Exerciții rezolvate — Descompuneri în factori (clasa a VIII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Descompuneri în factori", clasa a VIII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Descompune în factori $x^2-64$.

   • a) $(x-8)(x+8)$
   • b) $(x-8{)}^2$
   • c) $(x+8{)}^2$
   • d) nu se poate descompune
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $(x-8)(x+8)$

   $x^2$ și $64=8^2$ sunt pătrate perfecte legate prin minus, deci $a=x$, $b=8$. Aplicăm formula: $x^2-64=(x-8)(x+8)$.

   Lecția: Descompunerea folosind formula diferenței de pătrate a² − b² →

2. Care este factorul comun al expresiei $8x^3+12x^2$?

   • a) $4x^2$
   • b) $4x^3$
   • c) $8x^2$
   • d) $2x$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $4x^2$

   C.m.m.d.c.$(8,12)=4$, iar $x$ apare la exponenții $3$ și $2$, deci luăm exponentul minim, $x^2$. Factorul comun este $4x^2$, iar descompunerea este $8x^3+12x^2=4x^2(2x+3)$.

   Lecția: Descompunerea în factori prin scoaterea factorului comun →

3. Descompune în factori: $E=4x+4y+cx+cy$.

   • a) $(x+y)(4+c)$
   • b) $4(x+y+c)$
   • c) $(x+c)(4+y)$
   • d) $(4x+c)(y)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $(x+y)(4+c)$

   Grupăm $(4x+4y)+(cx+cy)=4(x+y)+c(x+y)$. Apare aceeași paranteză $(x+y)$, deci $E=(x+y)(4+c)$.

   Lecția: Descompunerea în factori prin gruparea termenilor →

4. Descompune trinomul $x^2-14x+49$.

   • a) $(x-7{)}^2$
   • b) $(x+7{)}^2$
   • c) $(x-7)(x+7)$
   • d) nu este trinom pătrat perfect
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $(x-7{)}^2$

   Pătratele sunt $x^2$ ($a=x$) și $49=7^2$ ($b=7$). Termenul de control $2ab=2\cdot x\cdot 7=14x$ se potrivește cu mijlocul, iar semnul este minus, deci $x^2-14x+49=(x-7{)}^2$.

   Lecția: Descompunerea folosind formulele (a±b)²: pătratul unei sume și al unei diferențe →

5. Descompune în factori: $x^2+2x-15$.

   • a) $(x+5)(x-3)$
   • b) $(x-5)(x+3)$
   • c) $(x+15)(x-1)$
   • d) $(x-15)(x+1)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $(x+5)(x-3)$

   Caut $m\cdot n=-15$ și $m+n=2$: perechea potrivită este $(5,-3)$, deci $x^2+2x-15=(x+5)(x-3)$. Verificare: $(x+5)(x-3)=x^2-3x+5x-15=x^2+2x-15$ ✓.

   Lecția: Descompuneri combinate și aplicații (inclusiv ecuații ax² + bx + c = 0) →

6. Descompune complet expresia $3x^2-48$.

   • a) $3(x-4)(x+4)$
   • b) $3(x-16)(x+16)$
   • c) $(3x-4)(3x+4)$
   • d) $3(x^2-16)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $3(x-4)(x+4)$

   Scoatem întâi factorul comun $3$: $3x^2-48=3(x^2-16)$. Cum $16=4^2$, avem $a=x$, $b=4$, deci $x^2-16=(x-4)(x+4)$. Forma completă este $3(x-4)(x+4)$; varianta d) se oprește prea devreme, fără a aplica formula.

   Lecția: Descompunerea folosind formula diferenței de pătrate a² − b² →

7. Descompune $9a^{2}b-6a{b}^2$ scoțând factorul comun. Care este rezultatul corect?

   • a) $3ab(3a-2b)$
   • b) $3a(3ab-2b^2)$
   • c) $ab(9a-6b)$
   • d) $3ab(3a+2b)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $3ab(3a-2b)$

   C.m.m.d.c.$(9,6)=3$; litera $a$ apare la exponenții $2$ și $1$ → $a$; litera $b$ apare la exponenții $1$ și $2$ → $b$. Factor comun: $3ab$. Împărțind: $9a^{2}b:3ab=3a$ și $6a{b}^2:3ab=2b$, deci $9a^{2}b-6a{b}^2=3ab(3a-2b)$.

   Lecția: Descompunerea în factori prin scoaterea factorului comun →

8. Descompune în factori, cu atenție la semn: $E=pm-pn-qm+qn$.

   • a) $(m-n)(p+q)$
   • b) $(m-n)(p-q)$
   • c) $(m+n)(p-q)$
   • d) $(p-n)(m-q)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $(m-n)(p-q)$

   Grupăm $(pm-pn)+(-qm+qn)=p(m-n)-q(m-n)$. Din al doilea grup scoatem $-q$ (nu $+q$), ca să obținem aceeași paranteză $(m-n)$. Rezultă $(m-n)(p-q)$.

   Lecția: Descompunerea în factori prin gruparea termenilor →

9. Care dintre următoarele expresii este trinom pătrat perfect?

   • a) $x^2+8x+15$
   • b) $x^2+8x+16$
   • c) $x^2+8x-16$
   • d) $x^2+9x+16$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $x^2+8x+16$

   Pentru $x^2+8x+16$: $a=x$, $b=4$ (din $16=4^2$), control $2\cdot x\cdot 4=8x$ — se potrivește perfect, deci $(x+4{)}^2$. Celelalte pică: la (a) $15$ nu e pătrat, la (c) ultimul termen e negativ, la (d) $9x\ne 8x$.

   Lecția: Descompunerea folosind formulele (a±b)²: pătratul unei sume și al unei diferențe →

10. Câte soluții reale are ecuația $(x-4{)}^2=0$?

    • a) Niciuna
    • b) O singură soluție
    • c) Două soluții distincte
    • d) Infinit de multe
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) O singură soluție

    $(x-4{)}^2=0$ înseamnă $(x-4)(x-4)=0$, adică ambii factori sunt identici. Regula produsului nul dă un singur factor distinct de gradul I, deci o singură soluție: $x=4$.

    Lecția: Descompuneri combinate și aplicații (inclusiv ecuații ax² + bx + c = 0) →

11. Descompune în factori $9x^2-25$.

    • a) $(3x-5)(3x+5)$
    • b) $(3x-5{)}^2$
    • c) $(3x+5{)}^2$
    • d) nu se poate descompune
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $(3x-5)(3x+5)$

    $9x^2=(3x{)}^2$ și $25=5^2$ sunt pătrate perfecte legate prin minus, deci $a=3x$, $b=5$. Aplicăm formula: $9x^2-25=(3x-5)(3x+5)$.

    Lecția: Descompunerea folosind formula diferenței de pătrate a² − b² →

12. Care este factorul comun cel mai mare al expresiei $12x^4-18x^3$?

    • a) $6x^3$
    • b) $6x^4$
    • c) $12x^3$
    • d) $3x^2$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $6x^3$

    C.m.m.d.c.$(12,18)=6$, iar $x$ apare la exponenții $4$ și $3$, deci luăm exponentul minim, $x^3$. Factorul comun cel mai mare este $6x^3$, iar descompunerea este $12x^4-18x^3=6x^3(2x-3)$. Atenție: $3x^2$ (varianta d) chiar este un factor comun, dar nu cel mai mare — după scoaterea lui, în paranteză ar rămâne $4x^2-6x$, care încă se poate descompune.

    Lecția: Descompunerea în factori prin scoaterea factorului comun →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.