Exerciții rezolvate — Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute (clasa a VII-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute", clasa a VII-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. La rezolvarea prin reducere a unui sistem, după ce ai eliminat ambele necunoscute, ai obținut egalitatea $0=0$. Ce tip de sistem ai?

   • a) Fără soluție (incompatibil)
   • b) Soluție unică (compatibil determinat)
   • c) Infinitate de soluții (compatibil nedeterminat)
   • d) Nu se poate ști fără mai multe calcule
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) Infinitate de soluții (compatibil nedeterminat)

   $0=0$ este o egalitate mereu adevărată, indiferent de valorile lui $x$ și $y$. Acesta este semnalul pentru un sistem compatibil nedeterminat, cu o infinitate de perechi-soluție.

   Lecția: Compararea metodelor. Sisteme cu soluție unică, fără soluție sau cu o infinitate de soluții →

2. Pentru sistemul $\{\begin{array}{l}y=3x-4\\ 2x+y=11\end{array}$, care este metoda cea mai potrivită de rezolvare și de ce?

   • a) Substituție, pentru că $y$ este deja izolat în prima ecuație
   • b) Reducere prin adunare directă, coeficienții lui $y$ fiind opuși
   • c) Reducere prin înmulțirea ambelor ecuații cu numere diferite
   • d) Sistemul nu poate fi rezolvat prin niciuna dintre metode
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) Substituție, pentru că $y$ este deja izolat în prima ecuație

   Prima ecuație are deja $y$ scos în evidență ($y=3x-4$), deci cea mai rapidă cale este să înlocuiești această expresie a lui $y$ direct în a doua ecuație — asta înseamnă metoda substituției.

   Lecția: Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Exerciții și redactare corectă →

3. În sistemul $\{\begin{array}{l}2x+5y=11\\ 2x-5y=-1\end{array}$, ce operație elimină necunoscuta $y$ dintr-o singură mișcare?

   • a) Adunăm cele două ecuații
   • b) Scădem cele două ecuații
   • c) Înmulțim prima ecuație cu $5$
   • d) Împărțim ambele ecuații la $2$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) Adunăm cele două ecuații

   Coeficienții lui $y$ sunt $+5$ și $-5$, adică opuși. Adunând ecuațiile, termenii cu $y$ se anulează: $5y+(-5y)=0$, rămânând doar o ecuație cu $x$.

   Lecția: Rezolvarea sistemelor prin metoda reducerii →

4. Din ecuația $x+y=8$, cum se exprimă corect $y$ în funcție de $x$?

   • a) $y=8-x$
   • b) $y=x-8$
   • c) $y=8+x$
   • d) $y=-8-x$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $y=8-x$

   Trecem $x$ în dreapta egalului, schimbând semnul: din $x+y=8$ obținem $y=8-x$.

   Lecția: Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției →

5. Care dintre perechile de mai jos este soluția sistemului $\{\begin{array}{l}x+y=13\\ x-y=5\end{array}$?

   • a) $(9,4)$
   • b) $(4,9)$
   • c) $(5,8)$
   • d) $(8,5)$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $(9,4)$

   Pentru $(9,4)$: $9+4=13$ ✓ și $9-4=5$ ✓, ambele adevărate. Celelalte perechi pică la cel puțin o ecuație (de exemplu, la $(4,9)$: $4-9=-5\ne 5$).

   Lecția: Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute. Soluția unui sistem →

6. Fără să rezolvi complet, stabilește tipul sistemului: $$\{\begin{array}{l}2x-y=5\\ 4x-2y=11\end{array}$$

   • a) Soluție unică
   • b) Fără soluție (incompatibil)
   • c) Infinitate de soluții (compatibil nedeterminat)
   • d) Sistemul nu poate fi analizat fără calcul complet
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Fără soluție (incompatibil)

   Partea stângă a doua este exact dublul primei: $4x-2y=2(2x-y)$. Dacă ecuațiile ar fi identice ca informație, partea dreaptă ar trebui să fie $2\cdot 5=10$, nu $11$. Cum $10\ne 11$, ecuațiile sunt contradictorii, deci sistemul nu are soluție.

   Lecția: Compararea metodelor. Sisteme cu soluție unică, fără soluție sau cu o infinitate de soluții →

7. Ai găsit perechea $(5,2)$ pentru sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=7\\ x-y=1\end{array}$. Ce se întâmplă la verificare?

   • a) Perechea verifică ambele ecuații, deci este soluția sistemului
   • b) Perechea verifică doar prima ecuație, deci nu este soluția sistemului
   • c) Perechea verifică doar a doua ecuație, deci nu este soluția sistemului
   • d) Perechea nu verifică nicio ecuație
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Perechea verifică doar prima ecuație, deci nu este soluția sistemului

   Prima ecuație: $5+2=7$ ✓. A doua ecuație: $5-2=3\ne 1$ ✗. Cum nu se verifică amândouă simultan, $(5,2)$ nu este soluția sistemului — exact de aceea verificarea se face mereu în ambele ecuații.

   Lecția: Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Exerciții și redactare corectă →

8. În sistemul $\{\begin{array}{l}3x+4y=19\\ 3x+y=10\end{array}$, necunoscuta $x$ are coeficientul $3$ în ambele ecuații. Ce faci pentru a o elimina?

   • a) Aduni cele două ecuații
   • b) Scazi a doua ecuație din prima
   • c) Înmulțești prima ecuație cu $3$
   • d) Nu poți elimina $x$ în acest sistem
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Scazi a doua ecuație din prima

   Coeficienții lui $x$ sunt egali (nu opuși), deci scazi o ecuație din cealaltă: $(3x+4y)-(3x+y)=19-10\Rightarrow 3y=9$, iar $x$ dispare.

   Lecția: Rezolvarea sistemelor prin metoda reducerii →

9. La rezolvarea sistemului $\{\begin{array}{l}x=2y\\ x+y=15\end{array}$ prin substituție, ce ecuație obții după înlocuire?

   • a) $2y+y=15$
   • b) $2y+15=y$
   • c) $y+2=15$
   • d) $2x+y=15$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $2y+y=15$

   Substituim $x=2y$ în a doua ecuație, în locul lui $x$: $2y+y=15$, de unde $y=5$ și $x=10$.

   Lecția: Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției →

10. Se știe că perechea $(3,7)$ este soluția unui sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute. Ce înseamnă exact acest lucru?

    • a) Doar prima ecuație este adevărată pentru $x=3$, $y=7$
    • b) $x=3$ și $y=7$ verifică simultan ambele ecuații ale sistemului
    • c) $x=7$ și $y=3$, iar ordinea nu contează
    • d) Sistemul are o infinitate de soluții, printre care și $(3,7)$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) $x=3$ și $y=7$ verifică simultan ambele ecuații ale sistemului

    Soluția unui sistem este o pereche ordonată care face adevărate ambele ecuații în același timp: primul număr este $x$, al doilea este $y$, și trebuie verificate amândouă ecuațiile, nu doar una.

    Lecția: Sisteme de două ecuații liniare cu două necunoscute. Soluția unui sistem →

11. La rezolvarea prin reducere a unui sistem, după ce ai eliminat ambele necunoscute, ai obținut egalitatea $0=7$. Ce tip de sistem ai?

    • a) Fără soluție (incompatibil)
    • b) Soluție unică (compatibil determinat)
    • c) Infinitate de soluții (compatibil nedeterminat)
    • d) Nu se poate ști fără mai multe calcule
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) Fără soluție (incompatibil)

    $0=7$ este o egalitate falsă, oricare ar fi valorile lui $x$ și $y$. Acesta este semnalul pentru un sistem incompatibil, fără nicio soluție.

    Lecția: Compararea metodelor. Sisteme cu soluție unică, fără soluție sau cu o infinitate de soluții →

12. Pentru sistemul $\{\begin{array}{l}2x+3y=13\\ 2x+y=7\end{array}$, care este metoda cea mai potrivită de rezolvare și de ce?

    • a) Reducere prin scădere, pentru că ambele ecuații au coeficientul lui $x$ egal cu $2$
    • b) Substituție, pentru că $x$ este deja izolat
    • c) Reducere prin adunare directă, coeficienții lui $y$ fiind opuși
    • d) Sistemul nu poate fi rezolvat prin niciuna dintre metode
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) Reducere prin scădere, pentru că ambele ecuații au coeficientul lui $x$ egal cu $2$

    Ambele ecuații au coeficientul lui $x$ egal ($2$), deci scăzând ecuațiile membru cu membru eliminăm $x$: aceasta este metoda reducerii prin scădere.

    Lecția: Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare. Exerciții și redactare corectă →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.