Exerciții rezolvate — Inecuații în ℝ (clasa a VIII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Inecuații în ℝ", clasa a VIII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $2(x+3)-(x-1)\ge 10$. Care este soluția?

   • a) $S=[3,+\infty )$
   • b) $S=(-\infty ,3]$
   • c) $S=(3,+\infty )$
   • d) $S=(-\infty ,3)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $S=[3,+\infty )$

   Desfacem: $2x+6-x+1\ge 10\Rightarrow x+7\ge 10\Rightarrow x\ge 3$. Coeficientul lui $x$ este pozitiv, sensul rămâne, iar $\ge$ dă capăt închis: $S=[3,+\infty )$.

   Lecția: Inecuații cu paranteze și numitori. Reducerea la forma ax + b →

2. Scrie mulțimea soluțiilor inecuației $x\ge 6$ sub formă de interval.

   • a) $(6,+\infty )$
   • b) $[6,+\infty )$
   • c) $(-\infty ,6]$
   • d) $(-\infty ,6)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $[6,+\infty )$

   Semnul $\ge$ conține egalul, deci $6$ este soluție: capăt închis, paranteză dreaptă, cerc plin. Direcția "mai mare sau egal" merge spre $+\infty$, deci $S=[6,+\infty )$.

   Lecția: Mulțimea soluțiilor unei inecuații. Reprezentare pe axă și ca interval →

3. Care dintre următoarele este o inecuație de gradul I?

   • a) $x^2+4<0$
   • b) $6x-1=5$
   • c) $-2x+7\ge 0$
   • d) $\frac{4}{x}\le 3$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $-2x+7\ge 0$

   La a) apare $x^2$ (grad 2), la b) este semnul $=$ (ecuație), la d) necunoscuta e la numitor. Doar c) are forma $ax+b\ge 0$ cu $a=-2\ne 0$ și $b=7$, deci este singura inecuație de gradul I.

   Lecția: Ce este o inecuație de gradul I. Forma ax + b ≥ 0 (≤, <, >) →

4. Scrie sub formă de inecuație și rezolvă: „un număr $x$ mărit cu 9 este cel puțin 15”. Care este mulțimea soluțiilor?

   • a) $x\ge 6$
   • b) $x>6$
   • c) $x\le 6$
   • d) $x\ge 24$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $x\ge 6$

   „Mărit cu 9” înseamnă $x+9$, iar „cel puțin 15” înseamnă $\ge 15$: $x+9\ge 15\Rightarrow x\ge 6$. Fiind „cel puțin”, valoarea 6 este inclusă, deci semnul este $\ge$, nu $>$.

   Lecția: Probleme care se rezolvă cu ajutorul inecuațiilor →

5. Care este mulțimea soluțiilor inecuației $3x-9>0$, în $\mathbb{R}$?

   • a) $(3,+\infty )$
   • b) $(-\infty ,3)$
   • c) $[3,+\infty )$
   • d) $(-\infty ,3]$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $(3,+\infty )$

   Adun $9$: $3x>9$. Împart la $3>0$, sensul se păstrează: $x>3$, deci $S=(3,+\infty )$, cu paranteză rotundă pentru că $3$ este exclus.

   Lecția: Rezolvarea inecuațiilor prin transformări echivalente →

6. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $\frac{x-2}{3}+\frac{x+1}{2}<4$. Care este soluția?

   • a) $S=(-\infty ,5)$
   • b) $S=[5,+\infty )$
   • c) $S=(-\infty ,5]$
   • d) $S=(5,+\infty )$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $S=(-\infty ,5)$

   C.m.m.m.c.$(3,2)=6$. Înmulțim cu $6$ (pozitiv, sensul rămâne): $2(x-2)+3(x+1)<24\Rightarrow 2x-4+3x+3<24\Rightarrow 5x-1<24\Rightarrow x<5$. Capăt deschis: $S=(-\infty ,5)$.

   Lecția: Inecuații cu paranteze și numitori. Reducerea la forma ax + b →

7. Pe o axă, la capătul $-5$ este desenat un cerc gol, iar colorarea merge spre stânga. Ce inecuație corespunde acestui desen?

   • a) $x\ge -5$
   • b) $x>-5$
   • c) $x\le -5$
   • d) $x<-5$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: d) $x<-5$

   Cerc gol la $-5$ înseamnă capăt exclus, deci semn strict. Colorarea spre stânga înseamnă "mai mic". Combinând cele două: $x<-5$.

   Lecția: Mulțimea soluțiilor unei inecuații. Reprezentare pe axă și ca interval →

8. Se dă inecuația $-5x+9<0$. Care sunt corect coeficientul $a$ și termenul liber $b$?

   • a) $a=-5,b=9$
   • b) $a=5,b=9$
   • c) $a=-5,b=-9$
   • d) $a=9,b=-5$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $a=-5,b=9$

   În forma $ax+b$, $a$ este coeficientul lui $x$ (numărul din fața lui $x$, cu semn cu tot), iar $b$ este termenul liber. Aici $x$ este înmulțit cu $-5$, iar termenul liber este $9$, deci $a=-5$ și $b=9$.

   Lecția: Ce este o inecuație de gradul I. Forma ax + b ≥ 0 (≤, <, >) →

9. Scrie sub formă de inecuație și rezolvă: „dacă din triplul unui număr $x$ scădem 5, obținem un rezultat mai mic decât 19”. Care este mulțimea soluțiilor?

   • a) $x<8$
   • b) $x\le 8$
   • c) $x>8$
   • d) $x<24$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $x<8$

   „Triplul lui $x$, din care scădem 5” înseamnă $3x-5$, iar „mai mic decât 19” înseamnă $<19$ (fără egal): $3x-5<19\Rightarrow 3x<24\Rightarrow x<8$. Nu te opri la $3x<24$ — mai trebuie împărțit la 3. Fiind „mai mic decât” (strict), semnul rămâne $<$, nu $\le$.

   Lecția: Probleme care se rezolvă cu ajutorul inecuațiilor →

10. La rezolvarea inecuației $-5x+10\ge 0$, ultimul pas este împărțirea ambilor membri la $-5$. Ce se întâmplă cu sensul inegalității și care e soluția?

    • a) Sensul se păstrează, $x\ge -2$
    • b) Sensul se schimbă, $x\le 2$
    • c) Sensul se schimbă, $x\ge 2$
    • d) Sensul se păstrează, $x\le 2$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) Sensul se schimbă, $x\le 2$

    Scad $10$: $-5x\ge -10$. Împart la $-5<0$, deci sensul se schimbă din $\ge$ în $\le$: $x\le 2$.

    Lecția: Rezolvarea inecuațiilor prin transformări echivalente →

11. Rezolvă în $\mathbb{R}$: $3(x-1)-2(x-4)\le 12$. Care este soluția?

    • a) $S=(-\infty ,7]$
    • b) $S=[7,+\infty )$
    • c) $S=(-\infty ,7)$
    • d) $S=(7,+\infty )$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $S=(-\infty ,7]$

    Desfacem: $3x-3-2x+8\le 12\Rightarrow x+5\le 12\Rightarrow x\le 7$. Coeficientul lui $x$ este pozitiv, sensul rămâne, iar $\le$ dă capăt închis: $S=(-\infty ,7]$.

    Lecția: Inecuații cu paranteze și numitori. Reducerea la forma ax + b →

12. Scrie mulțimea soluțiilor inecuației $x<-2$ sub formă de interval.

    • a) $(-\infty ,-2)$
    • b) $(-\infty ,-2]$
    • c) $(-2,+\infty )$
    • d) $[-2,+\infty )$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $(-\infty ,-2)$

    Semnul $<$ este strict, deci $-2$ nu este soluție: capăt deschis, paranteză rotundă, cerc gol. Direcția „mai mic” merge spre $-\infty$, deci $S=(-\infty ,-2)$.

    Lecția: Mulțimea soluțiilor unei inecuații. Reprezentare pe axă și ca interval →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.