Limitele-etalon ale funcțiilor putere, radical, exponențială și logaritm: formulă (M2, științe ale naturii)

Formulă din tema Limite de funcții și continuitate, clasa a XI-a — cu legenda literelor și un exemplu rezolvat.

M2 Formulă pentru profilul științe ale naturii (programa M2), clasa a XI-a: lecțiile ei sunt pe traseul M2 al clasei a XI-a; celelalte formule M2 ale temei sunt la finalul paginii „Limite de funcții și continuitate”.

Tabelul de la care pornește orice limită la capetele axei. La puteri și radicali paritatea decide: un exponent par aduce ambele capete la același răspuns, unul impar le trimite în direcții opuse, iar un ordin par taie domeniul la $[0,+\infty )$ — în stânga lui $\sqrt{x}$ întrebarea nu rămâne fără răspuns, ci fără obiect. La exponențială și logaritm hotărăște unde stă baza față de $1$, iar o bază scrisă ca fracție poate fi foarte bine supraunitară, deci se compară cu unitatea, nu numărătorul cu numitorul. Zeroul obținut de $a^x$ nu este o valoare atinsă: exponențiala ia numai valori strict pozitive. Logaritmul are un singur capăt finit, și acela deschis, așa că în $0$ se scrie limita laterală, cu restricția $x>0$ trecută sub semn.

Exemplu: $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^4=+\infty$, dar $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3=-\infty$. • $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^x=0$, în vreme ce $\underset{x\to -\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^x=+\infty$. • $\underset{\begin{array}{c}x\to 0\\ x>0\end{array}}{\lim }\ln x=-\infty$, fiindcă $e>1$.