Cum aflu înălțimea în triunghiul dreptunghic?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Teorema înălțimii în triunghi

Dacă știi cele două bucăți în care înălțimea taie ipotenuza, le înmulțești și extragi radicalul: $h^{2} = p_{1} \cdot p_{2}$ . Este vorba de produs, nu de sumă. Pentru $p_{1} = 4$ și $p_{2} = 9$ obții $h = 6$ . Când cunoști catetele și ipotenuza, merge și formula $h = \frac{c _{1} c _{2}}{i}$ . Controlul rapid: înălțimea rămâne mai scurtă decât ipotenuza.

Într-un triunghi dreptunghic, dacă cobori înălțimea din unghiul drept pe ipotenuză, piciorul ei împarte ipotenuza în două bucăți numite proiecțiile catetelor: $p_{1}$ și $p_{2}$ . Cele două triunghiuri mici formate sunt asemenea între ele și fiecare asemenea cu triunghiul mare. De aici iese teorema înălțimii:

$h^{2} = p_{1} \cdot p_{2}$

adică pătratul înălțimii este egal cu produsul proiecțiilor (nu suma lor — asta e greșeala cea mai frecventă!).

Exemplu. Dacă $p_{1} = 4$ și $p_{2} = 9$ , atunci $h^{2} = 4 \cdot 9 = 36$ , deci $h = 36 = 6$ .

Formula merge și invers: dacă știi $h$ și o proiecție, o afli pe cealaltă cu $p_{2} = \frac{h ^{2}}{p _{1}}$ . Reține și controlul de bun-simț: înălțimea este mereu mai mică decât ipotenuza.

De reținut

$h^{2} = p_{1} \cdot p_{2}$ , deci produsul, nu suma
$h = \frac{c _{1} \cdot c _{2}}{i}$
înălțimea rămâne mai mică decât ipotenuza

Greșeala tipică

Se adună proiecțiile în loc să se înmulțească, așa că din $4$ și $9$ ar ieși $h^{2} = 13$ . Formula cere produsul lor, adică $36$ , deci $h = 6$ .

Exerciții din această mini-lecție

Proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt $B D = 5$ cm și $D C = 20$ cm. Cât este înălțimea $A D$ din unghiul drept?
- a) $10$ cm
- b) $12, 5$ cm
- c) $25$ cm
- d) $100$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $10$ cm

$A D^{2} = B D \cdot D C = 5 \cdot 20 = 100$ , deci $A D = 100 = 10$ cm. Varianta b) este media aritmetică a proiecțiilor, nu media geometrică; varianta c) este suma lor; varianta d) este produsul nesimplificat cu rădăcina.
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt $p_{1} = 6$ și $p_{2} = 10$ . Care este formula corectă prin care calculezi înălțimea $h$ din unghiul drept?
- a) $h = p_{1} + p_{2}$
- b) $h^{2} = p_{1} + p_{2}$
- c) $h^{2} = p_{1} \cdot p_{2}$
- d) $h = p_{1} \cdot p_{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $h^{2} = p_{1} \cdot p_{2}$

Teorema înălțimii spune că pătratul înălțimii este egal cu produsul proiecțiilor: $h^{2} = p_{1} \cdot p_{2}$ . Aici ar da $h^{2} = 6 \cdot 10 = 60$ , deci $h = 60 = 215$ . Suma proiecțiilor ( $p_{1} + p_{2}$ ) dă ipotenuza, nu pătratul înălțimii.
Proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt $B D = 4$ cm și $D C = 36$ cm. Cât este înălțimea $A D$ din unghiul drept?
- a) $12$ cm
- b) $20$ cm
- c) $32$ cm
- d) $22$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $12$ cm

$A D^{2} = B D \cdot D C = 4 \cdot 36 = 144$ , deci $A D = 144 = 12$ cm. Varianta b) este media aritmetică a proiecțiilor, $\frac{4 + 36}{2} = 20$ , folosită greșit în locul mediei geometrice; c) este diferența $36 - 4 = 32$ , iar d) nu provine din nicio relație corectă.

Întrebări conexe

Cât este înălțimea la un triunghi cu catete de 6 și 8?

Ipotenuza iese $10$ din Pitagora, apoi înmulțești catetele și împarți la ea: $\frac{6 \cdot 8}{10} = 4, 8$ . Același rezultat vine și din aria triunghiului, calculată în două feluri, cu catetele sau cu ipotenuza și înălțimea.

Ce triunghiuri asemenea apar când cobor înălțimea?

Trei la număr: cele două mici, formate de o parte și de alta a înălțimii, plus cel mare. Fiecare dintre cele mici seamănă cu cel mare, fiindcă împart cu el câte un unghi ascuțit și unghiul drept. Din proporțiile lor ies toate relațiile metrice.

De ce înălțimea nu poate depăși jumătate din ipotenuză?

Fiindcă produsul a două numere cu sumă fixă este cel mai mare când ele sunt egale. Pentru o ipotenuză de $10$ , cea mai mare valoare a produsului este $5 \cdot 5 = 25$ , deci înălțimea nu trece de $5$ . Cazul acesta apare la triunghiul dreptunghic isoscel.

Cum apare teorema înălțimii într-o problemă cu arie?

Aria se poate scrie în două feluri: jumătate din produsul catetelor sau jumătate din ipotenuză înmulțită cu înălțimea. Egalând cele două expresii, afli înălțimea fără să treci prin proiecții. La catete de $9$ și $12$ , cu ipotenuza $15$ , iese $7, 2$ .

Ce fac dacă produsul proiecțiilor nu e pătrat perfect?

Lași rezultatul sub formă de radical, după ce scoți ce se poate. Din $p_{1} = 3$ și $p_{2} = 6$ obții $h = 18 = 32$ . Răspunsul rămâne exact așa, iar dacă problema cere o valoare zecimală, o rotunjești abia la final.

Cum aflu ipotenuza dacă știu înălțimea și o proiecție?

Afli întâi cealaltă proiecție, împărțind pătratul înălțimii la cea cunoscută, apoi le aduni. Pentru $h = 6$ și $p_{1} = 4$ obții $p_{2} = \frac{36}{4} = 9$ , deci ipotenuza are $13$ . Verificarea se face cu teorema catetei sau cu Pitagora.

Oamenii mai întreabă și: teorema înălțimii · formula teoremei înălțimii · înălțimea din unghiul drept · cum aflu înălțimea din proiecții · teorema înălțimii exemplu