Cât măsoară un unghi înscris în cerc?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Unghiul înscris în cerc

Jumătate din arcul pe care îl cuprinde, adică arcul dintre laturile lui care nu conține vârful. La un arc de $7 0^{\circ}$ , unghiul are $3 5^{\circ}$ , iar invers arcul este dublul unghiului. De aici ies două urmări folositoare: unghiurile care privesc același arc au aceeași măsură, iar cel sprijinit pe un diametru are mereu $9 0^{\circ}$ . Unghiul din centru, pe același arc, este dublul celui înscris.

Un unghi înscris are vârful chiar pe cerc, iar laturile lui sunt două coarde. Arcul „cuprins" între laturi este cel care nu conține vârful.

Regula de aur, teorema unghiului înscris:

$m (A B C) = \frac{m ( A C )}{2}$

Adică unghiul înscris e jumătate din arc, iar arcul e dublul unghiului. Exemplu: dacă arcul are $70°$ , unghiul înscris are $35°$ .

De aici curg două reguli surori: unghiurile înscrise care „privesc" același arc sunt congruente; iar un unghi înscris care se sprijină pe un diametru este mereu drept ( $90°$ ), pentru că se sprijină pe un semicerc de $180°$ .

Și nu uita legătura cu unghiul la centru: pe același arc, unghiul la centru e dublul celui înscris.

De reținut

un unghi înscris valorează jumătate din arcul cuprins
unghiul la centru este dublul celui înscris, pe același arc
unghiul înscris sprijinit pe diametru are $9 0^{\circ}$

Greșeala tipică

Se ia arcul care conține vârful, nu pe cel din fața unghiului. Arcul cuprins este întotdeauna cel dintre laturi, de partea cealaltă a vârfului.

Exerciții din această mini-lecție

O coardă a unui cerc subîntinde un arc de $88°$ . Cât măsoară un unghi înscris care se sprijină pe acest arc?
- a) $22°$
- b) $44°$
- c) $88°$
- d) $176°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $44°$

Unghiul înscris este jumătate din arcul cuprins: $\frac{88°}{2} = 44°$ .
Într-un cerc, $[D E]$ este diametru, iar $F$ este un punct pe cerc, diferit de $D$ și $E$ . Se știe că $m (F D E) = 25°$ . Cât măsoară $m (F E D)$ ?
- a) $25°$
- b) $65°$
- c) $90°$
- d) $155°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $65°$

Unghiul $D F E$ este înscris pe diametru, deci $m (D F E) = 90°$ . În triunghiul $D E F$ , suma unghiurilor este $180°$ , deci $m (F E D) = 180° - 90° - 25° = 65°$ .
Un unghi la centru al unui cerc are măsura $14 0^{\circ}$ . Cât măsoară un unghi înscris care se sprijină pe același arc?
- a) $70°$
- b) $140°$
- c) $280°$
- d) $35°$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $70°$

Unghiul la centru are măsura arcului pe care se sprijină, adică $140°$ , iar unghiul înscris este jumătate din arc: $\frac{140°}{2} = 70°$ . Pe același arc, unghiul la centru este dublul celui înscris.

Întrebări conexe

Cum aflu unghiul înscris dacă știu unghiul la centru?

Îl împarți la doi, dacă amândouă privesc același arc. La un unghi la centru de $12 0^{\circ}$ , cel înscris are $6 0^{\circ}$ . Invers, dublând unghiul înscris afli unghiul la centru. Trebuie doar să te asiguri că amândouă se sprijină pe aceleași două puncte de pe cerc.

Ce unghi fac două coarde care pornesc din același punct?

Depinde de arcul dintre capetele lor. Dacă vârful comun este pe cerc, unghiul este înscris și valorează jumătate din arcul opus. Pentru coarde care taie un arc de $10 0^{\circ}$ , unghiul dintre ele are $5 0^{\circ}$ . Când vârful este chiar în centru, unghiul valorează cât arcul întreg.

Cum arăt cu unghiul înscris că un triunghi e dreptunghic?

Arăți că una dintre laturile lui este diametru și că al treilea vârf stă pe cerc. Arcul cuprins are atunci $18 0^{\circ}$ , deci unghiul din acel vârf primește $9 0^{\circ}$ . Metoda se folosește des la construcții și la problemele cu cercul circumscris unui triunghi dreptunghic.

Ce sumă au unghiurile opuse ale unui patrulater înscris?

Se completează până la $18 0^{\circ}$ . Fiecare unghi valorează jumătate din arcul din fața lui, iar cele două arce acoperă împreună tot cercul, adică $36 0^{\circ}$ . Jumătatea acestei sume dă exact $18 0^{\circ}$ , indiferent cum ar fi așezate vârfurile pe cerc.

Cum apare unghiul înscris într-o problemă de examen?

Apare la cerințe de aflat o măsură de unghi sau de arc, pornind de la o figură cu coarde. Alteori se cere demonstrarea unei congruențe de unghiuri, folosind că privesc același arc. Se combină des cu triunghiul isoscel format de două raze.

Ce se întâmplă dacă vârful iese din cerc?

Unghiul nu mai este înscris, iar regula jumătății nu se mai aplică direct. Pentru un vârf în afara cercului, măsura se obține din semidiferența celor două arce cuprinse. Situația aceasta se studiază mai târziu, dar merită știut că formula simplă cere vârful chiar pe cerc.

Oamenii mai întreabă și: unghiul înscris în cerc · teorema unghiului înscris · unghi înscris și unghi la centru · unghiul înscris în semicerc · cum aflu arcul din unghiul înscris