Exerciții rezolvate — Ecuații de forma ax² + bx + c = 0 (clasa a VIII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Ecuații de forma ax² + bx + c = 0", clasa a VIII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Se dă ecuația $-3x^2+5x-8=0$. Care sunt coeficienții $a$, $b$, $c$?

   • a) $a=3,b=5,c=8$
   • b) $a=-3,b=5,c=-8$
   • c) $a=-3,b=-5,c=8$
   • d) $a=5,b=-3,c=-8$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $a=-3,b=5,c=-8$

   Comparăm cu forma generală $a{x}^2+bx+c=0$ și citim coeficienții cu tot cu semn: în fața lui $x^2$ este $-3$, în fața lui $x$ este $5$, iar termenul liber este $-8$. Deci $a=-3,b=5,c=-8$.

   Lecția: Ecuația de forma ax² + bx + c = 0. Principiul produsului nul →

2. Care este soluția ecuației $x^2-16x+64=0$, rezolvată prin recunoașterea pătratului perfect?

   • a) $x=8$ (soluție dublă)
   • b) $x=-8$ (soluție dublă)
   • c) $x=8$ sau $x=-8$
   • d) $x=4$ (soluție dublă)
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $x=8$ (soluție dublă)

   $64=8^2$ și $2\cdot x\cdot 8=16x$, deci $x^2-16x+64=(x-8{)}^2$. Ecuația devine $(x-8{)}^2=0$, adică $x-8=0$, deci $x=8$, soluție dublă.

   Lecția: Ecuația completă ax² + bx + c = 0. Rezolvare prin descompunere în factori →

3. Care este mulțimea soluțiilor ecuației $x^2-7x=0$?

   • a) $S=\{0,7\}$
   • b) $S=\{7\}$
   • c) $S=\{0\}$
   • d) $S=\{-7,0\}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $S=\{0,7\}$

   $x^2-7x=x(x-7)=0\Rightarrow x=0$ sau $x-7=0\Rightarrow x=7$. Deci $S=\{0,7\}$.

   Lecția: Ecuații de forma ax² + bx = 0. Rezolvare prin factor comun →

4. Câte soluții reale are ecuația $x^2+25=0$?

   • a) Două soluții opuse
   • b) O singură soluție, $x=0$
   • c) Nicio soluție reală
   • d) Infinit de multe soluții
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) Nicio soluție reală

   Din ecuație obținem $x^2=-25$, adică un pătrat egal cu un număr negativ, ceea ce este imposibil în $\mathbb{R}$. Deci $S=\varnothing$.

   Lecția: Ecuații de forma ax² + c = 0 și ax² − b² = 0 →

5. Produsul a două numere naturale consecutive este $72$. Care sunt numerele?

   • a) $7$ și $8$
   • b) $8$ și $9$
   • c) $9$ și $10$
   • d) $6$ și $12$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $8$ și $9$

   Fie $x$ primul număr: $x(x+1)=72\Rightarrow x^2+x-72=0\Rightarrow (x-8)(x+9)=0$, deci $x=8$ sau $x=-9$. Cum $x$ e natural, se elimină $-9$. Numerele sunt $8$ și $9$ ($8\cdot 9=72$).

   Lecția: Probleme care se rezolvă cu ecuații de forma ax² + bx + c = 0 →

6. Rezolvă ecuația $(x-6)(x+2)=0$ folosind principiul produsului nul. Care este mulțimea soluțiilor $S$?

   • a) $S=\{6,-2\}$
   • b) $S=\{-6,2\}$
   • c) $S=\{6,2\}$
   • d) $S=\{-6,-2\}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $S=\{6,-2\}$

   Produsul este zero, deci $x-6=0$ sau $x+2=0$. Din prima obținem $x=6$, din a doua $x=-2$. Deci $S=\{6,-2\}$.

   Lecția: Ecuația de forma ax² + bx + c = 0. Principiul produsului nul →

7. Descompune în factori membrul stâng al ecuației $x^2+8x+15=0$, căutând două numere $m$ și $n$ cu $m+n=8$ și $m\cdot n=15$.

   • a) $(x+3)(x+5)$
   • b) $(x+15)(x+1)$
   • c) $(x-3)(x-5)$
   • d) $(x+4)(x+4)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $(x+3)(x+5)$

   Căutăm $m+n=8$ și $m\cdot n=15$: perechea $3$ și $5$ merge, pentru că $3+5=8$ și $3\cdot 5=15$. Deci $x^2+8x+15=(x+3)(x+5)$.

   Lecția: Ecuația completă ax² + bx + c = 0. Rezolvare prin descompunere în factori →

8. Un elev rezolvă $2x^2-6x=0$ astfel: „împart cu $x$, deci $2x-6=0$, $x=3$, $S=\{3\}$”. Ce a greșit?

   • a) Nimic, rezolvarea e corectă
   • b) A împărțit cu $x$, care poate fi $0$, și a pierdut soluția $x=0$
   • c) A greșit factorul comun, corect era $3x$
   • d) Soluția $x=3$ este greșită, corect este $x=-3$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) A împărțit cu $x$, care poate fi $0$, și a pierdut soluția $x=0$

   Nu ai voie să împarți o ecuație cu o expresie care poate fi zero. Corect: $x(2x-6)=0\Rightarrow x=0$ sau $x=3$, deci $S=\{0,3\}$.

   Lecția: Ecuații de forma ax² + bx = 0. Rezolvare prin factor comun →

9. Descompunând $16x^2-9=0$ ca diferență de pătrate, obții $(4x-3)(4x+3)=0$. Care este mulțimea soluțiilor?

   • a) $S=\left\{-\frac{3}{4};\frac{3}{4}\right\}$
   • b) $S=\{-3;3\}$
   • c) $S=\{0\}$
   • d) $S=\varnothing$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $S=\left\{-\frac{3}{4};\frac{3}{4}\right\}$

   Din produsul nul: $4x-3=0\Rightarrow x=\frac{3}{4}$, iar $4x+3=0\Rightarrow x=-\frac{3}{4}$. Soluțiile sunt opuse, deci $S=\left\{-\frac{3}{4};\frac{3}{4}\right\}$.

   Lecția: Ecuații de forma ax² + c = 0 și ax² − b² = 0 →

10. Suma dintre un număr întreg și pătratul său este $42$. Ecuația devine $x^2+x-42=0$, cu soluțiile $x=6$ și $x=-7$. Care soluții reprezintă răspunsuri corecte la problemă?

    • a) doar $x=6$
    • b) doar $x=-7$
    • c) ambele, $x=6$ și $x=-7$
    • d) niciuna, ecuația nu are soluții valide
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) ambele, $x=6$ și $x=-7$

    Enunțul cere doar un număr întreg, fără restricția de a fi pozitiv (nu e o lungime, o arie sau un număr de obiecte), deci ambele soluții sunt valabile: $6+6^2=42$ și $-7+(-7{)}^2=42$.

    Lecția: Probleme care se rezolvă cu ecuații de forma ax² + bx + c = 0 →

11. Se dă ecuația $-5x^2-3x+10=0$. Care sunt coeficienții $a$, $b$, $c$?

    • a) $a=5,b=3,c=10$
    • b) $a=-5,b=3,c=-10$
    • c) $a=-5,b=-3,c=10$
    • d) $a=-5,b=-3,c=-10$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $a=-5,b=-3,c=10$

    Comparăm cu $a{x}^2+bx+c=0$ și citim coeficienții cu tot cu semn: $a=-5$, $b=-3$, $c=10$.

    Lecția: Ecuația de forma ax² + bx + c = 0. Principiul produsului nul →

12. Care este soluția ecuației $x^2+20x+100=0$, rezolvată prin recunoașterea pătratului perfect?

    • a) $x=10$ (soluție dublă)
    • b) $x=-10$ (soluție dublă)
    • c) $x=-10$ sau $x=10$
    • d) $x=-20$ (soluție dublă)
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $x=-10$ (soluție dublă)

    $100=10^2$ și $2\cdot x\cdot 10=20x$, deci $x^2+20x+100=(x+10{)}^2$. Ecuația devine $(x+10{)}^2=0$, adică $x=-10$, soluție dublă.

    Lecția: Ecuația completă ax² + bx + c = 0. Rezolvare prin descompunere în factori →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.