Exerciții rezolvate — Probleme rezolvate cu ecuații și sisteme (clasa a VII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Probleme rezolvate cu ecuații și sisteme", clasa a VII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Suma a două numere este 60, iar unul este cu 12 mai mare decât celălalt. Dacă notăm cu $x$ numărul mic, care este ecuația corectă?

   • a) $x+12=60$
   • b) $x+(x+12)=60$
   • c) $x\cdot 12=60$
   • d) $2x=60$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $x+(x+12)=60$

   Numărul mic este $x$, iar cel mare, fiind cu 12 mai mare, este $x+12$. Suma lor este 60, deci ecuația corectă este $x+(x+12)=60$.

   Lecția: Etapele rezolvării unei probleme cu ajutorul ecuației sau sistemului →

2. Într-un triunghi, al doilea unghi este cu $20^{\circ }$ mai mare decât primul, iar al treilea este de două ori cât primul. Care este măsura primului unghi?

   • a) $30^{\circ }$
   • b) $40^{\circ }$
   • c) $50^{\circ }$
   • d) $60^{\circ }$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $40^{\circ }$

   Fie $x$ primul unghi. Al doilea este $x+20$, al treilea $2x$. Suma unghiurilor unui triunghi este $180^{\circ }$: $x+(x+20)+2x=180\Rightarrow 4x+20=180\Rightarrow x=40^{\circ }$.

   Lecția: Probleme practice cu ecuații și sisteme: mișcare, amestecuri și geometrie →

3. O mamă are 28 de ani, iar fiica ei are 4 ani. Peste câți ani mama va avea exact de 4 ori vârsta fiicei?

   • a) Peste 2 ani
   • b) Peste 4 ani
   • c) Peste 6 ani
   • d) Peste 8 ani
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Peste 4 ani

   Notăm $x$ anii ce trec: $28+x=4(4+x)\Rightarrow 28+x=16+4x\Rightarrow 12=3x\Rightarrow x=4$. Verificare: peste 4 ani, mama are 32, fiica 8, iar $32=4\cdot 8$.

   Lecția: Probleme practice cu ecuații și sisteme: vârste și bani →

4. Suma a două numere este 90. Unul dintre ele este de 5 ori mai mare decât celălalt. Care este numărul mai mare?

   • a) 15
   • b) 45
   • c) 75
   • d) 85
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) 75

   Notăm cu $x$ numărul mic; cel mare este $5x$. Ecuația: $x+5x=90\Rightarrow 6x=90\Rightarrow x=15$. Numărul mare este $5\cdot 15=75$. (15 este numărul mic, iar 45 ar fi jumătate din 90 — ambele răspund la altă întrebare.)

   Lecția: Probleme rezolvate cu ajutorul ecuațiilor de gradul I →

5. Suma a două numere este 50, iar diferența lor este 12. Care este numărul mai mare?

   • a) 19
   • b) 25
   • c) 31
   • d) 38
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) 31

   Sistemul este $\{\begin{array}{l}x+y=50\\ x-y=12\end{array}$. Adunând ecuațiile: $2x=62\Rightarrow x=31$, apoi $y=19$. Numărul mai mare este 31.

   Lecția: Probleme rezolvate cu ajutorul sistemelor de două ecuații liniare →

6. La rezolvarea unei probleme, prețul unui obiect a ieșit $x=-3$ lei. Ce ar trebui să faci, conform pasului de verificare/interpretare?

   • a) Accept răspunsul, deoarece calculul e corect
   • b) Rotunjesc la cel mai apropiat număr pozitiv
   • c) Recunosc că un preț nu poate fi negativ și verific traducerea în ecuație, deoarece ceva nu se potrivește
   • d) Schimb unitatea de măsură din lei în bani
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) Recunosc că un preț nu poate fi negativ și verific traducerea în ecuație, deoarece ceva nu se potrivește

   Pasul de verificare/interpretare te avertizează când rezultatul nu are sens în context (un preț negativ e imposibil). Semnalul te trimite înapoi la traducerea în ecuație, nu la acceptarea sau „cosmetizarea" rezultatului.

   Lecția: Etapele rezolvării unei probleme cu ajutorul ecuației sau sistemului →

7. Doi bicicliști pornesc din același loc, în același moment și în același sens, unul cu $20$ km/h și celălalt cu $12$ km/h. După cât timp vor fi la o distanță de $32$ km unul de celălalt?

   • a) 2 ore
   • b) 4 ore
   • c) 6 ore
   • d) 8 ore
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) 4 ore

   Fiind în același sens (urmărire), se depărtează cu diferența vitezelor: $20-12=8$ km/h. Timpul este $t=\frac{32}{8}=4$ ore.

   Lecția: Probleme practice cu ecuații și sisteme: mișcare, amestecuri și geometrie →

8. Un tată are 40 de ani, iar fiul său are 12 ani. Acum câți ani tatăl avea exact de 5 ori vârsta fiului?

   • a) Acum 3 ani
   • b) Acum 5 ani
   • c) Acum 15 ani
   • d) Acum 10 ani
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Acum 5 ani

   Notăm cu $x$ anii trecuți de atunci: $40-x=5(12-x)\Rightarrow 40-x=60-5x\Rightarrow 4x=20\Rightarrow x=5$. Acum 5 ani, tatăl avea $35$, fiul $7$, iar $35=5\cdot 7$.

   Lecția: Probleme practice cu ecuații și sisteme: vârste și bani →

9. Suma a trei numere pare consecutive este 78. Care este cel mai mare dintre ele?

   • a) 18
   • b) 38
   • c) 28
   • d) 24
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) 28

   Notăm numerele $x$, $x+2$, $x+4$ (pare consecutive): $3x+6=78\Rightarrow 3x=72\Rightarrow x=24$. Cel mai mare este $x+4=28$.

   Lecția: Probleme rezolvate cu ajutorul ecuațiilor de gradul I →

10. Suma vârstelor a doi frați este 45 de ani, iar fratele mai mare are cu 5 ani mai mult decât cel mic. Notând $x$ = vârsta fratelui mare și $y$ = vârsta fratelui mic, care sistem descrie corect problema?

    • a) $x+y=45,x-y=5$
    • b) $x+y=45,y-x=5$
    • c) $x-y=45,x+y=5$
    • d) $x+y=5,x-y=45$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $x+y=45,x-y=5$

    „Suma" devine $x+y=45$. „Fratele mare are cu 5 ani mai mult" înseamnă $x-y=5$ (mare minus mic), nu invers. Varianta corectă este a.

    Lecția: Probleme rezolvate cu ajutorul sistemelor de două ecuații liniare →

11. Suma a două numere este 84, iar unul este cu 20 mai mare decât celălalt. Dacă notăm cu $x$ numărul mic, care este ecuația corectă?

    • a) $x+20=84$
    • b) $x+(x+20)=84$
    • c) $x\cdot 20=84$
    • d) $2x=84$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $x+(x+20)=84$

    Numărul mic este $x$, iar cel mare, fiind cu 20 mai mare, este $x+20$. Suma lor este 84, deci ecuația corectă este $x+(x+20)=84$.

    Lecția: Etapele rezolvării unei probleme cu ajutorul ecuației sau sistemului →

12. Într-un triunghi, al doilea unghi este cu $30°$ mai mare decât primul, iar al treilea este de trei ori cât primul. Care este măsura primului unghi?

    • a) $20°$
    • b) $30°$
    • c) $40°$
    • d) $35°$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $30°$

    Fie $x$ primul unghi. Al doilea este $x+30°$, al treilea $3x$. Suma unghiurilor unui triunghi este $180°$: $x+(x+30°)+3x=180°\Rightarrow 5x+30°=180°\Rightarrow x=30°$.

    Lecția: Probleme practice cu ecuații și sisteme: mișcare, amestecuri și geometrie →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.