În construcția unghiului dintre o dreaptă $$d$$ și un plan $$\alpha$$, unghiul de $$90°$$ al triunghiului folosit se află:

în piciorul perpendicularei coborâte din celălalt capăt al dreptei pe plan

nicăieri, triunghiul nu are unghi drept

Cum se află unghiul dintre dreaptă și plan?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Unghiul dintre dreaptă și plan

Se ia unghiul ascuțit dintre dreaptă și umbra ei pe plan, adică proiecția. Alegi pe dreaptă un punct $A$ situat deasupra planului și cobori din el perpendiculara, cu piciorul în $O$ ; dacă dreapta atinge planul în $B$ , unghiul căutat este $A B O$ . Triunghiul $A B O$ are unghi drept în $O$ , deci $tg φ = \frac{A O}{B O}$ . Pentru $A O = 6$ și $B O = 6$ iese $4 5^{\circ}$ .

Când o dreaptă $d$ „intră" oblic într-un plan $α$ , pare să facă unghiuri diferite cu fiecare dreaptă din plan. Ca să avem un răspuns unic, alegem proiecția dreptei pe plan — „umbra" ei — și numim unghiul dintre dreaptă și plan unghiul ascuțit dintre $d$ și proiecția ei.

Construcția: dintr-un punct $A$ de pe $d$ (deasupra planului) cobori perpendiculara pe $α$ ; piciorul ei este $O$ . Dacă $d$ atinge planul în $B$ , proiecția lui $d$ este dreapta $B O$ , iar unghiul căutat este $A B O$ . Triunghiul $A B O$ este mereu dreptunghic în $O$ , deci folosești trigonometria: $sin φ = \frac{A O}{A B}$ , $tg φ = \frac{A O}{B O}$ .

Exemplu: dacă $A O = 6$ cm și $B O = 6$ cm, atunci $tg φ = 1$ , deci $φ = 45°$ .

Reține: unghiul e mereu între $0°$ (dreaptă paralelă cu planul) și $90°$ (dreaptă perpendiculară pe plan).

De reținut

unghiul se măsoară față de proiecția dreptei pe plan
$sin φ = \frac{A O}{A B}$ , $tg φ = \frac{A O}{B O}$
$0^{\circ} \leq φ \leq 9 0^{\circ}$

Greșeala tipică

Unghiul drept este așezat în punctul unde dreapta atinge planul, deși el se află în piciorul perpendicularei. Din cauza asta ies valori peste $9 0^{\circ}$ , imposibile pentru un unghi dintre dreaptă și plan.

Exerciții din această mini-lecție

Un punct $A$ se află la distanța $A O = 53$ cm de un plan $α$ ( $O$ = proiecția lui $A$ pe plan). O dreaptă din $A$ atinge planul în $B$ , iar proiecția $B O = 5$ cm. Cât măsoară unghiul dintre dreapta $A B$ și planul $α$ ?
- a) $30°$
- b) $45°$
- c) $60°$
- d) $90°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) $60°$

Triunghiul $A B O$ este dreptunghic în $O$ . $tg φ = \frac{A O}{B O} = \frac{5 3}{5} = 3$ , deci $φ = 60°$ .
În construcția unghiului dintre o dreaptă $d$ și un plan $α$ , unghiul de $90°$ al triunghiului folosit se află:
- a) în punctul unde dreapta atinge planul
- b) în piciorul perpendicularei coborâte din celălalt capăt al dreptei pe plan
- c) la mijlocul segmentului oblic
- d) nicăieri, triunghiul nu are unghi drept
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) în piciorul perpendicularei coborâte din celălalt capăt al dreptei pe plan

Perpendiculara dusă din capătul de sus al dreptei pe plan este perpendiculară pe orice dreaptă din plan, deci și pe proiecție; unghiul drept apare exact în piciorul acestei perpendiculare, iar unghiul căutat este în punctul de contact al dreptei cu planul.
Un punct $A$ se află la distanța $A O = 7$ cm de un plan $α$ ( $O$ = proiecția lui $A$ pe plan). O dreaptă din $A$ atinge planul în $B$ , iar proiecția $B O = 7$ cm. Cât măsoară unghiul dintre dreapta $A B$ și planul $α$ ?
- a) $35°$
- b) $45°$
- c) $55°$
- d) $30°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $45°$

Triunghiul $A B O$ este dreptunghic în $O$ . $tg φ = \frac{A O}{B O} = \frac{7}{7} = 1$ , deci $φ = 45°$ .

Întrebări conexe

Ce unghi face o dreaptă perpendiculară pe plan?

Unghiul este de $9 0^{\circ}$ , valoarea maximă posibilă. Proiecția dreptei se strânge atunci într-un singur punct, așa că nu mai există o direcție cu care să se compare. Este cazul muchiei verticale a unui cub față de planul bazei.

Cum aflu unghiul dintre diagonala cubului și planul bazei?

Proiecția diagonalei mari pe bază este diagonala feței de jos, lungă de $a 2$ , iar perpendiculara este muchia verticală, de lungime $a$ . Rezultă $tg φ = \frac{a}{a 2} = \frac{2}{2}$ , deci un unghi de aproximativ $3 5^{\circ}$ , același pentru orice cub.

De ce unghiul cu proiecția este cel mai mic dintre toate?

Pentru că orice altă dreaptă din plan se îndepărtează de direcția umbrei, iar unghiul crește. Proiecția stă exact sub dreaptă, deci dă deschiderea minimă. Definiția alege tocmai acest unghi, ca răspunsul să fie unul singur, nu altul pentru fiecare dreaptă din plan.

Ce unghi face o dreaptă care se află chiar în plan?

Tot $0^{\circ}$ , fiindcă dreapta se confundă cu propria ei proiecție. Aceeași valoare se obține și pentru o dreaptă paralelă cu planul. Cazurile acestea sunt capătul de jos al intervalului în care se măsoară unghiul dintre dreaptă și plan.

Unde apare unghiul dintre dreaptă și plan într-o prismă?

Cel mai des la diagonala prismei față de planul bazei. Perpendiculara este muchia laterală, iar proiecția este diagonala bazei; cele două formează un triunghi dreptunghic în care se calculează tangenta. Aceeași construcție merge și la muchia laterală a unei piramide.

Cât e unghiul dacă perpendiculara și proiecția au aceeași lungime?

Exact $4 5^{\circ}$ , fiindcă tangenta lui iese egală cu $1$ . Triunghiul ajutător este dreptunghic isoscel, deci cele două unghiuri ascuțite sunt egale. Situația apare ori de câte ori umbra dreptei e la fel de lungă ca înălțimea la care se ridică.

Oamenii mai întreabă și: unghiul dintre o dreaptă și un plan · unghiul unei drepte cu planul · proiecția unei drepte pe plan · cum calculez unghiul dintre dreaptă și bază · unghiul diagonalei cu baza cubului