{8}{15}$
- d) $\frac{17}{15}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{15}{17}$

Cateta opusă unghiului $X$ este $Y Z = 15$ (nu trece prin $X$ ), iar ipotenuza este $X Y = 17$ . Deci $sin X = \frac{15}{17}$ .
În triunghiul dreptunghic $X Y Z$ cu $m (∠ Z) = 90°$ , avem $X Z = 5$ cm și $Y Z = 12$ cm (deci $X Y = 13$ cm). Cât este $cos X$ ?
- a) $\frac{5}{13}$
- b) $\frac{12}{13}$
- c) $\frac{5}{12}$
- d) $\frac{13}{5}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{5}{13}$

Cateta alăturată unghiului $X$ este $X Z = 5$ (pleacă din vârful $X$ ), iar ipotenuza este $X Y = 13$ . Deci $cos X = \frac{5}{13}$ .
Un unghi ascuțit $z$ are $sin z = \frac{7}{25}$ . Cât este $cos z$ , calculat cu relația fundamentală $sin^{2} z + cos^{2} z = 1$ ?
- a) $\frac{24}{25}$
- b) $\frac{18}{25}$
- c) $\frac{7}{24}$
- d) $\frac{25}{7}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{24}{25}$

$cos^{2} z = 1 - (\frac{7}{25})^{2} = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}$ , deci $cos z = \frac{24}{25}$ (rădăcina pozitivă, unghi ascuțit).

Întrebări conexe

Cum aflu cosinusul dacă știu sinusul unui unghi?

Folosești relația $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$ . Dacă sinusul este $0, 6$ , atunci pătratul lui e $0, 36$ , deci cosinusul la pătrat are $0, 64$ , iar cosinusul $0, 8$ . Alegi mereu valoarea pozitivă, fiindcă la un unghi ascuțit amândouă rapoartele sunt pozitive.

Cum aflu o latură știind un unghi și ipotenuza?

Înmulțești ipotenuza cu sinusul unghiului, dacă vrei cateta din fața lui, sau cu cosinusul, dacă vrei pe cea alipită. Pentru o ipotenuză de $12$ cm și un unghi de $6 0^{\circ}$ , cateta opusă are $12 \cdot \frac{3}{2} = 63$ cm, iar cea alăturată $6$ cm.

Cât este sinusul unghiului de 30 de grade?

Este $\frac{1}{2}$ , adică $0, 5$ . Se vede din triunghiul echilateral tăiat în două: cateta din fața unghiului de $3 0^{\circ}$ este jumătate din ipotenuză. Cosinusul aceluiași unghi are $\frac{3}{2}$ , adică aproximativ $0, 87$ .

Ce se schimbă dacă aleg celălalt unghi ascuțit?

Rolurile catetelor se schimbă între ele. Ce era opusă pentru primul unghi devine alăturată pentru al doilea, așa că sinusul unuia devine cosinusul celuilalt. Fiindcă unghiurile ascuțite se completează până la $9 0^{\circ}$ , relația se scrie pe scurt ca $sin A = cos B$ .

Cum verific cu Pitagora un rezultat trigonometric?

Ridici la pătrat cele două rapoarte și le aduni, iar suma trebuie să iasă exact $1$ . Pentru $0, 6$ și $0, 8$ obții $0, 36 + 0, 64 = 1$ , deci valorile se potrivesc. Dacă suma iese altceva, undeva ai încurcat cateta opusă cu cea alăturată.

Cum rețin care raport e sinus și care e cosinus?

Amândouă rapoartele au ipotenuza dedesubt, deci se deosebesc numai prin latura de deasupra: la sinus stă cea din fața unghiului, la cosinus cea care îl atinge. Ca să nu greșești, desenează triunghiul, marchează unghiul ales și scrie pe fiecare latură rolul ei înainte de a forma raportul.

Oamenii mai întreabă și: sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit · formula sinusului și a cosinusului · cateta opusă și cateta alăturată · sin și cos în triunghiul dreptunghic · cum aflu sinusul unui unghi