Exerciții rezolvate — Mulțimea numerelor reale ℝ (clasa a VII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Mulțimea numerelor reale ℝ", clasa a VII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Compară $2,2$ cu $\sqrt{5}$, folosind ridicarea la pătrat.

   • a) $2,2<\sqrt{5}$
   • b) $2,2>\sqrt{5}$
   • c) $2,2=\sqrt{5}$
   • d) Nu se poate stabili fără calculator
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $2,2<\sqrt{5}$

   Ambele numere sunt pozitive, deci ridicăm la pătrat: $2,2^2=4,84$ și $(\sqrt{5}{)}^2=5$. Cum $4,84<5$, rezultă $2,2<\sqrt{5}$.

   Lecția: Compararea și ordonarea numerelor reale →

2. Care este distanța de la origine până la punctul $-15$ de pe axa numerelor?

   • a) $15$
   • b) $-15$
   • c) $0$
   • d) $30$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $15$

   Distanța este modulul: $|-15|=15$. Punctul $-15$ se află la $15$ unități în stânga originii, iar o distanță este mereu pozitivă.

   Lecția: Modulul ca distanță pe axa numerelor →

3. Cât este $|-23|$?

   • a) $-23$
   • b) $23$
   • c) $0$
   • d) $46$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $23$

   Numărul $-23$ este negativ, deci modulul lui este opusul său: $|-23|=-(-23)=23$. Modulul nu poate fi niciodată negativ.

   Lecția: Modulul (valoarea absolută) al unui număr real. Definiție și proprietăți →

4. Care este cea mai mică submulțime din care face parte numărul $-20$?

   • a) $\mathbb{N}$
   • b) $\mathbb{Z}$
   • c) $\mathbb{Q}$
   • d) $\mathbb{R}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\mathbb{Z}$

   $-20$ este un număr întreg negativ, deci nu poate fi natural. Cel mai mic loc unde se încadrează este $\mathbb{Z}$, mulțimea numerelor întregi.

   Lecția: Mulțimea numerelor reale ℝ. Incluziunile ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ →

5. Care dintre următoarele numere este irațional?

   • a) $\sqrt{121}$
   • b) $\sqrt{11}$
   • c) $0,(45)$
   • d) $\frac{3}{7}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $\sqrt{11}$

   $11$ nu este pătrat perfect (e între $9=3^2$ și $16=4^2$), deci $\sqrt{11}$ nu iese întreg și nici fracție — este irațional. Celelalte sunt raționale: $\sqrt{121}=11$ (natural), $0,(45)$ e periodică, iar $\frac{3}{7}$ e deja o fracție de întregi.

   Lecția: Numere iraționale. Exemple și recunoaștere →

6. Între ce două numere întregi consecutive se află $\sqrt{13}$?

   • a) Între $2$ și $3$
   • b) Între $3$ și $4$
   • c) Între $4$ și $5$
   • d) Între $1$ și $2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Între $3$ și $4$

   $3^2=9$ și $4^2=16$, iar $9<13<16$, deci $3<\sqrt{13}<4$.

   Lecția: Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor prin aproximări →

7. Compară $2\sqrt{6}$ cu $3\sqrt{3}$, introducând coeficientul sub radical.

   • a) $2\sqrt{6}<3\sqrt{3}$
   • b) $2\sqrt{6}>3\sqrt{3}$
   • c) $2\sqrt{6}=3\sqrt{3}$
   • d) Depinde de valoarea aproximativă folosită
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $2\sqrt{6}<3\sqrt{3}$

   Introducem sub radical: $2\sqrt{6}=\sqrt{4\cdot 6}=\sqrt{24}$ și $3\sqrt{3}=\sqrt{9\cdot 3}=\sqrt{27}$. Cum $24<27$, rezultă $\sqrt{24}<\sqrt{27}$, adică $2\sqrt{6}<3\sqrt{3}$.

   Lecția: Compararea și ordonarea numerelor reale →

8. Câte soluții are ecuația $|x|=9$ și care sunt ele?

   • a) O singură soluție, $x=9$
   • b) Două soluții, $x=9$ și $x=-9$
   • c) O singură soluție, $x=-9$
   • d) Nicio soluție
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Două soluții, $x=9$ și $x=-9$

   Numerele $9$ și $-9$ sunt simetrice față de origine și amândouă sunt la distanța $9$ de $0$, deci ambele verifică $|x|=9$.

   Lecția: Modulul ca distanță pe axa numerelor →

9. Câte soluții are ecuația $|x|=-7$?

   • a) O singură soluție
   • b) Două soluții
   • c) Nicio soluție
   • d) Infinit de multe soluții
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) Nicio soluție

   Modulul este întotdeauna $\ge 0$, deci nu poate fi egal cu $-7$. Ecuația nu are nicio soluție reală: $x\in \varnothing$.

   Lecția: Modulul (valoarea absolută) al unui număr real. Definiție și proprietăți →

10. Care dintre următoarele scrieri este corectă?

    • a) $5\subset \mathbb{N}$
    • b) $\mathbb{N}\in \mathbb{Z}$
    • c) $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$
    • d) $\mathbb{Q}\subset \mathbb{N}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$

    $\sqrt{3}$ este irațional (zecimală infinită neperiodică), deci nu aparține lui $\mathbb{Q}$: $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$ este corect. Celelalte greșesc simbolul: un număr nu poate sta lângă $\subset$ (a), o mulțime nu poate sta lângă $\in$ (b), iar incluziunea din (d) e inversată.

    Lecția: Mulțimea numerelor reale ℝ. Incluziunile ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ →

11. Numărul $0,30400400040000\dots$ (după fiecare cifră $4$ apare tot mai multe zerouri) este:

    • a) Rațional, pentru că pare să aibă un tipar clar
    • b) Irațional, deoarece nu există un grup fix de cifre care să se repete identic
    • c) Număr natural
    • d) Nu se poate stabili niciodată
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) Irațional, deoarece nu există un grup fix de cifre care să se repete identic

    Deși pare să aibă o regulă, numărul de zerouri crește mereu, deci nu există o perioadă fixă care se repetă identic. Zecimala este infinită și neperiodică ⟹ numărul este irațional, exact ca în capcana din lecție cu $0,1010010001\dots$

    Lecția: Numere iraționale. Exemple și recunoaștere →

12. De ce spunem că axa numerelor reale este «plină», fără găuri?

    • a) Pentru că toate numerele de pe axă sunt raționale
    • b) Pentru că numerele iraționale ocupă exact punctele rămase libere de la numerele raționale
    • c) Pentru că unitatea de măsură este mereu $1$ cm
    • d) Pentru că pe axă nu există numere negative
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) Pentru că numerele iraționale ocupă exact punctele rămase libere de la numerele raționale

    Numerele raționale singure ar lăsa goluri pe axă (de exemplu în dreptul lui $\sqrt{2}$); numerele iraționale, găsite prin aproximări, astupă exact aceste goluri, astfel încât fiecărui punct îi corespunde un număr real.

    Lecția: Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor prin aproximări →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.