Exerciții rezolvate — Recapitulare finală (clasa a IX-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Recapitulare finală (clasa a IX-a)", clasa a IX-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-3x+6$. Care dintre următoarele afirmații este adevărată?

   • a) $f$ este strict crescătoare, iar $f(x)>0$ pentru $x>2$.
   • b) $f$ este strict descrescătoare, iar $f(x)>0$ pentru $x<2$.
   • c) $f$ este strict descrescătoare, iar $f(x)>0$ pentru $x>2$.
   • d) $f$ este strict crescătoare, iar $f(x)<0$ pentru $x<2$.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $f$ este strict descrescătoare, iar $f(x)>0$ pentru $x<2$.

   Coeficientul lui $x$ este $a=-3<0$, deci funcția este strict descrescătoare pe $\mathbb{R}$. Zeroul: $-3x+6=0⟺x=2$, deci graficul taie axa $Ox$ în $(2,0)$ și axa $Oy$ în $(0,6)$. Înainte de zerou funcția are semn contrar lui $a$, deci $f(x)>0$ pentru $x<2$; după zerou are semnul lui $a$, deci $f(x)<0$ pentru $x>2$. Verificare rapidă: $f(0)=6>0$ și $f(3)=-3<0$. Semnul nu se confundă cu monotonia.

   Lecția: Recapitulare: funcții și lecturi grafice →

2. Se consideră punctele $A(-2,3)$ și $B(1,7)$. Cât este lungimea segmentului $AB$?

   • a) $5$
   • b) $\sqrt{13}$
   • c) $7$
   • d) $25$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $5$

   Aplicăm formula distanței: $AB=\sqrt{(1-(-2){)}^2+(7-3{)}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$. Varianta d) este pătratul distanței (util în comparații, dar nu este lungimea), varianta b) apare dacă ridici la pătrat doar una dintre diferențe ($9+4$), iar c) dacă aduni pur și simplu $3+4$. Ordinea punctelor nu contează, pentru că diferențele apar la pătrat.

   Lecția: Recapitulare: geometrie analitică →

3. Se consideră propozițiile $p$: «$2^4=16$», $q$: «$\sqrt{9}=-3$» și $r$: «$7$ este număr prim». Care dintre următoarele enunțuri compuse este fals?

   • a) $p\vee q$
   • b) $(p\vee q)\Rightarrow (q\wedge r)$
   • c) $q\Rightarrow r$
   • d) $\neg q\wedge r$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $(p\vee q)\Rightarrow (q\wedge r)$

   Stabilim întâi valorile propozițiilor simple: $v(p)=A$ (căci $2^4=16$), $v(q)=F$ (radicalul de ordinul al doilea este nenegativ, deci $\sqrt{9}=3$), $v(r)=A$. Atunci $p\vee q=A\vee F=A$, iar $q\wedge r=F\wedge A=F$, deci $(p\vee q)\Rightarrow (q\wedge r)=A\Rightarrow F=\mathbf{F}$ — singurul caz în care implicația este falsă. Celelalte sunt adevărate: $q\Rightarrow r=F\Rightarrow A=A$ (implicație adevărată „în gol"), iar $\neg q\wedge r=A\wedge A=A$.

   Lecția: Recapitulare: logică și progresii →

4. Vrei să demonstrezi prin reducere la absurd afirmația: «dacă $ab=0$, atunci $a=0$ sau $b=0$». Cu ce presupunere pornești?

   • a) $ab=0$, $a\ne 0$ și $b\ne 0$
   • b) $ab=0$, $a\ne 0$ sau $b\ne 0$
   • c) $ab\ne 0$, $a=0$ și $b=0$
   • d) $ab\ne 0$, $a\ne 0$ și $b\ne 0$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $ab=0$, $a\ne 0$ și $b\ne 0$

   La reducerea la absurd se păstrează ipoteza ($ab=0$) și se neagă concluzia. Negația unui enunț cu «sau» este un enunț cu «și»: negația lui «$a=0$ sau $b=0$» este «$a\ne 0$ și $b\ne 0$». Varianta b) neagă greșit, păstrând «sau», iar c) și d) neagă ipoteza, ceea ce schimbă cu totul afirmația. Din presupunerea corectă: cum $a\ne 0$, împărțim $ab=0$ prin $a$ și obținem $b=0$ — contradicție cu $b\ne 0$, deci afirmația inițială este adevărată.

   Lecția: Recapitulare mate-info: metode de demonstrație, funcții și ecuații →

5. Se știe că $\sin a=\frac{5}{13}$, cu $a$ în cadranul II. Cât este $\sin 2a$?

   • a) $\frac{120}{169}$
   • b) $\frac{119}{169}$
   • c) $-\frac{120}{169}$
   • d) $-\frac{60}{169}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $-\frac{120}{169}$

   Din formula fundamentală, ${\cos }^{2}a=1-\frac{25}{169}=\frac{144}{169}$, iar în cadranul II cosinusul este negativ: $\cos a=-\frac{12}{13}$. Atunci $\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \frac{5}{13}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=-\frac{120}{169}$. Varianta a) sare discuția semnului, b) este $\cos 2a=1-2{\sin }^{2}a$ (răspunsul la altă întrebare), iar d) a uitat factorul $2$. Control: ${\left(\frac{120}{169}\right)}^2+{\left(\frac{119}{169}\right)}^2=1$ ✓.

   Lecția: Recapitulare mate-info: trigonometrie și relații metrice →

6. Calculați $\sin \frac{\pi }{6}+\cos \frac{\pi }{3}+\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$.

   • a) $2$
   • b) $1$
   • c) $\frac{3}{2}$
   • d) $1+\sqrt{3}$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $2$

   Din tabelul valorilor de bază: $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ și $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$, deci suma este $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=2$. Reține trucul de reconstrucție: rândul sinusului este $0,\frac{1}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},1$, iar rândul cosinusului este exact același, citit de la dreapta la stânga — de aceea $\sin \frac{\pi }{6}=\cos \frac{\pi }{3}$.

   Lecția: Recapitulare: trigonometrie →

7. La o cerință de $5$ puncte de la Subiectul al II-lea scrii formula corectă și pui condițiile de existență, dar te blochezi și nu ajungi la rezultatul final. Ce se întâmplă cu punctajul?

   • a) Primești $0$ puncte, pentru că lipsește rezultatul final.
   • b) Primești punctajul parțial al pașilor scriși: formula și condițiile au punctaj propriu în barem.
   • c) Primești punctajul întreg, dacă formula este corectă.
   • d) Punctajul se acordă doar dacă scrii și concluzia cu unitate de măsură.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Primești punctajul parțial al pașilor scriși: formula și condițiile au punctaj propriu în barem.

   Baremul este o listă de pași cu punctaje: formula scrisă explicit, condiția pusă, ecuația obținută, soluția, verificarea. La exemplul cu progresia aritmetică din lecție, formulele valorează singure $2$ puncte din $5$, chiar dacă apoi greșești o înmulțire. Punctajul întreg nu se acordă fără finalizare, dar o cerință lăsată complet goală valorează cu certitudine $0$ — de aceea regula practică este: scrie măcar formula pe care ai folosi-o.

   Lecția: Cum arată o lucrare de final de an la clasa a IX-a →

8. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x^2+4x+1$. Care sunt coordonatele vârfului parabolei și mulțimea valorilor funcției?

   • a) $V(2,5)$ și $\mathrm{Im}f=(-\infty ,5]$
   • b) $V(2,5)$ și $\mathrm{Im}f=[5,+\infty )$
   • c) $V(-2,-11)$ și $\mathrm{Im}f=(-\infty ,-11]$
   • d) $V(5,2)$ și $\mathrm{Im}f=(-\infty ,2]$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $V(2,5)$ și $\mathrm{Im}f=(-\infty ,5]$

   Avem $a=-1$, $b=4$, $c=1$, deci $x_V=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{-2}=2$ și $y_V=f(2)=-4+8+1=5$: vârful este $V(2,5)$, iar axa de simetrie este $x=2$. Cum $a<0$, ramurile sunt îndreptate în jos, funcția are un maxim, deci $\mathrm{Im}f=(-\infty ,5]$, cu capătul inclus, pentru că valoarea $5$ chiar se atinge, în $x=2$. Nu confunda $x_V$ (abscisa unde se atinge extremul) cu $y_V$ (valoarea extremă) — varianta d) le inversează, iar c) greșește semnul în formula vârfului.

   Lecția: Recapitulare: funcții și lecturi grafice →

9. Mijlocul segmentului $AB$ este $M(3,-1)$, iar $A(-1,4)$. Care sunt coordonatele punctului $B$?

   • a) $B(7,-6)$
   • b) $B(4,-5)$
   • c) $B(1;1,5)$
   • d) $B(-5,9)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $B(7,-6)$

   Este problema inversă a mijlocului. Din $x_M=\frac{x_A+x_B}{2}$ rezultă $x_B=2x_M-x_A=2\cdot 3-(-1)=7$, iar $y_B=2y_M-y_A=2\cdot (-1)-4=-6$, deci $B(7,-6)$. Verificare: mijlocul lui $A(-1,4)$ și $B(7,-6)$ este $\left(\frac{-1+7}{2},\frac{4-6}{2}\right)=(3,-1)$. ✓ Varianta b) se obține scăzând coordonatele, c) este mijlocul lui $A$ și $M$, iar d) este simetricul lui $M$ față de $A$.

   Lecția: Recapitulare: geometrie analitică →

10. Care este negația enunțului «Toți elevii clasei au obținut o notă mai mare decât $6$»?

    • a) «Niciun elev al clasei nu a obținut o notă mai mare decât $6$.»
    • b) «Toți elevii clasei au obținut o notă mai mică decât $6$.»
    • c) «Există cel puțin un elev al clasei care a obținut o notă mai mică sau egală cu $6$.»
    • d) «Există cel puțin un elev al clasei care a obținut o notă mai mică decât $6$.»
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) «Există cel puțin un elev al clasei care a obținut o notă mai mică sau egală cu $6$.»

    Enunțul are forma $\forall x,P(x)$, iar negația lui este $\exists x,\neg P(x)$: se schimbă și cuantificatorul, și predicatul. Negația lui „nota $>6$" este „nota $\le 6$", nu „nota $<6$" — egalitatea face parte din negație, de aceea varianta d) este greșită. Varianta a) («niciunul») este negația enunțului „există un elev cu nota mai mare decât $6$", iar b) păstrează greșit cuantificatorul universal: negația lui „toți sunt" este „cel puțin unul nu este".

    Lecția: Recapitulare: logică și progresii →

11. Pentru care dintre perechile (domeniu, codomeniu) funcția dată de legea $f(x)=x^2$ este bijectivă?

    • a) $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$
    • b) $f:\mathbb{R}\to [0,\infty )$
    • c) $f:[0,\infty )\to \mathbb{R}$
    • d) $f:[0,\infty )\to [0,\infty )$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: d) $f:[0,\infty )\to [0,\infty )$

    O funcție este tripletul (domeniu, codomeniu, lege), deci aceeași formulă dă răspunsuri diferite. Pe $\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ nu este nici injectivă ($f(-1)=f(1)=1$), nici surjectivă ($\mathrm{Im}f=[0,\infty )\ne \mathbb{R}$). Pe $\mathbb{R}\to [0,\infty )$ devine surjectivă, dar tot nu este injectivă. Pe $[0,\infty )\to \mathbb{R}$ este injectivă (strict crescătoare), dar nu surjectivă, pentru că valorile negative nu se ating. Doar pe $[0,\infty )\to [0,\infty )$ este bijectivă, cu inversa $f^{-1}(y)=\sqrt{y}$.

    Lecția: Recapitulare mate-info: metode de demonstrație, funcții și ecuații →

12. Cât este $\arccos \left(\cos \frac{7\pi }{4}\right)$?

    • a) $\frac{7\pi }{4}$
    • b) $\frac{\pi }{4}$
    • c) $-\frac{\pi }{4}$
    • d) $\frac{3\pi }{4}$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $\frac{\pi }{4}$

    Simplificarea $\arccos (\cos t)=t$ este valabilă numai dacă $t\in [0,\pi ]$, codomeniul funcției arccosinus. Aici se calculează pas cu pas: $\cos \frac{7\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, deci $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$. Variantele a) și c) nu aparțin intervalului $[0,\pi ]$ — deși $-\frac{\pi }{4}$ are într-adevăr același cosinus, arccosinusul nu ia niciodată valori negative —, iar $\cos \frac{3\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, altă valoare.

    Lecția: Recapitulare mate-info: trigonometrie și relații metrice →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.