Ce proprietăți are hexagonul regulat?

Lecția pe scurt · clasa a VII-a · Triunghi, pătrat, hexagon regulat

Are șase laturi egale și șase unghiuri de câte 120 de grade. Legând centrul de fiecare vârf apar șase triunghiuri echilaterale, de unde iese proprietatea cea mai folositoare: latura lui este chiar raza cercului în care se înscrie. Depărtarea de la centru până la mijlocul unei laturi măsoară $\frac{l 3}{2}$ , iar aria este $\frac{3 l ^{2} 3}{2}$ . La o latură de 6 cm ies $543$ centimetri pătrați.

Orice figură regulată ascunde triunghiuri dreptunghice — dacă le vezi, ai rezolvat problema. La triunghiul echilateral de latură $l$ , înălțimea $h = \frac{l 3}{2}$ iese din Pitagora, aria e $A = \frac{l ^{2} 3}{4}$ , iar apotema (o treime din înălțime) e $a = \frac{l 3}{6}$ . La pătrat, diagonala $d = l 2$ (tot din Pitagora), aria $A = l^{2}$ , apotema $a = \frac{l}{2}$ . La hexagonul regulat, unind centrul cu vârfurile obții șase triunghiuri echilaterale, deci latura este egală cu raza cercului circumscris ( $R = l$ ), apotema e chiar înălțimea acelui triunghi echilateral, $a = \frac{l 3}{2}$ , iar aria $A = \frac{3 l ^{2} 3}{2}$ . Pentru orice poligon regulat, aria generală este $A = \frac{P \cdot a}{2}$ . Exemplu: la $l = 8$ cm, triunghiul echilateral are $A = 163$ cm² $\approx 27, 71$ cm².

De reținut

hexagon regulat: $R = l$ , apotema $= \frac{l 3}{2}$ , $A = \frac{3 l ^{2} 3}{2}$
triunghi echilateral: $h = \frac{l 3}{2}$ , $A = \frac{l ^{2} 3}{4}$
pătrat: $d = l 2$ , $A = l^{2}$
orice poligon regulat: $A = \frac{P \cdot a}{2}$

Greșeala tipică

Se confundă depărtarea până la mijlocul unei laturi cu cea până la un vârf. La hexagon, a doua este chiar latura, iar prima este mai scurtă, egală cu înălțimea unui triunghi echilateral.

Exerciții din această mini-lecție

Un triunghi echilateral are latura de $4$ cm. Care este aria lui?
- a) $43$ cm²
- b) $83$ cm²
- c) $23$ cm²
- d) $163$ cm²
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $43$ cm²

$A = \frac{l ^{2} 3}{4} = \frac{4 ^{2} 3}{4} = \frac{16 3}{4} = 43$ cm² $\approx 6, 93$ cm².
Un hexagon regulat are latura de $6$ cm. Care este apotema lui?
- a) $33$ cm
- b) $3$ cm
- c) $6$ cm
- d) $\frac{3 3}{2}$ cm
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $33$ cm

Apotema hexagonului este înălțimea unui triunghi echilateral de latură $l$ : $a = \frac{l 3}{2} = \frac{6 3}{2} = 33$ cm $\approx 5, 20$ cm. Atenție: $6$ cm ar fi raza cercului circumscris ( $R = l$ ), nu apotema.
Un triunghi echilateral are latura de $10$ cm. Care este aria lui?
- a) $253$ cm²
- b) $503$ cm²
- c) $103$ cm²
- d) $1003$ cm²
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $253$ cm²

$A = \frac{l ^{2} 3}{4} = \frac{1 0 ^{2} 3}{4} = \frac{100 3}{4} = 253$ cm² $\approx 43, 30$ cm².

Întrebări conexe

Ce arie are un hexagon regulat cu latura de 6 cm?

Are $543$ centimetri pătrați, adică aproape $93, 5$ . Poți socoti și pe drumul lung: șase triunghiuri echilaterale de latură 6, fiecare cu aria $93$ , dau împreună același rezultat.

Câte triunghiuri echilaterale încap într-un hexagon regulat?

Șase, obținute unind centrul cu cele șase vârfuri. Toate au latura cât latura hexagonului, fiindcă razele sunt egale între ele și egale cu latura. Împărțirea aceasta face ca aproape orice calcul de hexagon să se reducă la un triunghi.

Ce înălțime are un triunghi echilateral cu latura de 8 cm?

Are $43$ centimetri, cam $6, 93$ . Înălțimea taie latura la jumătate și formează un triunghi dreptunghic cu catetele 4 și înălțimea, iar ipotenuza este latura de 8. Din Pitagora ies $64 - 16 = 48$ .

Ce diagonală are un pătrat cu latura de 5 cm?

Are $52$ centimetri, aproximativ $7, 07$ . Diagonala este ipotenuza unui triunghi cu catete egale cu latura, deci pătratul ei este dublul pătratului laturii. Nu este dublul laturii, cum se crede uneori.

Cum aflu aria oricărui poligon regulat?

Înmulțești perimetrul cu depărtarea de la centru până la mijlocul unei laturi și împarți la doi. Formula vine din tăierea figurii în triunghiuri cu vârful în centru, fiecare având drept înălțime chiar acea depărtare.

Unde întâlnim hexagoane regulate în natură și în tehnică?

În fagurele de albine, în cristalele de gheață, în structura grafitului și în capetele șuruburilor. Forma se repetă fiindcă hexagoanele acoperă un plan fără goluri, folosind mai puțin material decât pătratele pentru aceeași suprafață.

Oamenii mai întreabă și: hexagon regulat · hexagon regulat proprietăți · aria hexagonului regulat · apotema hexagonului · latura hexagonului egală cu raza