Într-un diedru de muchie $$d$$, alegem un punct $$O$$ pe muchie și ducem câte o semidreaptă în fiecare față. Ce condiție trebuie să respecte cele două semidrepte, ca unghiul format să fie chiar unghiul plan al diedrului?

Să fie perpendiculare pe muchia $$d$$, ambele pornind din același punct $$O$$

Să fie paralele cu muchia $$d$$

Să formeze un unghi de $$45^\circ$$ cu muchia

Ce este unghiul diedru?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Unghiul diedru și unghiul plan

Se formează acolo unde două semiplane au aceeași dreaptă-frontieră: dreapta este muchia diedrului, iar semiplanele sunt fețele lui. Ca să îi afli măsura, alegi un punct pe muchie și ridici, în cele două fețe, câte o semidreaptă perpendiculară pe ea; unghiul lor se numește unghi plan și dă chiar măsura diedrului. Când acesta are $9 0^{\circ}$ , planele sunt perpendiculare.

Când două semiplane pornesc din aceeași dreaptă, se formează un unghi diedru: dreapta comună este muchia, iar semiplanele sunt fețele. Ca să măsurăm „deschiderea” diedrului, construim unghiul plan corespunzător: dintr-un punct $O$ de pe muchie ducem, în fiecare față, câte o semidreaptă perpendiculară pe muchie. Unghiul dintre aceste două semidrepte are aceeași măsură indiferent de punctul ales pe muchie, deci putem vorbi de o singură măsură a diedrului.

Dacă acest unghi plan are $9 0^{\circ}$ , diedrul este drept, iar cele două plane sunt perpendiculare. Când două plane secante formează patru diedre, unghiul dintre plane este, prin convenție, cel mai mic dintre ele (măsură în $(0^{\circ}, 9 0^{\circ}]$ ).

Exemplu minimal: dacă unghiul plan al unui diedru este obtuz, de $14 0^{\circ}$ , diedrul alăturat are $18 0^{\circ} - 14 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$ , iar unghiul celor două plane secante este $4 0^{\circ}$ (cel mai mic dintre ele).

De reținut

măsura diedrului este măsura unghiului lui plan
unghiul a două plane se ia în $(0^{\circ}, 9 0^{\circ}]$
diedru de $9 0^{\circ}$ înseamnă plane perpendiculare

Greșeala tipică

Se dă ca răspuns diedrul obtuz, deși unghiul a două plane se ia mereu cel ascuțit. Dacă unghiul plan iese de $13 0^{\circ}$ , răspunsul corect este suplementul lui, adică $5 0^{\circ}$ .

Exerciții din această mini-lecție

Într-un diedru de muchie $d$ , alegem un punct $O$ pe muchie și ducem câte o semidreaptă în fiecare față. Ce condiție trebuie să respecte cele două semidrepte, ca unghiul format să fie chiar unghiul plan al diedrului?
- a) Să fie paralele cu muchia $d$
- b) Să fie perpendiculare pe muchia $d$ , ambele pornind din același punct $O$
- c) Să aibă lungimi egale
- d) Să formeze un unghi de $4 5^{\circ}$ cu muchia
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) Să fie perpendiculare pe muchia $d$ , ambele pornind din același punct $O$

Unghiul plan al diedrului se obține strict din același punct $O$ al muchiei, cu câte o semidreaptă perpendiculară pe muchie în fiecare față. Fără perpendicularitate pe muchie, unghiul obținut nu măsoară diedrul.
Două plane secante formează un diedru al cărui unghi plan măsoară $11 0^{\circ}$ . Care este măsura unghiului dintre cele două plane, conform convenției?
- a) $11 0^{\circ}$
- b) $7 0^{\circ}$
- c) $5 5^{\circ}$
- d) $22 0^{\circ}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $7 0^{\circ}$

Diedrul alăturat celui de $11 0^{\circ}$ are $18 0^{\circ} - 11 0^{\circ} = 7 0^{\circ}$ . Unghiul a două plane secante este cel mai mic dintre cele patru diedre formate, deci este $7 0^{\circ}$ .
O piramidă patrulateră regulată $V A B C D$ are latura bazei $A B = 10$ cm și înălțimea $V O = 53$ cm, unde $O$ este centrul bazei. Calculează măsura diedrului dintre o față laterală și bază.
- a) $30°$
- b) $45°$
- c) $60°$
- d) $50°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $60°$

Apotema bazei este $O M = \frac{A B}{2} = 5$ cm. În triunghiul dreptunghic $V O M$ : $tg (V M O) = \frac{V O}{O M} = \frac{5 3}{5} = 3$ , deci $V M O = 60°$ .

Întrebări conexe

Câte diedre se formează când două plane se intersectează?

Patru, grupate două câte două. Diedrele opuse la muchie au aceeași măsură, iar cele alăturate sunt suplementare, deci se completează până la $18 0^{\circ}$ . Dacă unul măsoară $6 5^{\circ}$ , celelalte trei au $11 5^{\circ}$ , $6 5^{\circ}$ și $11 5^{\circ}$ .

Ce unghi fac două fețe alăturate ale unui cub?

Exact $9 0^{\circ}$ , fiindcă orice două fețe vecine ale cubului sunt perpendiculare. Muchia comună este muchia diedrului, iar cele două laturi ale unghiului plan sunt muchii perpendiculare pe ea, din fiecare față. De aceea toate diedrele cubului sunt drepte.

Ce se întâmplă cu diedrul dacă planele sunt paralele?

Nu se formează niciun diedru, fiindcă lipsește muchia: planele paralele nu au puncte comune. Prin convenție, unghiul dintre două plane paralele, sau confundate, este de $0^{\circ}$ . Diedrul apare numai la plane secante.

Cum recunosc muchia diedrului într-o problemă cu un corp?

Este dreapta comună celor două fețe sau plane despre care se vorbește. La un diedru dintre o față laterală și baza unei piramide, muchia este latura bazei pe care se sprijină fața. Odată găsită, se ridică perpendiculare pe ea, din același punct.

Poate unghiul plan al unui diedru să fie obtuz?

Da, un diedru poate avea orice măsură între $0^{\circ}$ și $18 0^{\circ}$ , deci și una obtuză. Restricția apare doar la întrebarea despre unghiul a două plane, unde se cere valoarea din intervalul $(0^{\circ}, 9 0^{\circ}]$ . Atunci se ia suplementul măsurii obtuze.

La ce folosesc unghiurile diedre în afara matematicii?

În construcții, unde panta unui acoperiș este chiar diedrul dintre versant și planul orizontal. În chimie, unghiurile diedre descriu poziția atomilor într-o moleculă. Iar în cartografie și navigație, ele apar la înclinarea suprafețelor față de orizontală.

Oamenii mai întreabă și: unghi diedru · unghiul dintre două plane · ce înseamnă diedru · cum se măsoară un diedru · unghiul plan al diedrului