Triunghiul $$PQR$$ are $$\widehat{P} = 60°$$ și $$\widehat{Q} = 60°$$. Ce fel de triunghi este $$PQR$$?

Isoscel, dar sigur nu echilateral

Nu se poate preciza din datele date

Triunghiul $$ABC$$ este echilateral, iar $$AD$$ este bisectoarea unghiului $$\widehat{A}$$, cu $$D$$ pe latura $$[BC]$$. Ce altă linie importantă este, în același timp, $$AD$$?

înălțime, mediană și mediatoare, toate deodată

doar mediatoare, dar nu și mediană

o dreaptă oarecare, fără alte proprietăți

Ce este un triunghi echilateral?

Lecția pe scurt · clasa a VI-a · Triunghiul echilateral: proprietăți

Este triunghiul cu toate cele trei laturi de aceeași lungime. Fiindcă laturilor egale le stau în față unghiuri egale, cele trei unghiuri sunt și ele egale, iar cum împreună fac 180 de grade, fiecare ajunge la 60. Perimetrul iese înmulțind latura cu 3, deci latura se află împărțind perimetrul la 3: din 33 cm rezultă 11 cm. Pornită dintr-un vârf, aceeași dreaptă ține loc, pe rând, de bisectoare, de mediană, de înălțime și de mediatoare pentru latura din față.

Un triunghi echilateral are toate cele trei laturi congruente: $A B = B C = C A$ . Fiindcă este isoscel privit din fiecare vârf, unghiurile opuse laturilor egale sunt egale, deci $A = B = C$ . Cum suma unghiurilor unui triunghi este $180°$ , notăm unghiul comun cu $x$ : $3 x = 180° \Rightarrow x = 60°$ . Așadar fiecare unghi al triunghiului echilateral are $60°$ . Reciproc, dacă toate unghiurile sunt egale (sau doar două au câte $60°$ , al treilea rezultând automat tot $60°$ ), triunghiul este echilateral. Din fiecare vârf, bisectoarea, mediana, înălțimea și mediatoarea laturii opuse coincid, iar centrul de greutate, ortocentrul și centrele cercurilor înscris/circumscris se suprapun într-un singur punct. Perimetrul se calculează cu $P = 3 ℓ$ , deci $ℓ = P : 3$ .

Exemplu: dacă perimetrul este $33$ cm, latura este $ℓ = 33 : 3 = 11$ cm, iar fiecare unghi are $60°$ .

De reținut

trei laturi egale și trei unghiuri de câte $60°$
$P = 3 ℓ$ , deci $ℓ = P : 3$
două unghiuri de $60°$ sunt de ajuns pentru echilateral
din fiecare vârf, cele patru linii importante coincid

Greșeala tipică

Se crede că un singur unghi de 60 de grade face triunghiul echilateral. Un triunghi cu 60, 50 și 70 de grade arată că nu este așa; e nevoie de două unghiuri de 60 de grade.

Exerciții din această mini-lecție

Triunghiul $X Y Z$ este echilateral. Ce măsură are unghiul $Y$ ?
- a) $45°$
- b) $60°$
- c) $90°$
- d) $120°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $60°$

Într-un triunghi echilateral toate unghiurile sunt egale, iar suma lor este $180°$ . Deci fiecare unghi are $180° : 3 = 60°$ , indiferent cum se numesc vârfurile.
Triunghiul $P QR$ are $P = 60°$ și $Q = 60°$ . Ce fel de triunghi este $P QR$ ?
- a) Isoscel, dar sigur nu echilateral
- b) Echilateral
- c) Dreptunghic
- d) Nu se poate preciza din datele date
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Echilateral

Din suma unghiurilor: $R = 180° - 60° - 60° = 60°$ . Toate cele trei unghiuri sunt $60°$ , deci triunghiul este echiunghic, ceea ce înseamnă că este echilateral (e suficient ca două unghiuri să fie de $60°$ pentru a garanta acest lucru).
Triunghiul $A B C$ este echilateral, iar $A D$ este bisectoarea unghiului $A$ , cu $D$ pe latura $[B C]$ . Ce altă linie importantă este, în același timp, $A D$ ?
- a) doar mediană, nimic altceva
- b) înălțime, mediană și mediatoare, toate deodată
- c) doar mediatoare, dar nu și mediană
- d) o dreaptă oarecare, fără alte proprietăți
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) înălțime, mediană și mediatoare, toate deodată

Într-un triunghi echilateral, din fiecare vârf, bisectoarea, mediana, înălțimea și mediatoarea laturii opuse coincid, fiind aceeași dreaptă. Deci $A D$ este, în același timp, și mediană, și înălțime, și mediatoare a laturii $[B C]$ .

Întrebări conexe

Cum aflu înălțimea unui triunghi echilateral?

Înălțimea cade în mijlocul bazei și taie figura în două triunghiuri dreptunghice cu ipotenuza egală cu latura și o catetă egală cu jumătate din ea. Din teorema lui Pitagora iese $\frac{ℓ 3}{2}$ , deci pentru latura de $6$ cm înălțimea măsoară $33$ cm.

Unde se întâlnesc centrul de greutate și ortocentrul echilateralului?

În același punct, împreună cu centrul cercului înscris și cu cel al cercului circumscris. Toate cad acolo pentru că liniile importante coincid, deci punctele lor de întâlnire nu au cum să se despartă. La celelalte triunghiuri, cele patru centre stau în locuri diferite.

De ce nu ajunge un singur unghi de 60 de grade pentru un echilateral?

Fiindcă celelalte două pot împărți restul de 120 de grade oricum, de pildă 50 și 70. Ca să fii sigur ai nevoie de două unghiuri de câte 60 de grade, iar al treilea rezultă atunci de la sine, sau de un unghi de 60 de grade într-un triunghi despre care știi deja că este isoscel.

Unde întâlnim triunghiuri echilaterale în jurul nostru?

În semnele rutiere de cedare a trecerii, în plăcile de faianță triunghiulare, în structurile de grinzi ale podurilor și în tiparele fagurelui desenat cu diagonale. Forma este căutată fiindcă distribuie apăsarea la fel pe toate laturile.

Poate un triunghi echilateral să fie dreptunghic?

Nu poate. Unghiurile lui au fiecare 60 de grade, iar 60 nu este 90, deci nu are cum să apară un unghi drept. Din același motiv nu poate fi nici obtuzunghic, ci rămâne întotdeauna ascuțitunghic.

Cum desenez un triunghi echilateral cu compasul?

Trasezi un segment, apoi deschizi compasul exact cât lungimea lui. Faci câte un arc din fiecare capăt și unești segmentul cu punctul în care arcele se taie. Cele două raze folosite sunt egale cu segmentul, deci toate laturile ies la fel.

Oamenii mai întreabă și: triunghi echilateral · câte grade are triunghiul echilateral · proprietățile triunghiului echilateral · triunghi cu toate laturile egale · latura triunghiului echilateral din perimetru