Se dă $$\triangle PQR \sim \triangle XYZ$$. Ce latură corespunde laturii $$QR$$?

Nu se poate stabili fără lungimile laturilor

Două triunghiuri asemenea au raportul de asemănare $$k = 1$$. Ce se poate spune despre ele?

Unul are laturile de două ori mai mari decât celălalt

Au unghiurile corespondente diferite

Când sunt două triunghiuri asemenea?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Triunghiuri asemenea și raportul k

Când au aceeași formă, chiar dacă mărimile diferă: unghiurile care se corespund sunt egale, iar laturile care se corespund păstrează același raport. Valoarea comună a acestor rapoarte se numește raport de asemănare și se notează cu $k$ . Ordinea literelor din scriere arată ce vârf ține locul cui. La $A B = 9$ și $D E = 3$ obții $k = 3$ . Congruența este cazul în care $k = 1$ .

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au aceeași formă, dar eventual mărimi diferite: unghiurile corespondente sunt congruente, iar laturile corespondente sunt proporționale. Scriem $△ A B C \sim △ D E F$ , iar ordinea literelor contează: $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ sunt vârfuri corespondente.

Valoarea comună a rapoartelor laturilor se numește raportul de asemănare $k$ : $k = \frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{C A}{F D}$

Exemplu minimal: dacă $A B = 9$ , $D E = 3$ , atunci $k = \frac{9}{3} = 3$ — triunghiul $A B C$ este de 3 ori mai mare. Perimetrele sunt și ele în raportul $k$ , dar unghiurile NU se înmulțesc cu $k$ — ele rămân pur și simplu egale. Congruența este cazul particular $k = 1$ .

De reținut

$△ A B C \sim △ D E F$ înseamnă unghiuri egale și laturi proporționale
$k = \frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} = \frac{C A}{F D}$
unghiurile rămân egale, nu se înmulțesc cu $k$

Greșeala tipică

Se scriu literele în ordine oarecare, deci proporțiile leagă laturi care nu se corespund. Poziția fiecărei litere în scrierea asemănării arată cu ce vârf se potrivește.

Exerciții din această mini-lecție

Se dă $△ P QR \sim △ X Y Z$ . Ce latură corespunde laturii $QR$ ?
- a) $X Y$
- b) $Y Z$
- c) $X Z$
- d) Nu se poate stabili fără lungimile laturilor
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $Y Z$

Literele stau pe poziții: $P \leftrightarrow X$ (poziția 1), $Q \leftrightarrow Y$ (poziția 2), $R \leftrightarrow Z$ (poziția 3). Latura $QR$ (pozițiile 2-3) corespunde laturii $Y Z$ (pozițiile 2-3).
Fie $△ A B C \sim △ M N P$ , cu $A B = 12$ cm, $B C = 15$ cm și $M N = 4$ cm. Cât măsoară latura $N P$ ?
- a) $5$ cm
- b) $45$ cm
- c) $15$ cm
- d) $3$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $5$ cm

Raportul de asemănare este $k = \frac{A B}{M N} = \frac{12}{4} = 3$ , deci $△ A B C$ este de 3 ori mai mare. Cum $B C$ corespunde lui $N P$ , avem $N P = \frac{B C}{k} = \frac{15}{3} = 5$ cm. (Varianta $45$ cm apare dacă înmulțești în loc să împarți.)
Două triunghiuri asemenea au raportul de asemănare $k = 1$ . Ce se poate spune despre ele?
- a) Sunt congruente
- b) Unul are laturile de două ori mai mari decât celălalt
- c) Au unghiurile corespondente diferite
- d) Nu pot fi asemenea
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) Sunt congruente

Dacă $k = 1$ , atunci fiecare latură este egală cu latura corespondentă ( $A B = D E$ , $B C = E F$ , $C A = F D$ ), iar unghiurile sunt oricum congruente. Deci congruența este cazul particular $k = 1$ al asemănării.

Întrebări conexe

Cum aflu raportul de asemănare din două laturi date?

Împarți lungimea unei laturi din primul triunghi la lungimea laturii care îi corespunde în al doilea. Din $A B = 12$ și $D E = 8$ obții $k = \frac{3}{2}$ . Verifici apoi că același număr iese și din celelalte două perechi de laturi, altfel triunghiurile nu sunt asemenea.

Cum verific dacă două triunghiuri sunt asemenea din laturi?

Așezi laturile în ordine crescătoare la amândouă și faci cele trei rapoarte. Dacă ies toate egale, triunghiurile sunt asemenea. Pentru laturile $3, 4, 5$ și $9, 12, 15$ obții de trei ori $\frac{1}{3}$ , deci condiția e îndeplinită.

Ce raport au înălțimile a două triunghiuri asemenea?

Tot raportul $k$ , ca la orice lungime. Înălțimile, medianele, bisectoarele și razele cercurilor legate de cele două figuri urmează același număr. Doar ariile fac excepție, fiindcă ele se schimbă cu pătratul lui. Regula te scutește de calcule separate pentru fiecare segment.

Sunt asemenea două triunghiuri echilaterale oarecare?

Da, întotdeauna. Toate unghiurile lor au câte $6 0^{\circ}$ , iar laturile fiecăruia sunt egale între ele, deci rapoartele ies același număr. La fel se întâmplă și cu două pătrate sau cu două cercuri. La triunghiurile isoscele însă nu merge, fiindcă unghiurile lor pot fi diferite.

Cum apar triunghiurile asemenea în fotografii mărite?

O fotografie mărită păstrează forma, deci orice triunghi din ea devine asemenea cu cel din original. Raportul de asemănare este chiar factorul de mărire. Dacă imaginea crește de două ori, laturile se dublează, iar suprafața ocupată devine de patru ori mai mare.

Ce fac dacă nu știu care laturi se corespund?

Te uiți la unghiuri, fiindcă laturile care se corespund stau în fața unghiurilor egale. Dacă nu ai unghiurile marcate, ordonezi laturile după lungime în fiecare triunghi, întrucât cea mai mare merge cu cea mai mare. Apoi rescrii asemănarea cu literele în ordinea potrivită.

Oamenii mai întreabă și: triunghiuri asemenea · raportul de asemănare · când sunt asemenea două triunghiuri · definiția asemănării triunghiurilor · cum scriu asemănarea triunghiurilor