Exerciții rezolvate — Prisma, paralelipipedul dreptunghic și cubul (clasa a VIII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Prisma, paralelipipedul dreptunghic și cubul", clasa a VIII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. O prismă hexagonală regulată are latura bazei $l=8$ cm. Cât este aria bazei $A_{baz\breve{a}}$, în formă exactă?

   • a) $96\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$
   • b) $48\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$
   • c) $192\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$
   • d) $24\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $96\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$

   Pentru hexagon regulat, $A_{baz\breve{a}}=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2}=\frac{3\cdot 8^2\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{192\sqrt{3}}{2}=96\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$ (adică 6 triunghiuri echilaterale de latură 8).

   Lecția: Aria laterală, aria totală și volumul prismei drepte →

2. Care este formula ariei totale a unui cub cu muchia $a$?

   • a) $A_t=4a^2$
   • b) $A_t=6a^2$
   • c) $A_t=a^3$
   • d) $A_t=6a$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $A_t=6a^2$

   Cubul are $6$ fețe pătrate identice, fiecare cu latura $a$, deci fiecare față are aria $a^2$. Adunând toate cele $6$ fețe obținem $A_t=6a^2$.

   Lecția: Aria totală și volumul paralelipipedului dreptunghic și ale cubului →

3. Un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are muchia $a=10$ cm. Cât este $\mathrm{tg}\alpha$, unde $\alpha$ este unghiul dintre diagonala corpului $A{C}^{\prime }$ și planul bazei?

   • a) $\frac{\sqrt{2}}{2}$
   • b) $1$
   • c) $\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • d) $2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

   În triunghiul dreptunghic $AC{C}^{\prime }$ (dreptunghic în $C$), $\mathrm{tg}\alpha =\frac{C{C}^{\prime }}{CA}=\frac{a}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. Acest raport nu depinde de valoarea lui $a$ — este mereu același pentru orice cub.

   Lecția: Distanțe și unghiuri în interiorul prismei, paralelipipedului și cubului →

4. Într-un cub cu muchia $a$, diagonala unei fețe este $a\sqrt{2}$. Ce reprezintă $a\sqrt{3}$?

   • a) Diagonala corpului (spațială), care unește două vârfuri opuse prin interiorul cubului
   • b) Suma lungimilor tuturor muchiilor cubului
   • c) Aria unei fețe a cubului
   • d) Perimetrul unei fețe a cubului
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) Diagonala corpului (spațială), care unește două vârfuri opuse prin interiorul cubului

   $a\sqrt{3}$ este diagonala corpului (spațială), obținută din formula $d=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt{3}$, mai lungă decât diagonala oricărei fețe ($a\sqrt{2}$).

   Lecția: Paralelipipedul dreptunghic și cubul: descriere, diagonală și desfășurare →

5. O prismă dreaptă are baza un hexagon (poligon cu 6 laturi). Câte fețe laterale are prisma?

   • a) 4
   • b) 6
   • c) 8
   • d) 12
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) 6

   Numărul fețelor laterale este egal cu numărul laturilor bazei, deci $n=6$ fețe laterale.

   Lecția: Prisma dreaptă: descriere, elemente caracteristice și desfășurare →

6. Un cub are muchia $a=7$ cm. Ce dimensiuni are secțiunea lui diagonală?

   • a) $7$ cm și $7$ cm
   • b) $7\sqrt{2}$ cm și $7$ cm
   • c) $7\sqrt{3}$ cm și $7$ cm
   • d) $14$ cm și $7$ cm
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $7\sqrt{2}$ cm și $7$ cm

   Diagonala bazei (pătrat de latură $7$) este $d=a\sqrt{2}=7\sqrt{2}$ cm. Înălțimea cubului este tot $7$ cm, deci secțiunea diagonală are dimensiunile $7\sqrt{2}$ cm și $7$ cm.

   Lecția: Secțiuni diagonale în prismă, paralelipiped și cub →

7. O prismă patrulateră regulată (bază pătrat) are latura bazei $l=6$ cm și înălțimea $h=10$ cm. Cât este aria laterală $A_l$?

   • a) $240{\text{ cm}}^2$
   • b) $60{\text{ cm}}^2$
   • c) $360{\text{ cm}}^2$
   • d) $480{\text{ cm}}^2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $240{\text{ cm}}^2$

   $P_{baz\breve{a}}=4\cdot 6=24$ cm, deci $A_l=P_{baz\breve{a}}\cdot h=24\cdot 10=240{\text{ cm}}^2$.

   Lecția: Aria laterală, aria totală și volumul prismei drepte →

8. Care este formula volumului unui cub cu muchia $a$?

   • a) $V=a^3$
   • b) $V=3a^2$
   • c) $V=6a^2$
   • d) $V=a^2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $V=a^3$

   Volumul cubului este produsul celor trei dimensiuni egale: $V=a\cdot a\cdot a=a^3$.

   Lecția: Aria totală și volumul paralelipipedului dreptunghic și ale cubului →

9. Un paralelipiped dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are baza un dreptunghi $5$ cm $\times$ $12$ cm. Care este distanța de la vârful $A$ la muchia verticală $C{C}^{\prime }$?

   • a) $13$ cm
   • b) $17$ cm
   • c) $7$ cm
   • d) $60$ cm
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $13$ cm

   Muchia $C{C}^{\prime }$ este perpendiculară pe bază, deci perpendiculară pe $AC$; piciorul perpendicularei din $A$ este chiar $C$. Distanța cerută este diagonala bazei: $AC=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13$ cm.

   Lecția: Distanțe și unghiuri în interiorul prismei, paralelipipedului și cubului →

10. O cutie are forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile $L=5$ cm, $l=10$ cm și $h=10$ cm. Calculează diagonala corpului.

    • a) $15$ cm
    • b) $25$ cm
    • c) $20$ cm
    • d) $225$ cm
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $15$ cm

    $d=\sqrt{L^2+l^2+h^2}=\sqrt{5^2+10^2+10^2}=\sqrt{25+100+100}=\sqrt{225}=15$ cm. (Varianta b) adună direct dimensiunile $5+10+10=25$, iar varianta d) uită să extragă radicalul.)

    Lecția: Paralelipipedul dreptunghic și cubul: descriere, diagonală și desfășurare →

11. O prismă dreaptă are muchia laterală de $7$ cm. Care afirmație despre înălțimea prismei este corectă?

    • a) Înălțimea este mai mică decât muchia laterală, deci sub 7 cm
    • b) Înălțimea nu poate fi aflată fără a cunoaște baza
    • c) Înălțimea este egală cu muchia laterală, deci 7 cm
    • d) Înălțimea este întotdeauna dublul muchiei laterale
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) Înălțimea este egală cu muchia laterală, deci 7 cm

    La prisma dreaptă, muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze, deci reprezintă chiar distanța dintre baze, adică înălțimea: $h=7$ cm.

    Lecția: Prisma dreaptă: descriere, elemente caracteristice și desfășurare →

12. Care este motivul corect pentru care secțiunea diagonală a unui cub NU este un pătrat?

    • a) Pentru că $a\sqrt{2}=a$
    • b) Pentru că laturile ei sunt $a\sqrt{2}$ și $a$, iar $a\sqrt{2}\ne a$
    • c) Pentru că un cub nu are deloc secțiuni diagonale
    • d) Pentru că înălțimea cubului este întotdeauna mai mare decât diagonala bazei
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) Pentru că laturile ei sunt $a\sqrt{2}$ și $a$, iar $a\sqrt{2}\ne a$

    Secțiunea diagonală a cubului este un dreptunghi cu laturile diagonala bazei ($a\sqrt{2}$) și înălțimea ($a$). Cum $a\sqrt{2}\ne a$ pentru orice $a>0$, laturile alăturate sunt diferite, deci figura este un dreptunghi, nu un pătrat.

    Lecția: Secțiuni diagonale în prismă, paralelipiped și cub →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.