Cum descompun o diferență de pătrate?

Lecția pe scurt · clasa a VIII-a · Diferența de pătrate: a²−b²

O scădere de două pătrate se rupe în două paranteze, una cu minus și una cu plus: $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ . Practic extragi radicalul din fiecare termen ca să afli bazele, apoi le așezi în paranteze. Astfel $x^{2} - 25 = (x - 5) (x + 5)$ , iar $9 y^{2} - 4 = (3 y - 2) (3 y + 2)$ . Verificarea se face desfăcând înmulțirea: termenii din mijloc se anulează și rămâne exact expresia de la care ai plecat.

Când vezi o scădere de două pătrate perfecte, adică o expresie de forma $a^{2} - b^{2}$ , o poți transforma direct într-un produs:

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$

Cum aplici: iei rădăcina pătrată a fiecărui termen — asta îți dă bazele $a$ și $b$ — apoi scrii o paranteză cu minus și una cu plus.

Exemplu: $x^{2} - 25 = x^{2} - 5^{2} = (x - 5) (x + 5)$ .

Două capcane de reținut: (1) dacă expresia nu e curată la început (ex. $2 x^{2} - 8$ ), scoți întâi factorul comun, apoi cauți diferența de pătrate — $2 (x^{2} - 4) = 2 (x - 2) (x + 2)$ ; (2) suma de pătrate $a^{2} + b^{2}$ nu se descompune niciodată cu această formulă, doar diferența. Formula te ajută și la calcul rapid: $10 1^{2} - 9 9^{2} = (101 - 99) (101 + 99) = 2 \cdot 200 = 400$ , fără să ridici nimic la pătrat.

De reținut

$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
$a^{2} + b^{2}$ nu se descompune
întâi factorul comun, apoi formula

Greșeala tipică

Se scrie $a^{2} - b^{2} = (a - b)^{2}$ , adică o singură paranteză ridicată la pătrat. Rezultatul corect are două paranteze diferite, una cu minus și una cu plus, iar produsul lor nu are termen la mijloc.

Exerciții din această mini-lecție

Descompune în factori $x^{2} - 64$ .
- a) $(x - 8) (x + 8)$
- b) $(x - 8)^{2}$
- c) $(x + 8)^{2}$
- d) nu se poate descompune
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(x - 8) (x + 8)$

$x^{2}$ și $64 = 8^{2}$ sunt pătrate perfecte legate prin minus, deci $a = x$ , $b = 8$ . Aplicăm formula: $x^{2} - 64 = (x - 8) (x + 8)$ .
Descompune complet expresia $3 x^{2} - 48$ .
- a) $3 (x - 4) (x + 4)$
- b) $3 (x - 16) (x + 16)$
- c) $(3 x - 4) (3 x + 4)$
- d) $3 (x^{2} - 16)$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $3 (x - 4) (x + 4)$

Scoatem întâi factorul comun $3$ : $3 x^{2} - 48 = 3 (x^{2} - 16)$ . Cum $16 = 4^{2}$ , avem $a = x$ , $b = 4$ , deci $x^{2} - 16 = (x - 4) (x + 4)$ . Forma completă este $3 (x - 4) (x + 4)$ ; varianta d) se oprește prea devreme, fără a aplica formula.
Descompune în factori $9 x^{2} - 25$ .
- a) $(3 x - 5) (3 x + 5)$
- b) $(3 x - 5)^{2}$
- c) $(3 x + 5)^{2}$
- d) nu se poate descompune
Vezi răspunsul

Răspuns corect: a) $(3 x - 5) (3 x + 5)$

$9 x^{2} = (3 x)^{2}$ și $25 = 5^{2}$ sunt pătrate perfecte legate prin minus, deci $a = 3 x$ , $b = 5$ . Aplicăm formula: $9 x^{2} - 25 = (3 x - 5) (3 x + 5)$ .

Întrebări conexe

Se poate descompune și o sumă de pătrate, ca x la a doua plus 9?

Nu, într-o sumă de pătrate nu se poate intra cu numere reale. Formula funcționează doar când între cele două pătrate stă semnul minus. O expresie ca $x^{2} + 9$ rămâne așa cum este, oricât ai încerca s-o spargi în factori.

Cum descompun o diferență de pătrate care are și un factor comun?

Scoți întâi factorul comun, apoi aplici formula pe ce rămâne în paranteză. La $3 x^{2} - 27$ scoți pe $3$ și obții $3 (x^{2} - 9)$ , care devine $3 (x - 3) (x + 3)$ . Dacă sari peste primul pas, descompunerea rămâne neterminată și pierzi puncte.

Cum folosesc diferența de pătrate ca să simplific o fracție algebrică?

Descompui numărătorul sau numitorul și tai factorii care se repetă. De pildă $\frac{x ^{2} - 16}{x + 4}$ devine $\frac{( x - 4 ) ( x + 4 )}{x + 4} = x - 4$ , pentru $x \neq = - 4$ . Simplificarea se face numai prin factori întregi, niciodată prin termeni luați separat.

Cum rezolv ecuația x la a doua minus 49 egal zero cu această formulă?

Scrii membrul stâng ca produs: $(x - 7) (x + 7) = 0$ . Un produs se anulează doar dacă unul dintre factori este zero, deci $x = 7$ sau $x = - 7$ . Soluțiile ies mereu două numere opuse, fiindcă parantezele diferă doar prin semn.

Ce fac dacă unul dintre termeni nu este pătrat, ca la x la a doua minus 5?

La nivelul gimnaziului te oprești: formula cere două pătrate, iar $5$ nu este pătratul unui număr întreg. Expresia rămâne nedescompusă. Abia mai târziu, cu radicali, se poate scrie $(x - 5) (x + 5)$ .

La ce ajută diferența de pătrate într-un calcul mintal?

Ajută atunci când două numere sunt egal depărtate de unul rotund. Astfel $10 1^{2} - 9 9^{2}$ devine $(101 - 99) (101 + 99) = 2 \cdot 200 = 400$ , fără nicio ridicare la pătrat. Aceeași scurtătură merge și la înmulțiri: $52 \cdot 48 = 5 0^{2} - 2^{2} = 2496$ , calculat din cap în câteva secunde.

Oamenii mai întreabă și: diferența de pătrate · formula a la a doua minus b la a doua · cum descompun x la a doua minus 25 · descompunerea diferenței de pătrate · a pătrat minus b pătrat