Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului $$\alpha$$ are $$8$$ cm, iar cateta alăturată are $$6$$ cm. Cât este $$\operatorname{tg}\alpha$$?

$$\dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$$

$$\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$$

Pentru un unghi ascuțit se cunosc $$\sin\alpha = \dfrac{6}{10}$$ și $$\cos\alpha = \dfrac{8}{10}$$. Cum se calculează corect $$\operatorname{tg}\alpha$$?

$$\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$$

$$\operatorname{tg}\alpha = \cos\alpha - \sin\alpha$$

$$\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \dfrac{8}{6}$$

$$\operatorname{tg}\alpha = \sin\alpha \cdot \cos\alpha$$

Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului $$\alpha$$ are $$9$$ cm, iar cateta alăturată are $$12$$ cm. Cât este $$\operatorname{tg}\alpha$$?

$$\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$$

$$\dfrac{12}{9} = \dfrac{4}{3}$$

Cum calculez tangenta unui unghi ascuțit?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Tangenta și cotangenta unghiului

Împarți cateta din fața unghiului la cea care îl atinge, deci compari catetele între ele, fără să folosești ipotenuza. Cotangenta este raportul răsturnat, iar produsul celor două dă $1$ . Fiindcă nu apare ipotenuza, valorile pot trece de $1$ . La o opusă de $5$ cm și o alăturată de $12$ cm obții $\frac{5}{12}$ și $\frac{12}{5}$ . Se mai poate scrie $tg α = \frac{s i n α}{c o s α}$ .

Într-un triunghi dreptunghic, pentru un unghi ascuțit $α$ , tangenta compară direct cele două catete între ele: $tg α = \frac{cateta opus a ˘}{cateta al a ˘ turat a ˘}$ . Cotangenta este raportul invers: $ctg α = \frac{cateta al a ˘ turat a ˘}{cateta opus a ˘}$ .

Cele două sunt numere inverse: $tg α \cdot ctg α = 1$ . Ele se leagă și de sinus/cosinus prin $tg α = \frac{sin α}{cos α}$ și $ctg α = \frac{cos α}{sin α}$ .

Spre deosebire de sinus și cosinus, tangenta și cotangenta pot fi mai mari decât 1, pentru că nu mai comparăm cu ipotenuza, ci catetele între ele.

Exemplu: dacă opusa e $5$ cm și alăturata e $12$ cm, atunci $tg α = \frac{5}{12}$ și $ctg α = \frac{12}{5}$ , iar $\frac{5}{12} \cdot \frac{12}{5} = 1$ .

De reținut

$tg α = \frac{opus a ˘}{al a ˘ turat a ˘}$ , $ctg α = \frac{al a ˘ turat a ˘}{opus a ˘}$
$tg α \cdot ctg α = 1$
$tg α = \frac{sin α}{cos α}$

Greșeala tipică

Se pune ipotenuza la numitor, ca la sinus și cosinus. Tangenta compară doar catetele între ele, iar de aceea poate ieși și mai mare decât $1$ .

Exerciții din această mini-lecție

Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului $α$ are $8$ cm, iar cateta alăturată are $6$ cm. Cât este $tg α$ ?
- a) $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
- b) $\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
- c) $8 \cdot 6 = 48$
- d) $\frac{8}{10}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$tg α = \frac{opus a ˘}{al a ˘ turat a ˘} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ .
Pentru un unghi ascuțit se cunosc $sin α = \frac{6}{10}$ și $cos α = \frac{8}{10}$ . Cum se calculează corect $tg α$ ?
- a) $tg α = cos α - sin α$
- b) $tg α = \frac{cos α}{sin α} = \frac{8}{6}$
- c) $tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
- d) $tg α = sin α \cdot cos α$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

Tangenta are sinusul sus: $tg α = \frac{sin α}{cos α} = \frac{6/10}{8/10} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ .
Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă unghiului $α$ are $9$ cm, iar cateta alăturată are $12$ cm. Cât este $tg α$ ?
- a) $\frac{12}{9} = \frac{4}{3}$
- b) $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$
- c) $9 \cdot 12 = 108$
- d) $\frac{9}{15}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$

$tg α = \frac{opus a ˘}{al a ˘ turat a ˘} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ . Varianta a) inversează catetele (ar fi $ctg α$ ), iar d) folosește greșit ipotenuza ( $15$ cm, din tripletul $9$ - $12$ - $15$ ).

Întrebări conexe

Cât este tangenta unghiului de 60 de grade?

Este $3$ , adică aproximativ $1, 73$ . Se vede din triunghiul echilateral tăiat în două: cateta din fața unghiului de $6 0^{\circ}$ măsoară $\frac{ℓ 3}{2}$ , iar cea alăturată $\frac{ℓ}{2}$ , deci raportul lor rămâne $3$ . Cotangenta aceluiași unghi are $\frac{3}{3}$ .

Cum aflu o catetă folosind tangenta?

Înmulțești cateta cunoscută cu tangenta, dacă vrei pe cea din fața unghiului. Pentru o alăturată de $9$ cm și un unghi de $4 5^{\circ}$ , opusa are tot $9$ cm, fiindcă tangenta este $1$ . Când cunoscută e opusa, împarți la tangentă în loc să înmulțești.

De ce tangenta crește când unghiul se apropie de 90 de grade?

Fiindcă numărătorul crește, iar numitorul scade în același timp. Cu cât unghiul se ridică, cateta din fața lui se alungește, iar cea alăturată se scurtează. La $8 9^{\circ}$ raportul depășește $57$ , iar la exact $9 0^{\circ}$ tangenta nici nu se mai poate defini.

Cum se leagă tangenta de panta unei rampe?

Panta unei rampe este tocmai tangenta unghiului ei de urcare față de orizontală. O rampă care urcă $1$ m pe o lungime orizontală de $12$ m are tangenta $\frac{1}{12}$ , cam $8%$ . Normele de construcție pentru accesul cu scaunul rulant cer tocmai valori mici, sub această limită.

Cum aflu unghiul dacă știu tangenta lui?

Compari valoarea cu cele trei pe care le știi pe de rost. Dacă tangenta iese $1$ , unghiul are $4 5^{\circ}$ ; dacă iese $3$ , are $6 0^{\circ}$ ; dacă iese $\frac{3}{3}$ , are $3 0^{\circ}$ . Pentru alte valori ai nevoie de tabele sau de calculator, care nu se folosesc la acest nivel.

Ce valori au tangenta și cotangenta pentru 45 de grade?

Amândouă valorează $1$ . La un unghi de $4 5^{\circ}$ , triunghiul dreptunghic iese isoscel, deci catetele au aceeași lungime, iar raportul lor este $1$ în ambele sensuri. Este singurul unghi ascuțit la care tangenta și cotangenta coincid.

Oamenii mai întreabă și: tangenta unui unghi ascuțit · tangentă și cotangentă · formula tangentei · tg și ctg în triunghiul dreptunghic · raportul dintre catete