Ecuația normalei la graficul unei funcții: formulă (M2, științe ale naturii)

Formulă din tema Derivate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M2 Formulă pentru profilul științe ale naturii (programa M2), clasa a XI-a: lecțiile ei sunt pe traseul M2 al clasei a XI-a; celelalte formule M2 ale temei sunt la finalul paginii „Derivate”.

Normala trece prin același punct ca tangenta, $(x_0,f(x_0))$, și o taie sub unghi drept. Pantele a două drepte neverticale perpendiculare se supun relației $m_{\text{t}}\cdot m_{\text{n}}=-1$, deci panta normalei este opusul inversului lui $f^{\prime }(x_0)$, nu opusul lui: din $f^{\prime }(x_0)=5$ iese $-\frac{1}{5}$, nu $-5$ — întâi răstorni fracția, apoi îi schimbi semnul. Când $f^{\prime }(x_0)=0$ tangenta este orizontală și formula nu se mai poate aplica, însă normala există: e verticala $x=x_0$, o dreaptă care nu are pantă și nu se scrie sub forma $y=mx+n$. Două probe: ecuația trebuie să dea $f(x_0)$ pentru $x=x_0$, iar panta găsită înmulțită cu $f^{\prime }(x_0)$ trebuie să dea $-1$.

Exemplu: Pentru $f(x)=x^2$ în $x_0=1$: $f(1)=1$ și $f^{\prime }(1)=2$, deci tangenta este $y=2x-1$, iar normala $y-1=-\frac{1}{2}(x-1)$, adică $y=-\frac{x}{2}+\frac{3}{2}$. Proba: $2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1$. • Pentru $f(x)=x^2$ în $x_0=0$ avem $f^{\prime }(0)=0$, deci normala este verticala $x=0$.