Exerciții rezolvate — Funcția radical și funcții obținute prin operații (clasa a IX-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Funcția radical și funcții obținute prin operații", clasa a IX-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Determinați domeniul de definiție al funcției $h(x)=\frac{x-6}{x+3}$.

   • a) $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$
   • b) $\mathbb{R}\setminus \{6\}$
   • c) $\mathbb{R}\setminus \{3\}$
   • d) $\mathbb{R}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\mathbb{R}\setminus \{-3\}$

   Valoarea interzisă se obține din numitor: $x+3=0$, deci $x=-3$. Domeniul este $D=\mathbb{R}\setminus \{-3\}$.

   Lecția: Câtul a două funcții: domeniu și comportament →

2. Ce se întâmplă cu valorile funcției $f(x)=\frac{3}{x-4}$ când $x$ se apropie de $4$ dinspre dreapta?

   • a) cresc peste orice prag (spre $+\infty$)
   • b) scad sub orice prag
   • c) se apropie de $0$
   • d) rămân constante
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) cresc peste orice prag (spre $+\infty$)

   Pentru $x>4$ apropiat de $4$, numitorul $x-4$ este pozitiv și oricât de mic, deci fracția $\frac{3}{x-4}$ devine oricât de mare: de exemplu $f(4,001)=3000$. Valorile cresc peste orice prag.

   Lecția: Comportament asimptotic citit pe grafic →

3. Determinați domeniul de definiție al funcției $f(x)=\sqrt{3x-12}$.

   • a) $[4,\infty )$
   • b) $(4,\infty )$
   • c) $(-\infty ,4]$
   • d) $[-4,\infty )$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $[4,\infty )$

   Condiția este $3x-12\ge 0$, adică $3x\ge 12$, deci $x\ge 4$ (împărțim la $3>0$, sensul se păstrează). Capătul $4$ se include, pentru că $\sqrt{0}=0$ există. Domeniul este $D=[4,\infty )$.

   Lecția: Domeniul de definiție al unei funcții cu radical →

4. Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{2x+3}=x$.

   • a) $x=3$
   • b) $x=-1$
   • c) $x\in \{3,-1\}$
   • d) ecuația nu are soluție
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $x=3$

   Echivalența cere $x\ge 0$ și $2x+3=x^2$, adică $x^2-2x-3=0$, cu soluțiile $3$ și $-1$. Condiția $x\ge 0$ elimină $-1$ (soluție străină). Verificare: $\sqrt{9}=3$.

   Lecția: Ecuații și inecuații cu radicali →

5. Ce se poate spune despre funcția $f(x)=x^7$?

   • a) este impară și strict crescătoare pe $\mathbb{R}$
   • b) este pară și strict crescătoare pe $[0,\infty )$
   • c) este impară și strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$
   • d) este pară pe $\mathbb{R}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) este impară și strict crescătoare pe $\mathbb{R}$

   Exponentul $7$ este impar, deci $f(-x)=-f(x)$ (funcție impară) și, din identitatea de factorizare, $f$ este strict crescătoare pe tot $\mathbb{R}$.

   Lecția: Funcția putere cu exponent întreg →

6. Care este domeniul de definiție al funcției $f(x)=\sqrt[3]{x}$?

   • a) $\mathbb{R}$
   • b) $[0,+\infty )$
   • c) $(0,+\infty )$
   • d) $\mathbb{R}\setminus \{0\}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\mathbb{R}$

   Ridicarea la cub păstrează semnul, deci orice număr real are un radical de ordinul 3; funcția este definită pe tot $\mathbb{R}$, spre deosebire de radicalul de ordinul 2.

   Lecția: Funcția radical de ordinul 3 →

7. Fie $f(x)=x-2$ și $g(x)=x-8$. Care sunt zerourile funcției $h=f\cdot g$?

   • a) $2$ și $8$
   • b) $-2$ și $-8$
   • c) $2$ și $-8$
   • d) doar $2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $2$ și $8$

   Zerourile produsului sunt exact zerourile factorilor: $f(x)=0$ dă $x=2$, iar $g(x)=0$ dă $x=8$. Deci $h$ se anulează în $2$ și în $8$.

   Lecția: Produsul a două funcții afine și graficul lui →

8. Scoțând factorii de sub radical (ca produs de pătrate perfecte, ca în lecție), cât este $\sqrt{72}$?

   • a) $6\sqrt{2}$
   • b) $8\sqrt{3}$
   • c) $3\sqrt{8}$
   • d) $36\sqrt{2}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $6\sqrt{2}$

   Descompunem $72=2^2\cdot 3^2\cdot 2$, deci $\sqrt{72}=\sqrt{2^2\cdot 3^2\cdot 2}=2\cdot 3\cdot \sqrt{2}=6\sqrt{2}$.

   Lecția: Radicali: proprietăți, operații și expresii conjugate →

9. Determinați zeroul funcției $h(x)=\frac{2x+8}{x-5}$.

   • a) $x=-4$
   • b) $x=5$
   • c) $x=4$
   • d) $x=-5$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $x=-4$

   Zeroul câtului vine din numărător: $2x+8=0$, deci $x=-4$. Cum $-4\ne 5$, valoarea aparține domeniului, deci este singurul zero al lui $h$.

   Lecția: Câtul a două funcții: domeniu și comportament →

10. Funcția $f(x)=\frac{2x-1}{x-3}$ se poate rescrie $f(x)=2+\frac{5}{x-3}$. Care este asimptota orizontală a graficului?

    • a) $y=2$
    • b) $y=5$
    • c) $y=3$
    • d) $y=-1$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $y=2$

    Când $x$ crește sau scade mult, termenul $\frac{5}{x-3}$ devine oricât de mic, deci valorile lui $f$ se apropie de $2$. Asimptota orizontală este $y=2$ (asimptota verticală fiind $x=3$).

    Lecția: Comportament asimptotic citit pe grafic →

11. Determinați domeniul de definiție al funcției $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x-8}}$.

    • a) $[4,\infty )$
    • b) $(4,\infty )$
    • c) $(-\infty ,4)$
    • d) $\mathbb{R}\setminus \{4\}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $(4,\infty )$

    Radicalul stă la numitor, deci condiția este strictă: $2x-8>0$, adică $x>4$. Domeniul este $D=(4,\infty )$, cu capătul $4$ exclus, pentru că acolo numitorul ar fi $\sqrt{0}=0$.

    Lecția: Domeniul de definiție al unei funcții cu radical →

12. La rezolvarea ecuației $\sqrt{x+7}=x-5$ se obțin, din ecuația de gradul al doilea, valorile $x=9$ și $x=2$. Care este soluția străină?

    • a) $x=2$
    • b) $x=9$
    • c) $x=-2$
    • d) nu există soluție străină
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $x=2$

    Condiția de semn este $x-5\ge 0$, adică $x\ge 5$, care exclude $x=2$: $\sqrt{2+7}=3$, dar $2-5=-3\ne 3$. Rămâne $x=9$: $\sqrt{16}=4=9-5$.

    Lecția: Ecuații și inecuații cu radicali →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.