Un triunghi dreptunghic are unghiul drept în vârful $$A$$, iar celelalte două vârfuri sunt $$B$$ și $$C$$. Care afirmație este corectă?

Ipotenuza este latura $$BC$$, opusă unghiului drept

Catetele sunt $$AB$$ și $$BC$$

Ipotenuza este întotdeauna cea mai scurtă latură

Într-un triunghi dreptunghic notăm catetele cu $$c_1$$, $$c_2$$, iar ipotenuza cu $$i$$. Care relație este corectă pentru aflarea catetei $$c_1$$, atunci când cunoști $$i$$ și $$c_2$$?

$$c_1 = \sqrt{i} - \sqrt{c_2}$$

Cum aflu ipotenuza unui triunghi dreptunghic?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Teorema lui Pitagora: ipotenuza și catetele

Aduni pătratele celor două catete și extragi radicalul din sumă. Cu $6$ și $8$ cm obții $36 + 64 = 100$ , deci ipotenuza are $10$ cm. Invers, dacă îți lipsește o catetă, scazi: din pătratul ipotenuzei iei pătratul catetei cunoscute. Verificarea de bun-simț este că ipotenuza trebuie să iasă mai lungă decât fiecare catetă, fiindcă stă în fața unghiului drept.

Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este latura cea mai lungă, așezată mereu în fața unghiului drept, iar catetele sunt celelalte două laturi. Teorema lui Pitagora spune că pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor:

$i^{2} = c_{1}^{2} + c_{2}^{2}$

Dacă știi catetele, afli ipotenuza adunând pătratele lor și extrăgând rădăcina: $i = c_{1}^{2} + c_{2}^{2}$ . Dacă știi ipotenuza și o catetă, afli cealaltă catetă scăzând: $c_{2} = i^{2} - c_{1}^{2}$ .

Exemplu. Catete $6$ cm și $8$ cm: $i^{2} = 36 + 64 = 100$ , deci $i = 100 = 10$ cm.

O verificare rapidă și de bun-simț: ipotenuza trebuie să iasă mereu mai mare decât fiecare catetă. Teorema funcționează numai în triunghiuri dreptunghice.

De reținut

$i^{2} = c_{1}^{2} + c_{2}^{2}$
ipotenuza $i = c_{1}^{2} + c_{2}^{2}$ , iar cateta $c_{2} = i^{2} - c_{1}^{2}$
teorema merge doar în triunghiuri dreptunghice

Greșeala tipică

Se oprește calculul la pătratul ipotenuzei, deci se scrie $100$ în loc de $10$ . După adunarea pătratelor mai urmează un pas, extragerea radicalului.

Exerciții din această mini-lecție

Un triunghi dreptunghic are unghiul drept în vârful $A$ , iar celelalte două vârfuri sunt $B$ și $C$ . Care afirmație este corectă?
- a) Ipotenuza este latura $A B$
- b) Ipotenuza este latura $B C$ , opusă unghiului drept
- c) Catetele sunt $A B$ și $B C$
- d) Ipotenuza este întotdeauna cea mai scurtă latură
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Ipotenuza este latura $B C$ , opusă unghiului drept

Ipotenuza este latura opusă unghiului drept, adică $B C$ (nu pleacă din $A$ ). Catetele sunt $A B$ și $A C$ , cele care formează unghiul drept, iar ipotenuza este mereu cea mai lungă latură, nu cea mai scurtă.
Într-un triunghi dreptunghic notăm catetele cu $c_{1}$ , $c_{2}$ , iar ipotenuza cu $i$ . Care relație este corectă pentru aflarea catetei $c_{1}$ , atunci când cunoști $i$ și $c_{2}$ ?
- a) $c_{1}^{2} = i^{2} + c_{2}^{2}$
- b) $c_{1} = i - c_{2}$
- c) $c_{1}^{2} = i^{2} - c_{2}^{2}$
- d) $c_{1} = i - c_{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $c_{1}^{2} = i^{2} - c_{2}^{2}$

Din $i^{2} = c_{1}^{2} + c_{2}^{2}$ mutăm $c_{2}^{2}$ în celălalt membru: $c_{1}^{2} = i^{2} - c_{2}^{2}$ , deci $c_{1} = i^{2} - c_{2}^{2}$ . Varianta a) adună în loc să scadă (ar da o catetă mai mare decât ipotenuza), iar b) și d) scad lungimile, respectiv rădăcinile lor, nu pătratele: pentru $i = 5$ și $c_{2} = 4$ , varianta b) dă $5 - 4 = 1$ , iar d) dă $5 - 4 \approx 0, 24$ — ambele departe de cateta corectă, $3$ .
Un triunghi dreptunghic are catetele de $9$ cm și $40$ cm. Cât este ipotenuza?
- a) $41$ cm
- b) $31$ cm
- c) $45$ cm
- d) $51$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $41$ cm

$i^{2} = 9^{2} + 4 0^{2} = 81 + 1600 = 1681$ , deci $i = 1681 = 41$ cm. Este tripletul pitagoreic $(9, 40, 41)$ .

Întrebări conexe

Cât este diagonala unui pătrat cu latura de 5 cm?

Tăind pătratul pe diagonală, obții două triunghiuri dreptunghice isoscele ale căror catete sunt chiar laturile. Din $25 + 25 = 50$ obții $50 = 52$ cm, adică aproximativ $7, 07$ cm. Regula generală rămâne $d = ℓ 2$ , pentru orice pătrat.

Cum aflu diagonala unui televizor din lățime și înălțime?

Ecranul este un dreptunghi, iar diagonala lui devine ipotenuza unui triunghi dreptunghic. Pentru $80$ cm lățime și $45$ cm înălțime obții $6400 + 2025 = 8425$ , adică vreo $92$ cm. Producătorii dau tocmai această lungime, de obicei trecută în țoli.

Cât de sus ajunge o scară sprijinită de perete?

O scară de $5$ m, cu piciorul la $3$ m de perete, ajunge la $25 - 9 = 4$ m înălțime. Scara este ipotenuza, iar distanța până la perete și înălțimea sunt catetele, fiindcă peretele face unghi drept cu solul.

Cum folosesc teorema într-un triunghi echilateral?

Cobori înălțimea dintr-un vârf și obții două triunghiuri dreptunghice. Cateta mică este jumătate din latură, iar ipotenuza este latura întreagă. Pentru o latură de $6$ cm rezultă $36 - 9 = 33$ cm, adică formula cunoscută $h = \frac{ℓ 3}{2}$ .

Cum aflu distanța dintre două puncte cu Pitagora?

Desenezi un triunghi dreptunghic cu laturile paralele cu axele. Catetele sunt diferențele coordonatelor, iar distanța este ipotenuza. Între $A (1, 2)$ și $B (4, 6)$ ai $3$ și $4$ , deci distanța iese $5$ . Formula generală adună pătratele acestor diferențe și extrage radicalul.

Cum recunosc pe desen care latură e ipotenuza?

Cauți întâi pătrățelul care marchează unghiul drept, apoi te uiți la latura din fața lui. Aceea este ipotenuza, oricum ar fi întors desenul pe foaie. Nu latura de jos și nici cea mai lungă la privire, ci exact cea care nu atinge vârful cu unghi drept.

Oamenii mai întreabă și: teorema lui Pitagora · ce este ipotenuza · cum calculez ipotenuza · formula teoremei lui Pitagora · cum aflu o catetă cu Pitagora