Exerciții rezolvate — Unghiuri: perechi de unghiuri și bisectoarea (clasa a VI-a)

12 exerciții cu rezolvări complete din unitatea „Unghiuri: perechi de unghiuri și bisectoarea", clasa a VI-a — alese din lecțiile unității, în ordinea în care se învață. Încearcă întâi singur, apoi deschide „Vezi rezolvarea": fiecare exercițiu are răspunsul corect, explicația pas cu pas și linkul lecției din care face parte.

1. Semidreapta $OD$ este bisectoarea unghiului $\widehat{xOy}$. Se știe că $m(\widehat{xOD})=53°$. Cât măsoară unghiul $\widehat{xOy}$?

   • a) $26,5°$
   • b) $106°$
   • c) $53°$
   • d) $159°$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $106°$

   Cunoaștem jumătatea, deci înmulțim cu 2 pentru a afla întregul: $m(\widehat{xOy})=2\cdot 53°=106°$. Varianta a) confundă operația (împarte în loc să înmulțească), iar c) și d) nu respectă regula bisectoarei.

   Lecția: Bisectoarea unui unghi. Construcția bisectoarei →

2. Calculează $58°45^{\prime }+27°32^{\prime }$.

   • a) $85°17^{\prime }$
   • b) $86°17^{\prime }$
   • c) $85°77^{\prime }$
   • d) $86°77^{\prime }$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $86°17^{\prime }$

   Adunăm separat: gradele $58°+27°=85°$, minutele $45^{\prime }+32^{\prime }=77^{\prime }$. Cum $77^{\prime }=60^{\prime }+17^{\prime }=1°17^{\prime }$, transportăm $1°$ la grade: $85°+1°17^{\prime }=86°17^{\prime }$. Varianta c) uită complet transportul, iar d) transportă gradul dar scrie greșit minutele rămase.

   Lecția: Calcule cu măsuri de unghiuri. Aplicații →

3. Dreptele $EF$ și $GH$ se intersectează în $O$. Se știe că $m(\angle EOG)=71°$. Cât este $m(\angle EOH)$?

   • a) $71°$
   • b) $109°$
   • c) $19°$
   • d) $180°$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $109°$

   $\angle EOG$ și $\angle EOH$ sunt suplementare, deoarece $G$, $O$, $H$ sunt coliniare (laturile $OG$ și $OH$ sunt în prelungire). Deci $m(\angle EOH)=180°-71°=109°$.

   Lecția: Probleme recapitulative cu perechi de unghiuri →

4. Din vârful $O$ pleacă patru semidrepte distincte $OP$, $OQ$, $OR$ și $OS$. Unghiurile $\widehat{POQ}$ și $\widehat{ROS}$ au vârful comun $O$. Sunt ele adiacente?

   • a) Da, pentru că au vârf comun.
   • b) Nu, pentru că nu au latură comună.
   • c) Da, pentru că se suprapun.
   • d) Nu, pentru că nu au vârf comun.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) Nu, pentru că nu au latură comună.

   Cele două unghiuri au vârf comun $O$ (prima condiție îndeplinită), dar folosesc patru semidrepte diferite, deci nu au nicio latură comună — a doua condiție lipsește. Au deci doar vârf comun, nu sunt adiacente.

   Lecția: Unghiuri adiacente →

5. Complementul unui unghi de $58°$ este:

   • a) $32°$
   • b) $122°$
   • c) $42°$
   • d) $148°$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) $32°$

   Complementul unui unghi de măsură $x$ este $90°-x$. Aici $90°-58°=32°$. Verificare: $58°+32°=90°$. Varianta b) este de fapt suplementul lui $58°$ ($180°-58°=122°$) — capcana clasică de a confunda complementul cu suplementul; celelalte variante nu satisfac nicio relație corectă.

   Lecția: Unghiuri complementare și suplementare →

6. Ce afirmație descrie corect unghiurile formate în jurul unui punct?

   • a) Fiecare dintre ele are exact $90°$.
   • b) Suma măsurilor lor este întotdeauna $180°$.
   • c) Împreună acoperă o rotație completă, iar suma măsurilor lor este $360°$.
   • d) Suma lor depinde de câte unghiuri sunt, nefiind o valoare fixă.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) Împreună acoperă o rotație completă, iar suma măsurilor lor este $360°$.

   Unghiurile din jurul unui punct, luate o singură dată și fără suprapuneri, umplu exact o rotație completă, deci suma măsurilor lor este mereu $360°$, indiferent de câte unghiuri sunt.

   Lecția: Unghiuri formate în jurul unui punct →

7. Dreptele $EF$ și $GH$ se intersectează în punctul $O$. Unghiurile $\widehat{EOG}$ și $\widehat{FOH}$ sunt opuse la vârf. Care dintre afirmațiile de mai jos este corectă?

   • a) Au aceeași măsură, deoarece sunt congruente.
   • b) Suma lor este $180°$, deoarece sunt suplementare.
   • c) Au o latură comună, deoarece sunt alăturate.
   • d) Suma lor este $360°$, deoarece formează singure un cerc complet.
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: a) Au aceeași măsură, deoarece sunt congruente.

   Unghiurile opuse la vârf nu au nicio latură comună (deci nu sunt alăturate) și nu sunt suplementare între ele — sunt congruente, adică au aceeași măsură. Suma de $360°$ se obține doar adunând toate cele patru unghiuri din jurul vârfului, nu doar perechea opusă la vârf. Răspunsul corect este a.

   Lecția: Unghiuri opuse la vârf și congruența lor →

8. Semidreapta $Ot$ este bisectoarea unghiului $\widehat{AOB}$. Se dau $m(\widehat{AOt})=(4x+2)°$ și $m(\widehat{tOB})=(2x+14)°$. Cât măsoară unghiul $\widehat{AOB}$?

   • a) $26°$
   • b) $6°$
   • c) $52°$
   • d) $104°$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: c) $52°$

   Fiindcă $Ot$ este bisectoare, cele două unghiuri sunt congruente: $4x+2=2x+14\Rightarrow 2x=12\Rightarrow x=6$. Atunci $m(\widehat{AOt})=4\cdot 6+2=26°$ și $m(\widehat{tOB})=2\cdot 6+14=26°$, deci $m(\widehat{AOB})=26°+26°=52°$. Varianta a) dă doar jumătatea, b) este valoarea lui $x$, iar d) dublează greșit rezultatul corect.

   Lecția: Bisectoarea unui unghi. Construcția bisectoarei →

9. Două unghiuri adiacente suplementare au măsurile $(4x-8)°$ și $(2x+14)°$. Cât este $x$?

   • a) $27$
   • b) $29$
   • c) $31$
   • d) $33$
   Vezi rezolvarea

   Răspuns corect: b) $29$

   Fiind suplementare, suma lor este $180°$: $(4x-8)+(2x+14)=180$. Reducem: $6x+6=180$, deci $6x=174$, adică $x=29$. Verificare: unghiurile devin $4\cdot 29-8=108°$ și $2\cdot 29+14=72°$, iar $108°+72°=180°$.

   Lecția: Calcule cu măsuri de unghiuri. Aplicații →

10. Dreptele $PQ$ și $RS$ se intersectează în $O$. Se duce bisectoarea unghiului $\angle POR$ și bisectoarea unghiului $\angle QOS$ (unghiuri opuse la vârf). Ce măsură are unghiul format de cele două bisectoare?

    • a) $90°$, indiferent de $m(\angle POR)$
    • b) Depinde de măsura lui $\angle POR$, nu se poate ști fără date suplimentare
    • c) $180°$, indiferent de $m(\angle POR)$
    • d) $360°$, indiferent de $m(\angle POR)$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: c) $180°$, indiferent de $m(\angle POR)$

    Aceasta este proprietatea demonstrată în lecție: bisectoarele a două unghiuri opuse la vârf sunt întotdeauna în prelungire, adică formează un unghi alungit de $180°$, indiferent de măsura unghiului $\angle POR$. (Bisectoarele perpendiculare, la $90°$, apar în alt caz: la unghiuri adiacente suplementare.)

    Lecția: Probleme recapitulative cu perechi de unghiuri →

11. Unghiurile $\widehat{MON}$ și $\widehat{MOP}$ au același vârf $O$ și aceeași latură $OM$. Semidreapta $OP$ este situată în interiorul unghiului $\widehat{MON}$ (adică unghiul $\widehat{MOP}$ este conținut în $\widehat{MON}$). Sunt aceste unghiuri adiacente?

    • a) Da, pentru că au vârf și latură comune.
    • b) Nu, pentru că au puncte interioare comune (se suprapun).
    • c) Da, pentru că nu au puncte interioare comune.
    • d) Nu, pentru că nu au latură comună.
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: b) Nu, pentru că au puncte interioare comune (se suprapun).

    Deși $\widehat{MON}$ și $\widehat{MOP}$ au vârf comun ($O$) și latură comună ($OM$) — primele două condiții sunt îndeplinite — faptul că $OP$ este în interiorul lui $\widehat{MON}$ înseamnă că interiorul unghiului mic $\widehat{MOP}$ este inclus în interiorul unghiului mare $\widehat{MON}$: au puncte interioare comune. A treia condiție lipsește, deci unghiurile nu sunt adiacente.

    Lecția: Unghiuri adiacente →

12. Punctele $M$, $O$, $N$ sunt coliniare, cu $O$ între $M$ și $N$. Semidreapta $OP$ formează cu $OM$ un unghi de $117°$. Cât măsoară unghiul $\angle PON$?

    • a) $63°$
    • b) $117°$
    • c) $27°$
    • d) $73°$
    Vezi rezolvarea

    Răspuns corect: a) $63°$

    Cum $M$, $O$, $N$ sunt coliniare, unghiul alungit $\angle MON$ are $180°$. Semidreapta $OP$ îl împarte în unghiurile adiacente $\angle MOP$ și $\angle PON$, care sunt suplementare: $m(\angle MOP)+m(\angle PON)=180°$. Înlocuind, $117°+m(\angle PON)=180°$, deci $m(\angle PON)=180°-117°=63°$. Verificare: $117°+63°=180°$.

    Lecția: Unghiuri complementare și suplementare →

Vrei să exersezi cu verificare automată? Toate exercițiile unității, cu ghidaj la fiecare pas, sunt în aplicație — gratuit, fără cont.