În $$\triangle ABC$$, $$M \in AB$$, $$N \in AC$$, $$MN \parallel BC$$. Care dintre proporțiile de mai jos este scrisă corect?

$$\frac{AM}{MB} = \frac{NC}{AN}$$

$$\frac{AM}{AN} = \frac{NC}{MB}$$

$$\frac{MB}{AM} = \frac{AN}{NC}$$

Ce spune teorema lui Thales?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Teorema lui Thales

Că o dreaptă paralelă cu o latură a triunghiului taie celelalte două laturi în bucăți care păstrează același raport: $\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C}$ . Bucățile dinspre vârf merg împreună, iar cele dinspre bază la fel, fără să le amesteci. O formă echivalentă folosește laturile întregi. La $A M = 4$ , $M B = 6$ și $A N = 6$ obții $N C = 9$ , prin produsul în cruce.

Ideea de bază: paralelismul păstrează rapoartele. Dacă într-un triunghi $△ A B C$ o dreaptă taie laturile $A B$ și $A C$ în punctele $M$ , respectiv $N$ , iar $M N ∥ B C$ , atunci segmentele formate sunt proporționale:

$\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C} .$

Segmentele „dinspre vârf” ( $A M$ , $A N$ ) sunt partenere între ele, iar cele „dinspre bază” ( $M B$ , $N C$ ) sunt partenere între ele — nu le amesteca. O formă echivalentă, utilă când cunoști laturile întregi, este $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ (aici $M N$ se potrivește tot cu latura întreagă: $\frac{M N}{B C}$ ).

Exemplu minimal: dacă $A M = 4$ , $M B = 6$ și $A N = 6$ , atunci $\frac{4}{6} = \frac{6}{N C}$ , deci $4 \cdot N C = 36$ , adică $N C = 9$ . Rețetă: scrii proporția cu o singură necunoscută, apoi faci produsul în cruce.

De reținut

$\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C}$ când $M N ∥ B C$
forme echivalente: $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$
fiecare raport se construiește la fel pe amândouă laturile

Greșeala tipică

Se scriu rapoartele în ordine diferită pe cele două laturi, deci proporția iese falsă. Dacă începi cu bucata de lângă vârf, tot de acolo pornești și în partea cealaltă.

Exerciții din această mini-lecție

În $△ A B C$ , $M \in A B$ , $N \in A C$ și $M N ∥ B C$ . Se dau $A M = 3$ , $M B = 9$ și $A N = 4$ . Cât este $N C$ ?
- a) $8$
- b) $12$
- c) $6$
- d) $9$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $12$

Scriem $\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C} \Rightarrow \frac{3}{9} = \frac{4}{N C}$ . Produsul în cruce: $3 \cdot N C = 9 \cdot 4 = 36$ , deci $N C = 12$ .
În $△ A B C$ , $M \in A B$ , $N \in A C$ , $M N ∥ B C$ . Care dintre proporțiile de mai jos este scrisă corect?
- a) $\frac{A M}{M B} = \frac{N C}{A N}$
- b) $\frac{A M}{A N} = \frac{N C}{M B}$
- c) $\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C}$
- d) $\frac{M B}{A M} = \frac{A N}{N C}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C}$

Regula de aur: fiecare raport trebuie construit la fel pe ambele laturi (sus/jos = sus/jos). Segmentele dinspre vârf ( $A M$ , $A N$ ) merg împreună, iar cele dinspre bază ( $M B$ , $N C$ ) merg împreună, deci corect este $\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C}$ .
În $△ A B C$ , $M \in A B$ , $N \in A C$ și $M N ∥ B C$ . Se dau $A M = 5$ , $M B = 15$ și $A N = 6$ . Cât este $N C$ ?
- a) $18$
- b) $10$
- c) $28$
- d) $8$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $18$

Scriem $\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C} \Rightarrow \frac{5}{15} = \frac{6}{N C}$ . Produsul în cruce: $5 \cdot N C = 15 \cdot 6 = 90$ , deci $N C = 18$ .

Întrebări conexe

Ce spune teorema lui Thales când mai multe paralele taie două drepte?

Paralelele decupează pe cele două drepte segmente proporționale, oricâte ar fi ele. Dacă pe una dintre drepte bucățile ies egale, atunci și pe cealaltă sunt egale între ele. Așa se explică de ce liniile caietului taie în bucăți egale orice segment înclinat așezat peste ele.

Cine a fost Thales și de unde vine teorema?

A fost un învățat grec din cetatea Milet, trăitor cu vreo șase secole înainte de era noastră. Se spune că a măsurat înălțimea piramidei din Egipt comparând umbra ei cu umbra unui băț, tocmai prin ideea rapoartelor păstrate. Numele lui a rămas legat de această proprietate.

Ce se întâmplă dacă paralela trece prin mijlocul unei laturi?

Atunci taie și a doua latură tot la mijloc, fiindcă rapoartele sunt egale, iar primul este $1$ . Segmentul obținut unește mijloacele a două laturi și are jumătate din lungimea celei de-a treia, rezultat folosit apoi la multe probleme cu triunghiuri.

Ce fac dacă mi se dau laturile întregi, nu bucățile?

Folosești forma cu laturile întregi la numitor și rezolvi la fel. Din $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ afli necunoscuta prin produs în cruce. Dacă ai nevoie de bucata rămasă, o scazi la final: $M B = A B - A M$ . Cele două forme spun același lucru.

Cum apare teorema lui Thales pe un plan la scară?

Liniile paralele de pe plan păstrează aceleași rapoarte ca în teren, oricât ar fi de micșorat desenul. Măsurând două segmente pe hârtie și cunoscând lungimea reală a unuia, o afli pe cealaltă printr-o proporție. Pe aceeași idee se sprijină și citirea distanțelor de pe hartă.

Ce greșeală apare când scriu proporția pe dos?

Iese o egalitate falsă și, de acolo, un rezultat greșit. Dacă în stânga pui bucata de sus peste cea de jos, la fel trebuie să faci și în dreapta. Amestecul dintre $\frac{A M}{M B}$ și $\frac{N C}{A N}$ este cea mai frecventă cauză a răspunsurilor greșite.

Oamenii mai întreabă și: teorema lui Thales · enunțul teoremei lui Thales · segmente proporționale în triunghi · cum aplic teorema lui Thales · proporția lui Thales