Cât e sinusul de 30°, 45° și 60°?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Valorile trigonometrice 30°, 45°, 60°

Sinusurile urcă în șirul $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{2}$ , $\frac{3}{2}$ , iar cosinusurile parcurg același șir invers. Valorile se deduc din două triunghiuri: cel dreptunghic isoscel, cu catete $1$ și ipotenuză $2$ , și jumătatea celui echilateral, cu laturile $1$ , $3$ și $2$ . Fiindcă $3 0^{\circ}$ și $6 0^{\circ}$ se completează până la $9 0^{\circ}$ , sinusul unuia este cosinusul celuilalt.

Pentru unghiurile $30°$ , $45°$ și $60°$ nu ai nevoie de calculator: valorile lor exacte se deduc din două triunghiuri cunoscute. Din triunghiul dreptunghic isoscel (catete $1$ , ipotenuză $2$ ) obții $sin 45° = cos 45° = \frac{2}{2}$ și $tg 45° = 1$ . Din jumătatea triunghiului echilateral (laturi $1$ , $3$ , $2$ ) obții restul valorilor. Reține șirul pentru sinus: $\frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}$ (crește), iar cosinusul e același șir, dar invers (scade). De exemplu, dacă ipotenuza unui triunghi dreptunghic este $10$ și un unghi are $30°$ , cateta opusă este $10 \cdot sin 30° = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$ . Ține minte relația de complementaritate: $sin 30° = cos 60°$ și $sin 60° = cos 30°$ , pentru că $30° + 60° = 90°$ .

De reținut

$sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$
cosinusul parcurge același șir în ordine inversă
$tg 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}$ , $tg 4 5^{\circ} = 1$ , $tg 6 0^{\circ} = 3$

Greșeala tipică

Se încurcă sinusul cu cosinusul la $3 0^{\circ}$ și la $6 0^{\circ}$ . Ține minte că sinusul crește odată cu unghiul, deci la $3 0^{\circ}$ are valoarea cea mai mică.

Exerciții din această mini-lecție

Cât este $sin 30° + cos 60°$ ?
- a) $0$
- b) $1$
- c) $\frac{3}{2}$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $1$

$sin 30° = \frac{1}{2}$ și $cos 60° = \frac{1}{2}$ , deci suma este $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .
Ce valoare are $tg 60°$ ?
- a) $1$
- b) $3$
- c) $\frac{3}{3}$
- d) $\frac{1}{2}$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $3$

Din tabelul valorilor trigonometrice, $tg 60° = 3$ (crește față de $tg 30° = \frac{3}{3}$ și $tg 45° = 1$ ).
Cât este $sin 45° \cdot cos 45°$ ?
- a) $\frac{1}{2}$
- b) $1$
- c) $\frac{2}{2}$
- d) $2$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $\frac{1}{2}$

$sin 45° = cos 45° = \frac{2}{2}$ , deci produsul este $\frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ .

Întrebări conexe

Cât este tangenta pentru cele trei unghiuri de bază?

Tangenta urcă de la $\frac{3}{3}$ la $1$ și apoi la $3$ , pe măsură ce unghiul crește. Cotangenta parcurge același șir în ordine inversă. Se obțin împărțind sinusul la cosinus, deci nu trebuie memorate separat dacă știi primele două rânduri.

Cum ordonez crescător sinusurile celor trei unghiuri?

Sunt deja ordonate dacă mergi de la unghiul mic spre cel mare. Numeric, $\frac{1}{2} = 0, 5$ , apoi $\frac{2}{2} \approx 0, 71$ și $\frac{3}{2} \approx 0, 87$ . Sinusul crește odată cu unghiul, iar la un unghi ascuțit rămâne mereu sub $1$ .

De ce cosinusul scade când unghiul crește?

Fiindcă, într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza fixă, cateta alipită unghiului se scurtează pe măsură ce unghiul se deschide. Raportul dintre ea și ipotenuză scade odată cu ea. Sinusul face invers, tocmai fiindcă latura din fața unghiului se alungește.

Cum verific o valoare din tabel cu relația fundamentală?

Ridici la pătrat sinusul și cosinusul aceluiași unghi și le aduni. Pentru $3 0^{\circ}$ obții $\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$ , deci valorile sunt bune. Aceeași verificare merge la toate unghiurile din tabel și prinde imediat o cifră scrisă greșit.

Ce valori au sinusul și cosinusul la 0 și la 90 de grade?

La $0^{\circ}$ sinusul este $0$ și cosinusul $1$ , iar la $9 0^{\circ}$ lucrurile se inversează. Valorile acestea nu vin dintr-un triunghi adevărat, ci din trecerea la limită, când unghiul se turtește sau se ridică de tot. La acest nivel se folosesc doar unghiurile ascuțite.

Ce fac dacă unghiul din problemă nu e printre acestea trei?

Problemele de gimnaziu sunt construite astfel încât să apară doar aceste trei valori, eventual împreună cu $9 0^{\circ}$ . Dacă îți iese alt unghi, cel mai probabil ai greșit undeva un calcul. Pentru unghiuri oarecare se folosesc tabele sau calculatorul, dar abia mai târziu.

Oamenii mai întreabă și: valorile trigonometrice pentru 30, 45 și 60 de grade · tabelul trigonometric de gimnaziu · sin 30, cos 45 și tg 60 · cât este sinusul de 60 de grade · valori pentru sin, cos și tg