În triunghiul $$ABC$$, $$MN \parallel BC$$, cu $$M \in AB$$ și $$N \in AC$$. Care dintre următoarele egalități este corectă conform teoremei fundamentale a asemănării?

$$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{MN}{BC}$$

$$\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{MN}{BC}$$

$$\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{NC}{AC}$$

$$\dfrac{AB}{AM} = \dfrac{BC}{AN}$$

Ce spune teorema fundamentală a asemănării?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Paralela care creează asemănare

Că o paralelă dusă la o latură a unui triunghi taie din el un triunghi mic asemenea cu cel mare. Rapoartele care se scriu sunt cele dintre bucata de lângă vârf și latura întreagă: $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C} = k$ . Se demonstrează cu criteriul celor două unghiuri. La $A M = 3$ , $A B = 9$ și $B C = 12$ obții $k = \frac{1}{3}$ și $M N = 4$ .

Ideea-cheie: dacă tragi o paralelă la o latură a unui triunghi, obții un triunghi mic care are exact aceeași formă cu cel mare. Concret, în triunghiul $A B C$ cu $M \in A B$ , $N \in A C$ și $M N ∥ B C$ , se formează $△ A M N \sim △ A B C$ , iar rapoartele "vârf–latură întreagă" sunt egale: $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C} = k .$

De ce e adevărat? Unghiul din $A$ e comun, iar $∠ A M N \equiv ∠ A B C$ (unghiuri corespondente, $M N ∥ B C$ ) — deci criteriul UU dă asemănarea.

Exemplu minimal: dacă $A M = 3$ cm, $A B = 9$ cm, $B C = 12$ cm, atunci $k = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ , deci $M N = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ cm.

Atenție: pentru $M N$ folosești mereu raportul $\frac{A M}{A B}$ (latura întreagă), niciodată $\frac{A M}{M B}$ (acela e Thales, altă poveste).

De reținut

din $M N ∥ B C$ rezultă $△ A M N \sim △ A B C$
$\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C} = k$
segmentul paralel se află numai din rapoartele cu laturile întregi

Greșeala tipică

Se calculează segmentul paralel cu raportul dintre bucăți, adică cel de la Thales. Pentru latura paralelă se folosește raportul dintre bucata de lângă vârf și latura întreagă.

Exerciții din această mini-lecție

În triunghiul $A B C$ , $M N ∥ B C$ , cu $M \in A B$ și $N \in A C$ . Se dau $A M = 5$ cm, $A B = 20$ cm și $B C = 16$ cm. Cât este $M N$ ?
- a) $4$ cm
- b) $5$ cm
- c) $8$ cm
- d) $12$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $4$ cm

Raportul de asemănare este $k = \frac{A M}{A B} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ . Atunci $M N = k \cdot B C = \frac{1}{4} \cdot 16 = 4$ cm.
În triunghiul $A B C$ , $M N ∥ B C$ , cu $M \in A B$ și $N \in A C$ . Care dintre următoarele egalități este corectă conform teoremei fundamentale a asemănării?
- a) $\frac{A M}{M B} = \frac{M N}{B C}$
- b) $\frac{A M}{A B} = \frac{M N}{B C}$
- c) $\frac{A M}{A B} = \frac{N C}{A C}$
- d) $\frac{A B}{A M} = \frac{B C}{A N}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $\frac{A M}{A B} = \frac{M N}{B C}$

Rapoartele din teorema fundamentală sunt "vârf–latură întreagă": $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$ . Varianta (a) amestecă raportul lui Thales ( $A M / M B$ ) cu $M N / B C$ , ceea ce este greșit în general.
În triunghiul $A B C$ , $M N ∥ B C$ , cu $M \in A B$ și $N \in A C$ . Se dau $A M = 6$ cm, $A B = 18$ cm și $B C = 21$ cm. Cât este $M N$ ?
- a) $3$ cm
- b) $7$ cm
- c) $17$ cm
- d) $27$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $7$ cm

Raportul de asemănare este $k = \frac{A M}{A B} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$ . Atunci $M N = k \cdot B C = \frac{1}{3} \cdot 21 = 7$ cm.

Întrebări conexe

Ce se întâmplă cu unghiurile când o paralelă taie triunghiul?

Rămân aceleași. Paralela face cu laturile unghiuri corespondente egale cu cele de la bază, iar unghiul din vârf este comun amândurora. De aceea cele două triunghiuri au toate unghiurile egale, adică sunt asemenea, chiar înainte de a scrie vreun raport.

Cum aflu perimetrul triunghiului mic din cel mare?

Îl înmulțești pe cel mare cu raportul de asemănare. Dacă triunghiul mare are perimetrul $36$ cm, iar $k = \frac{1}{3}$ , cel mic are $12$ cm. Regula merge fiindcă perimetrul e o sumă de lungimi, iar toate lungimile se micșorează în același raport.

Ce arie are triunghiul tăiat de paralelă?

Aria se micșorează cu pătratul raportului. La $k = \frac{1}{3}$ , triunghiul mic are a noua parte din aria celui mare, deci dintr-o arie de $45$ cm² rămân $5$ cm². Trapezul dintre ele primește restul, adică $40$ cm² în acest caz.

Cum folosesc teorema la o problemă cu umbre?

Razele de soare cad paralel, deci obiectul și umbra lui formează un triunghi asemenea cu cel al altui obiect. Dintr-un stâlp de $1$ m cu umbră de $2$ m și un copac cu umbră de $10$ m obții înălțimea $5$ m, din raportul umbrelor.

Ce se întâmplă dacă paralela trece prin mijloacele laturilor?

Segmentul devine linie mijlocie, iar raportul de asemănare este $\frac{1}{2}$ . Triunghiul mic are laturile pe jumătate și aria un sfert din cea mare. Este cazul particular cel mai des întâlnit, tocmai fiindcă numerele ies simple și ușor de verificat.

Cum scriu corect corespondența vârfurilor la asemănare?

Scrii vârfurile în ordinea în care se potrivesc: cel comun primul, apoi punctul de pe o latură, apoi cel de pe cealaltă. Astfel $△ A M N \sim △ A B C$ arată că $M$ ține locul lui $B$ , iar $N$ locul lui $C$ . Ordinea aceasta îți dă direct rapoartele corecte.

Oamenii mai întreabă și: teorema fundamentală a asemănării · paralela la o latură creează asemănare · cum aflu segmentul paralel cu baza · raportul de asemănare dintr-o paralelă · triunghiuri asemenea printr-o paralelă