Descompunerea unui vector după doi vectori (M2, științe ale naturii)

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a IX-a → ·

La laborator, un cărucior stă pe o masă și e tras de două ațe fixate în același punct, fiecare trăgând în altă direcție. Căruciorul pleacă pe o a treia direcție, care nu e nici a primei ațe, nici a celei de-a doua. Întrebarea firească a profesorului de fizică este: cât trage fiecare ață? Adică, în limbaj de matematică: cum scriu deplasarea observată din cele două direcții date? Lecția aceasta, de clasa a IX-a la profilul științe ale naturii (M2), răspunde exact la această întrebare și îi dă și o formă pe care o poți scrie pe hârtie, cu doi coeficienți. La Bacalaureatul M2 2027–2029, vectorii sunt în programa de examen, iar Subiectul I are șase cerințe scurte de câte cinci puncte, din materia claselor a IX-a și a X-a; în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, cerințele $5$ și $6$ de la acest subiect sunt de geometrie — una cu coordonate și mijlocul unui segment, alta cu un triunghi dreptunghic — iar vectorii intră în aceeași familie de cerințe scurte.

Această lecție face parte din suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029: descompunerea după doi vectori necoliniari e cerută de programa de examen (OMEN 4430/2014), deși nu mai apare în programa nouă a clasei a IX-a. Ai deja tot ce-ți trebuie: din lecția despre adunarea vectorilor și regula triunghiului știi să pui cap la cap două deplasări, iar din înmulțirea unui vector cu un scalar știi ce înseamnă să lungești, să scurtezi sau să întorci un vector. Le pui împreună și obții unealta cu care se rezolvă aproape toate problemele de vectori din triunghi.

Ce vei învăța

Vei ști să spui, corect și complet, ce înseamnă că un vector se descompune după alți doi vectori și de ce condiția de necoliniaritate nu se poate ocoli.
Vei ști să construiești descompunerea cu rigla, ducând două paralele, și să citești de pe desen cei doi coeficienți.
Vei ști să obții coeficienții prin calcul, plecând dintr-un vârf al triunghiului și folosind drumurile dintre puncte.
Vei ști să folosești unicitatea coeficienților ca să transformi o egalitate între vectori într-un sistem cu necunoscute numere.
Vei ști să recunoști cerința standard de la Bacalaureatul M2: se dau două laturi ca vectori, se cere un al treilea vector scris cu ele.
Vei ști să citești, într-o problemă de fizică, rezultanta a două forțe ca pereche de coeficienți și să verifici singur dacă răspunsul are sens.

Hai să descoperim împreună

1. Ce înseamnă să descompui un vector după doi vectori necoliniari?

Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari înseamnă scrierea lui sub forma $w = α u + β v$ , unde $u$ și $v$ sunt cei doi vectori dați, necoliniari (adică amândoi nenuli și de direcții diferite), iar $α$ și $β$ sunt numere reale, numite coeficienții descompunerii; ipoteza de necoliniaritate garantează că perechea $(α, β)$ există pentru orice vector $w$ din plan și că este una singură.

Merită oprit o clipă asupra cuvântului „necoliniari". Doi vectori necoliniari sunt automat amândoi nenuli, fiindcă vectorul nul este coliniar cu orice vector. Ei arată, practic, două direcții diferite din plan — două șine pe care te poți deplasa. Ideea întregii lecții e că, având la dispoziție două direcții diferite și dreptul de a merge oricât de mult pe fiecare, într-un sens sau în celălalt, poți ajunge oriunde în plan, și într-un singur fel.

2. Cum se construiește geometric descompunerea?

Alege un punct $O$ și desenează toți cei trei vectori pornind din el: $O U$ pentru $u$ , $O V$ pentru $v$ și $O W$ pentru $w$ . Prin vârful $W$ duci o paralelă la dreapta $O V$ și una la dreapta $O U$ . Prima taie dreapta $O U$ într-un punct $P$ , a doua taie dreapta $O V$ într-un punct $Q$ — și taie sigur, fiindcă direcțiile sunt diferite, deci nicio paralelă la una dintre ele nu poate fi paralelă cu cealaltă.

Se formează un paralelogram $O P W Q$ , iar din regula paralelogramului obții imediat $O W = O P + O Q$ . Cum $O P$ stă pe aceeași dreaptă cu $u$ , el este un multiplu al lui $u$ ; la fel, $O Q$ este un multiplu al lui $v$ . Cele două multiplicități sunt exact $α$ și $β$ . Construcția aceasta e și demonstrația faptului că descompunerea există pentru orice vector $w$ : paralelele se pot duce întotdeauna.

3. De ce sunt coeficienții unici?

Presupunem că același vector s-ar scrie în două feluri: $w = α_{1} u + β_{1} v$ și $w = α_{2} u + β_{2} v$ . Scăzând cele două egalități, obținem

$(α_{1} - α_{2}) u + (β_{1} - β_{2}) v = 0, adic \overset{a}{˘} (α_{1} - α_{2}) u = (β_{2} - β_{1}) v .$

Dacă $α_{1} \neq = α_{2}$ , putem împărți la numărul nenul $α_{1} - α_{2}$ și obținem $u = k v$ , cu $k$ un număr real — adică exact criteriul de coliniaritate, care contrazice ipoteza. Rămâne deci $α_{1} = α_{2}$ , iar atunci egalitatea devine $(β_{1} - β_{2}) v = 0$ ; cum $v$ nu e vectorul nul, urmează și $β_{1} = β_{2}$ . Prin urmare cele două scrieri erau de fapt aceeași scriere.

Consecința practică se folosește în fiecare problemă: dacă ai ajuns la o egalitate de forma $a u + b v = c u + d v$ , cu $u$ și $v$ necoliniari, ai voie să identifici coeficienții, adică $a = c$ și $b = d$ . O singură egalitate între vectori îți dă, dintr-o dată, două egalități între numere.

4. Cum aflu coeficienții într-un triunghi?

Cerința tipică arată așa: se dă triunghiul $A B C$ , se notează $u = A B$ și $v = A C$ , iar apoi se cere un alt vector scris cu ei. Cei doi sunt necoliniari tocmai pentru că $A$ , $B$ , $C$ sunt vârfurile unui triunghi, deci nu stau pe aceeași dreaptă. Rețeta are trei pași și nu se schimbă de la o problemă la alta.

Pasul 1: mută-te în $A$ . Orice vector $X Y$ din figură se scrie ca diferență de vectori care pleacă din $A$ : $X Y = A Y - A X$ . Pasul 2: exprimă fiecare drum din ipoteză. De exemplu, $B C = A C - A B = v - u$ . Pasul 3: adună și grupează termenii cu $u$ separat de cei cu $v$ . La final trebuie să rămână o scriere cu exact doi termeni.

Pe un exemplu: fie $M$ mijlocul laturii $[B C]$ . Atunci $B M = \frac{1}{2} B C$ și, mergând din $A$ în $B$ și apoi în $M$ ,

$A M = A B + B M = u + \frac{1}{2} (v - u) .$

Ultimul pas — desfacerea parantezei și gruparea termenilor cu $u$ separat de cei cu $v$ — rămâne de făcut; îl duci până la capăt, cu control cu tot, la Exemplul 1.

5. Ce se schimbă dacă punctul nu e la mijloc?

Nimic, în afară de fracție. Presupunem că $M$ este un punct de pe dreapta $B C$ pentru care $B M = t B C$ , unde $t$ este un număr real. Refăcând calculul de mai sus cu $t$ în loc de $\frac{1}{2}$ , obținem

$A M = u + t (v - u) = (1 - t) u + t v .$

Formula merită citită cu atenție, fiindcă în ea stă capcana clasică a capitolului: coeficientul lui $A B$ este $1 - t$ , nu $t$ . Motivul e ușor de ținut minte — parametrul $t$ măsoară cât de departe ai plecat de $B$ , deci cu cât te apropii mai mult de $C$ , cu atât rămâne mai puțin din $A B$ . Verifică singur cele două capete: pentru $t = 0$ iese $A M = u$ , adică $M$ coincide cu $B$ , iar pentru $t = 1$ iese $A M = v$ , adică $M$ coincide cu $C$ .

Observă și că suma celor doi coeficienți este $(1 - t) + t = 1$ , indiferent de valoarea lui $t$ . Este un control excelent: dacă ai scris vectorul care duce dintr-un vârf într-un punct de pe latura opusă și coeficienții nu adună $1$ , undeva ai pierdut un termen.

6. La ce folosește unicitatea într-o problemă?

Unicitatea transformă geometria în algebră. Când într-un enunț apare un parametru necunoscut, scrii ambii membri ai egalității în aceeași pereche $u$ , $v$ , identifici coeficienții și rezolvi un sistem obișnuit, cu numere. La fel se decide și coliniaritatea a trei puncte: pentru a arăta că punctul $M$ se află pe dreapta $B C$ , e de ajuns să scrii $B M$ în funcție de $u$ și $v$ și să constați că rezultatul e un multiplu al lui $B C = v - u$ .

Atenție însă la o limită a metodei: identificarea coeficienților e permisă numai când cei doi vectori de referință sunt necoliniari. Dacă cineva scrie $2 u + 3 v = 5 u + v$ pentru doi vectori coliniari, nu poate trage concluzia $2 = 5$ ; egalitatea poate fi perfect adevărată, fiindcă între $u$ și $v$ există deja o legătură care „mută" coeficienți de la unul la altul.

7. Cum arată descompunerea în fizică?

Un corp tras simultan de două fire este cazul din care s-a născut toată povestea. Fixăm două direcții și alegem pe fiecare câte un vector de modul $1$ N, notați $u$ și $v$ ; atunci orice forță din planul lor se scrie $α u + β v$ , iar coeficienții $α$ și $β$ sunt chiar numere de newtoni. Un elev care scrie „forța este $4 u - 3 v$ " spune, de fapt, că firul de pe prima direcție trage cu $4$ N, iar cel de pe a doua împinge cu $3$ N în sens opus celui ales.

Condiția de echilibru a corpului se citește la fel de simplu: suma tuturor forțelor este $0$ , deci, după grupare, coeficientul lui $u$ și coeficientul lui $v$ trebuie să fie fiecare zero. Iată de ce unicitatea nu e un capriciu de matematician: fără ea, din „suma forțelor este nulă" nu s-ar putea deduce nicio ecuație despre mărimile lor.

Exemple rezolvate

Exemplul 1 — Vectorul dus spre mijlocul laturii opuse

Se consideră triunghiul $A B C$ și $M$ mijlocul laturii $[B C]$ . Descompuneți $A M$ după $A B$ și $A C$ .

Rezolvare. Notăm $u = A B$ și $v = A C$ ; ei sunt necoliniari, fiindcă $A$ , $B$ , $C$ formează un triunghi. Mergem din $A$ în $B$ , apoi din $B$ în $M$ , și folosim $B M = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} (v - u)$ :

$A M = u + \frac{1}{2} v - \frac{1}{2} u = \frac{1}{2} u + \frac{1}{2} v .$

Control: suma coeficienților este $1$ , cum trebuie pentru un punct de pe dreapta $B C$ , iar cei doi coeficienți sunt egali, ceea ce se potrivește cu simetria figurii față de mijlocul lui $[B C]$ .

Exemplul 2 — Toate laturile și diagonalele unui paralelogram

În paralelogramul $A B C D$ se notează $u = A B$ și $v = A D$ . Descompuneți $A C$ , $B D$ și $C A$ .

Rezolvare. Într-un paralelogram, $B C = A D = v$ , pentru că laturile $[A D]$ și $[B C]$ sunt paralele și congruente, la fel orientate. Atunci diagonala dusă din $A$ este $A C = A B + B C = u + v$ . Cealaltă diagonală pleacă din $B$ : $B D = A D - A B = v - u$ . În sfârșit, $C A$ este opusul lui $A C$ , deci $C A = - u - v$ .

Reține deosebirea dintre primele două rezultate: suma $u + v$ dă diagonala care pleacă din vârful comun celor doi vectori, iar diferența $v - u$ dă cealaltă diagonală, cea care unește vârfurile lor. Care dintre ele e mai lungă depinde de unghiul paralelogramului, deci nu te lua după desen: uită-te la vârfuri. Este deosebirea pe care o pierd, la examen, cei care rețin doar „regula paralelogramului", fără să verifice de unde pleacă fiecare săgeată.

Exemplul 3 — Un punct la două cincimi de latură

Se consideră triunghiul $A B C$ și punctul $P$ de pe latura $[B C]$ pentru care $B P = \frac{2}{5} B C$ . Descompuneți $A P$ după $A B$ și $A C$ .

Rezolvare. Am putea aplica direct formula dedusă mai sus, cu $t = \frac{2}{5}$ , dar o refacem pas cu pas, ca să se vadă de unde vine:

$A P = A B + \frac{2}{5} (A C - A B) = (1 - \frac{2}{5}) A B + \frac{2}{5} A C = \frac{3}{5} A B + \frac{2}{5} A C .$

Controlul obișnuit funcționează: $\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1$ . Mai mult, coeficientul mai mare stă lângă $A B$ , iar punctul $P$ este într-adevăr mai aproape de $B$ decât de $C$ — două verificări independente, făcute din cap, fără să mai calculezi nimic.

Exemplul 4 — Găsește greșeala

Un elev a scris, pentru mijlocul $M$ al laturii $[B C]$ , că $A M = \frac{1}{2} (A B - A C)$ . Arătați că rezultatul este greșit și identificați ce vector a calculat el, de fapt.

Rezolvare. Facem calculul invers. Diferența $A B - A C$ este, după regula de la pasul 1, chiar vectorul $C B$ , deci elevul a obținut $\frac{1}{2} C B$ — vectorul care duce de la $C$ la mijlocul lui $[B C]$ , adică $C M$ , nu $A M$ .

Unde s-a rupt raționamentul? La semnul dintre paranteze. În descompunerea lui $A M$ ambii coeficienți trebuie să fie pozitivi, fiindcă $M$ se află între $B$ și $C$ , deci drumul spre el „consumă" ceva și din $A B$ , și din $A C$ . Controlul cu suma coeficienților l-ar fi prins din prima: $\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$ , nu $1$ .

Exemplul 5 — Trei forțe în echilibru

Un inel mic este tras de trei fire, în același plan. Se aleg doi vectori necoliniari $u$ și $v$ , fiecare de modul $1$ N, pe două dintre direcțiile firelor. Primele două forțe sunt $F_{1} = 2 u + v$ și $F_{2} = - 3 u + 4 v$ . Determinați a treia forță, știind că inelul rămâne în repaus.

Rezolvare. Un corp rămâne în repaus când rezultanta forțelor care acționează asupra lui este vectorul nul, deci $F_{1} + F_{2} + F_{3} = 0$ , de unde $F_{3} = - (F_{1} + F_{2})$ . Adunăm întâi primele două, grupând separat termenii cu $u$ și cei cu $v$ :

$F_{1} + F_{2} = (2 - 3) u + (1 + 4) v = - u + 5 v, F_{3} = u - 5 v .$

Citit în cuvinte: al treilea fir trage cu $1$ N pe direcția și în sensul lui $u$ și cu $5$ N pe direcția lui $v$ , dar în sens opus. Verificarea e imediată — adunând toate trei, coeficientul lui $u$ dă $2 - 3 + 1 = 0$ , iar coeficientul lui $v$ dă $1 + 4 - 5 = 0$ .

Exemplul 6 — Exemplu tip Bacalaureat M2

Se consideră triunghiul $A B C$ și punctul $D$ pentru care $A D = 2 A B - A C$ . Arătați că $B$ este mijlocul segmentului $[C D]$ .

Rezolvare. Cerința se verifică arătând că $C D = 2 C B$ , pentru că atunci $D$ se află pe dreapta $C B$ , la distanța dublă față de $B$ , adică exact de cealaltă parte a lui $B$ , la fel de departe. Scriem ambii vectori plecând din $A$ :

$C D = A D - A C = 2 A B - 2 A C = 2 (A B - A C) = 2 C B .$

Din $C D = 2 C B$ rezultă că punctele $C$ , $B$ , $D$ sunt coliniare și că $C D = 2 \cdot C B$ , cu $B$ între $C$ și $D$ , fiindcă cei doi vectori au același sens. Prin urmare $B$ este mijlocul lui $[C D]$ . Cerința e scrisă în stilul Subiectului I de la Bacalaureatul M2: o singură afirmație de demonstrat, în trei-patru rânduri de calcul.

Să exersăm

Înainte de fiecare calcul, scrie-ți pe foaie ce ai ales drept $u$ și $v$ și din ce vârf pleci. Apoi transformă fiecare ipoteză într-o egalitate cu vectori care pornesc din acel vârf. La final, dacă punctul obținut e pe latura opusă vârfului de plecare, verifică dacă suma coeficienților este $1$ .

1. În trapezul $M N P Q$ , laturile $[M N]$ și $[QP]$ sunt paralele și așezate astfel încât $QP = 3 M N$ . Notând $a = M N$ și $b = M Q$ , descompune $M P$ și $N Q$ .

2. În triunghiul $A B C$ , punctele $M$ și $N$ verifică $A M = \frac{1}{3} A B$ și $A N = \frac{1}{4} A C$ . Descompune $M N$ după $A B$ și $A C$ .

3. În triunghiul $A B C$ , punctul $Q$ se află pe dreapta $B C$ , în afara segmentului $[B C]$ , și verifică $B Q = - \frac{1}{2} B C$ . Descompune $A Q$ după $A B$ și $A C$ , apoi spune de care vârf este mai aproape punctul $Q$ .

4. (Adevărat/Fals cu motivare.) „Orice vector din plan se poate descompune după doi vectori coliniari și nenuli dați."

5. În triunghiul $A B C$ , punctul $D$ este simetricul lui $B$ față de $A$ . Descompune $C D$ după $C A$ și $C B$ .

6. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră paralelogramul $A B C D$ , cu $A B = 10$ și $A D = 6$ , și $M$ mijlocul laturii $[C D]$ . Descompuneți $A M$ după $u = A B$ și $v = A D$ , apoi calculați $∥ D M ∥$ .

7. Vectorii $u$ și $v$ sunt necoliniari. Determină numerele reale $x$ și $y$ pentru care $x u + y v = 3 u - 5 v$ .

8. Vectorii $u$ și $v$ sunt necoliniari. Determină numerele reale $m$ și $n$ pentru care $(2 m + n) u + (m - n) v = 5 u + v$ .

9. Vectorii $u$ și $v$ sunt necoliniari și $w = 2 u - 6 v$ . Determină vectorul $z$ din egalitatea $w + 2 z = 4 u$ .

10. (Problemă aplicată.) Un cărucior de laborator se poate deplasa numai pe două șine necoliniare. O deplasare elementară pe prima șină este vectorul $p$ , iar pe a doua, vectorul $q$ . Căruciorul face $5$ deplasări elementare pe prima șină, apoi $2$ în sens invers pe a doua, apoi $3$ în sens invers pe prima. Scrie deplasarea totală în funcție de $p$ și $q$ și spune câte deplasări elementare pe fiecare șină l-ar fi dus direct în același punct.

11. În paralelogramul $E F G H$ se notează $a = E F$ și $b = E H$ , iar $S$ este punctul de pe latura $[F G]$ pentru care $F S = \frac{2}{3} F G$ . Descompune $E S$ după $a$ și $b$ .

12. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $A B C$ și punctul $D$ pentru care $B D = 3 B C$ . Arătați că $A D = - 2 A B + 3 A C$ .

13. Un elev scrie, pentru două puncte $M$ și $N$ din planul triunghiului $A B C$ , că $M N = A N + A M$ . Arată că formula este greșită și scrie-o corect.

14. În triunghiul $A B C$ , punctul $G$ verifică $A G = \frac{1}{3} A B + \frac{1}{3} A C$ , iar $M$ este mijlocul laturii $[B C]$ . Arată că $A G = \frac{2}{3} A M$ .

15. (Exercițiu tip Bacalaureat M2.) Se consideră triunghiul $A B C$ și punctul $P$ pentru care $A P = \frac{2}{5} A B + \frac{3}{5} A C$ . Arătați că punctul $P$ aparține dreptei $B C$ .

16. În paralelogramul $K L M N$ , punctul $T$ se află pe latura $[N M]$ și verifică $N T = \frac{1}{3} N M$ . Descompune $T L$ după $p = K L$ și $q = K N$ .

17. Explică, în două-trei fraze, de ce condiția „necoliniari" nu poate lipsi din enunțul teoremei de descompunere. Dă și un exemplu de vector care nu se poate scrie cu doi vectori coliniari dați.

18. (Provocare.) În triunghiul $A B C$ , punctul $M$ verifică $A M = \frac{1}{3} A B$ , iar punctul $N$ verifică $A N = \frac{3}{4} A C$ . Dreptele $M N$ și $B C$ se taie în $P$ . Determină numerele reale $α$ și $β$ pentru care $A P = α A B + β A C$ .

Răspunsuri și explicații

1. Pornim din $M$ . Mergând întâi în $Q$ și apoi în $P$ , obținem $M P = M Q + QP = b + 3 a$ , adică $3 a + b$ . Pentru al doilea, $N Q = M Q - M N = b - a$ . Cei doi vectori de referință sunt necoliniari, fiindcă $M$ , $N$ și $Q$ nu stau pe aceeași dreaptă.

2. Pornim din $A$ : $M N = A N - A M = \frac{1}{4} A C - \frac{1}{3} A B$ , adică $M N = - \frac{1}{3} A B + \frac{1}{4} A C$ . Aici coeficienții nu adună $1$ și nici nu trebuie: regula de control e făcută pentru un vector dus dintr-un vârf către un punct de pe latura opusă, nu pentru unul care unește două puncte de pe laturi diferite.

3. Refacem drumul: $A Q = A B - \frac{1}{2} (A C - A B) = \frac{3}{2} A B - \frac{1}{2} A C$ . Suma coeficienților rămâne $1$ , deci $Q$ este pe dreapta $B C$ ; coeficientul negativ arată însă că punctul a ieșit din segment, dincolo de $B$ , la o jumătate de $B C$ — prin urmare $Q$ este mai aproape de $B$ .

4. Fals, și din două motive deodată. Întâi, se pot obține doar vectorii coliniari cu cei doi: dacă $v = k u$ , atunci $α u + β v = (α + β k) u$ , deci rezultatul rămâne mereu pe direcția lui $u$ , iar un vector de altă direcție nu se poate scrie nicicum. Apoi, chiar și pentru vectorii care se pot scrie, coeficienții nu mai sunt unici: aceeași sumă se obține din infinit de multe perechi $(α, β)$ .

5. Pornim din $C$ . Din faptul că $A$ este mijlocul lui $[B D]$ avem $A D = B A = C A - C B$ , deci $C D = C A + A D = 2 C A - C B$ . Coeficienții adună tot $1$ , semn că $D$ se află pe dreapta $A B$ .

6. Mergem din $A$ în $D$ și apoi în $M$ : $A M = A D + D M$ . Într-un paralelogram $D C = A B$ , iar $M$ este mijlocul lui $[C D]$ , deci $D M = \frac{1}{2} D C = \frac{1}{2} u$ . Rezultă $A M = \frac{1}{2} u + v$ . Modulul cerut este jumătate din latura $D C$ , egală cu $A B$ , deci $∥ D M ∥ = \frac{10}{2} = 5$ ; latura $A D = 6$ nu intră în acest calcul. Control pe capete: dacă $M$ ar fi coincis cu $D$ , coeficientul lui $u$ ar fi fost $0$ , iar dacă ar fi coincis cu $C$ , ar fi fost $1$ — jumătatea de drum dă exact $\frac{1}{2}$ .

7. Vectorii fiind necoliniari, identificăm coeficienții și citim direct $x = 3$ și $y = - 5$ . Fără ipoteza de necoliniaritate, pasul acesta ar fi nepermis.

8. Identificarea coeficienților dă sistemul $2 m + n = 5$ și $m - n = 1$ . Adunând cele două ecuații obținem $3 m = 6$ , deci $m = 2$ , iar apoi $n = m - 1 = 1$ . Verificare: $2 \cdot 2 + 1 = 5$ și $2 - 1 = 1$ .

9. Din $w + 2 z = 4 u$ rezultă $z = \frac{1}{2} (4 u - w) = \frac{1}{2} (4 u - 2 u + 6 v)$ , adică $z = u + 3 v$ .

10. Adunăm cele trei deplasări, grupând separat termenii: $5 p - 2 q - 3 p = 2 p - 2 q$ . Așadar căruciorul ar fi ajuns în același punct din două deplasări elementare pe prima șină și două în sens invers pe a doua, adică din patru mișcări în loc de zece. Unicitatea descompunerii garantează că nu există altă pereche de numere care să dea aceeași deplasare totală.

11. Într-un paralelogram, laturile opuse dau vectori egali, deci $F G = E H = b$ și $F S = \frac{2}{3} b$ . Atunci $E S = E F + F S = a + \frac{2}{3} b$ . Aici suma coeficienților nu mai este $1$ — și nici nu trebuie, fiindcă $S$ nu se află pe dreapta $F H$ .

12. Din ipoteză, $B D = 3 B C = 3 (A C - A B)$ . Așadar $A D = A B + B D = A B + 3 A C - 3 A B = - 2 A B + 3 A C$ , ceea ce trebuia arătat. Suma coeficienților este $- 2 + 3 = 1$ , semn că $D$ e pe dreapta $B C$ .

13. Formula corectă este $M N = A N - A M$ : drumul de la $M$ la $N$ se face întorcându-te din $M$ în $A$ și mergând apoi din $A$ în $N$ , iar întoarcerea schimbă semnul. Cu semnul plus s-ar obține un vector care nu are nicio legătură cu drumul cerut; se vede imediat luând $N = M$ , caz în care formula greșită dă $2 A M$ în loc de $0$ .

14. Din exemplul 1 avem $A M = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} A C$ , deci $\frac{2}{3} A M = \frac{1}{3} A B + \frac{1}{3} A C$ , adică exact $A G$ . Prin urmare $G$ se află pe mediana din $A$ , la două treimi de vârf — punct despre care vei citi mai multe în lecția despre centrul de greutate demonstrat vectorial.

15. Calculăm vectorul care duce din $B$ în $P$ : $B P = A P - A B = - \frac{3}{5} A B + \frac{3}{5} A C = \frac{3}{5} (A C - A B) = \frac{3}{5} B C$ . Fiind multiplu al lui $B C$ , vectorul $B P$ arată că $P$ este pe dreapta $B C$ .

16. Laturile opuse ale paralelogramului dau $N M = K L = p$ , deci $K T = K N + N T = q + \frac{1}{3} p$ . Vectorul cerut pleacă din $T$ : $T L = K L - K T = p - q - \frac{1}{3} p = \frac{2}{3} p - q$ .

17. Doi vectori coliniari dau o singură direcție, iar orice combinație de forma $α u + β v$ rămâne pe acea direcție; un vector care „iese" din ea nu poate fi atins. Exemplu concret: cu $u = A B$ și $v = 2 A B$ într-un triunghi $A B C$ , vectorul $A C$ nu se poate scrie, fiindcă el nu e coliniar cu $A B$ .

18. Punctul $P$ e pe dreapta $B C$ , deci $A P = (1 - s) A B + s A C$ , cu $s$ real, iar coeficienții adună $1$ . Punctul $P$ e și pe dreapta $M N$ , deci $A P = A M + r M N$ , unde $M N = \frac{3}{4} A C - \frac{1}{3} A B$ ; grupând, $A P = (\frac{1}{3} - \frac{r}{3}) A B + \frac{3 r}{4} A C$ . Punem condiția ca suma coeficienților să fie $1$ : $\frac{1 - r}{3} + \frac{3 r}{4} = 1$ , adică $4 - 4 r + 9 r = 12$ , deci $r = \frac{8}{5}$ . Înlocuind, $α = \frac{1}{3} (1 - \frac{8}{5}) = - \frac{1}{5}$ și $β = \frac{3}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{6}{5}$ . Control: $- \frac{1}{5} + \frac{6}{5} = 1$ , iar coeficientul negativ arată că $P$ cade în afara segmentului $[B C]$ , dincolo de $C$ .

De reținut

Doi vectori necoliniari dați deschid tot planul: orice vector $w$ se scrie sub forma $w = α u + β v$ , cu numere reale $α$ și $β$ determinate în mod unic de $w$ .
Unicitatea coeficienților este regula de lucru a întregului capitol: dintr-o egalitate între doi vectori scriși cu aceeași pereche necoliniară se obțin, prin identificare, două egalități între numere.
Rețeta de calcul are trei pași: alegi un vârf de plecare, scrii fiecare vector din figură ca diferență $X Y = A Y - A X$ și grupezi la final termenii după cei doi vectori de referință.
Pentru un punct $M$ cu $B M = t B C$ formula este $A M = (1 - t) A B + t A C$ , iar suma coeficienților rămâne $1$ pentru orice punct de pe dreapta $B C$ .
Condiția de necoliniaritate nu e o formalitate: cu doi vectori coliniari se obțin numai vectori de aceeași direcție, iar scrierea lor nu mai este unică, deci identificarea coeficienților devine interzisă.

Greșeli frecvente

Semnul greșit în $M N$ . Mulți elevi scriu $M N = A M - A N$ , pentru că „ $M$ e primul". Regula e invers: pleci din $M$ , deci scazi ce ai în $M$ — forma corectă e $M N = A N - A M$ . Un truc sigur: litera din vârful săgeții stă în față, la scădere.
Coeficientul $t$ pus pe latura greșită. Din ipoteza $B M = t B C$ mulți sar direct la $A M = t A B + (1 - t) A C$ , deși e exact pe dos. Cauza e că se pleacă din $A$ fără a observa că ipoteza descrie un drum care începe din $B$ . Refă întotdeauna calculul, nu memora formula.
Descompunerea făcută după doi vectori care se dovedesc coliniari. Când în enunț apar trei puncte, prima verificare e dacă ele formează cu adevărat un triunghi. Dacă sunt coliniare, teorema nu se aplică, iar sistemul obținut prin identificarea coeficienților fie e imposibil, fie are o infinitate de soluții.
„Simplificarea" unei egalități prin împărțire la un vector. Din $α u = β u$ nu se „taie" $u$ ca la numere: împărțirea la un vector nu există. Se folosește faptul că $u$ e nenul și se trage concluzia $α = β$ dintr-o egalitate de forma $(α - β) u = 0$ , argumentată în cuvinte.
Răspunsul lăsat cu trei termeni. O descompunere se încheie cu exact doi termeni, unul pentru fiecare vector de referință. Dacă în rezultat a rămas și un $B C$ sau un $C A$ , mai ai un pas de făcut: înlocuiește-l cu diferența corespunzătoare și grupează din nou.

Aplică acasă

Descompunerea cu rigla, pe hârtie milimetrică. Desenează două săgeți care pleacă din același punct, pe direcții clar diferite, și o a treia săgeată oarecare. Duce prin vârful ei două paralele la primele două direcții și măsoară, în pătrățele, lungimile obținute. Împarte fiecare lungime la lungimea vectorului corespunzător: obții cei doi coeficienți — cu semnul minus în față, dacă bucata măsurată merge în sensul opus săgeții de referință. Refă apoi calculul cu o altă alegere a celei de-a treia săgeți și convinge-te că perechea de numere se schimbă, dar procedeul nu.
Rețeaua triunghiulară. Pornind dintr-un punct și folosind numai doi pași fixați, $u$ și $v$ , marchează pe o foaie toate punctele la care ajungi cu cel mult trei pași de fiecare fel, în ambele sensuri. Scrie sub fiecare punct perechea de numere întregi care îl descrie. Vei vedea că fiecare punct al rețelei poartă o singură etichetă — o ilustrare a unicității, cu desen în loc de demonstrație.
Din caietul de fizică. Caută în manual o problemă cu două forțe coplanare aplicate în același punct. Alege pe cele două direcții câte un vector de modul $1$ N, scrie cele două forțe cu coeficienți și calculează rezultanta. Apoi răspunde în scris la întrebarea: ce forță ar trebui adăugată ca sistemul să fie în echilibru? Notează rezultatul cu unitate de măsură și verifică-l adunând coeficienții.

Pentru părinți și profesori

Lecția are o parte ușoară — desenul cu două paralele — și una care decide dacă tema se așază: obișnuința de a pleca mereu din același vârf. Elevii care sar de la un punct de plecare la altul în mijlocul calculului ajung la rezultate care par corecte, dar amestecă două sisteme de referință. La profilul științe ale naturii, sprijinul vine din laborator: un elev care a compus forțe la fizică are deja intuiția că două direcții sunt de ajuns ca să descrii orice împingere din plan, iar matematica nu face aici decât să scrie riguros ceea ce el măsoară cu dinamometrul.

De urmărit în caiet, în ordinea în care apar greșelile: dacă vârful de plecare e scris explicit la începutul rezolvării; dacă vectorii din ipoteză au fost transformați în diferențe de vectori care pleacă din acel vârf; dacă rezultatul are exact doi termeni; dacă, la un punct de pe latura opusă, suma coeficienților este $1$ . Întrebări de control, în limbajul lecției: „De ce nu merge cu doi vectori coliniari?"; „Ce înseamnă, pe desen, un coeficient negativ?"; „Cum arăți că un punct e pe dreapta $B C$ fără să folosești lungimi?". Semn că elevul a înțeles: își verifică singur răspunsul prin suma coeficienților și nu mai scrie niciodată $M N$ ca sumă.

Programa și examenul. Tema aceasta nu se află în programa școlară nouă de matematică pentru științe ale naturii (OMEC 6930/2025, anexa 28), care se aplică la clasa a IX-a din 2026–2027, și nu apare nici în programa probei MAT_P2 de la Bacalaureatul 2030. Ea rămâne însă obligatorie pentru elevii aflați acum în clasele a X-a – a XII-a, care învață după programa veche și dau Bacalaureatul M2 (M_șt-nat) în sesiunile 2027–2029: programa de examen (OMEN 4430/2014) cere, la capitolul „Vectori în plan", descompunerea după doi vectori necoliniari. Subiectul I al probei are șase cerințe scurte de câte cinci puncte, din materia claselor a IX-a și a X-a; în modelul oficial publicat pentru sesiunea 2026, cerințele $5$ și $6$ sunt de geometrie — una cu coordonate și mijlocul unui segment, alta cu un triunghi dreptunghic — iar vectorii intră în aceeași familie de cerințe scurte. De aceea lecția e trecută pe site în suplimentul pentru Bacalaureat M2 2027–2029. Programa veche de examen prevedea patru ore de matematică pe săptămână la clasa a IX-a, față de cele trei ore din planurile-cadru în vigoare (OMEC 4350/2025).

Întrebări frecvente

Cum descompun un vector după două laturi ale unui triunghi? Alege un vârf, de obicei $A$ , și notează $u = A B$ , $v = A C$ . Transformă apoi fiecare ipoteză într-un drum care pleacă din $A$ , folosind regula $X Y = A Y - A X$ , și grupează la final termenii după cei doi vectori de referință. Rezultatul trebuie să aibă exact doi termeni, unul cu $u$ și unul cu $v$ ; dacă a rămas și un al treilea vector în răspuns, mai ai un pas de făcut.

De ce este unică descompunerea după doi vectori necoliniari? Pentru că, dacă ar exista două scrieri diferite, scăzându-le ai obține o egalitate de forma $(α_{1} - α_{2}) u = (β_{2} - β_{1}) v$ . Împărțind la un coeficient nenul ar rezulta că $u$ este multiplu al lui $v$ , adică cei doi ar fi coliniari — exact ce exclude ipoteza. Rămâne că cele două scrieri coincid.

Se învață descompunerea vectorilor și la mate-info (M1)? Pe Matepolis nu există o lecție separată de vectori pe traseul de mate-info, fiindcă programa nouă a mutat capitolul în altă parte a liceului. Tema apare însă în arhiva de subiecte de Bacalaureat M1, ca materie de clasa a IX-a din programa veche. La mate-info, ideea de „două numere determină un punct" se lucrează pe coordonate; tu ai întâlnit-o la coordonatele unui punct din plan.

La ce subiect apare descompunerea vectorilor la bacalaureatul M2? La Subiectul I, care are șase cerințe scurte de câte cinci puncte, din materia claselor a IX-a și a X-a. În modelul oficial pentru sesiunea 2026, cerințele $5$ și $6$ sunt de geometrie: una cu coordonate și mijlocul unui segment, alta cu un triunghi dreptunghic. Vectorii intră în aceeași familie de cerințe scurte, fiindcă programa de examen din 2014 îi trece la materia clasei a IX-a. Din 2030, la proba MAT_P2, tema nu mai apare deloc.

Ce fac dacă în enunț apare $B M = t B C$ și mi se cere $A M$ ? Nu memora rezultatul, ci refă drumul: mergi din $A$ în $B$ , apoi din $B$ în $M$ . Obții $A M = A B + t (A C - A B)$ , adică $(1 - t) A B + t A C$ . Numărul $t$ ajunge, așadar, lângă $A C$ , nu lângă $A B$ , pentru că el măsoară cât de mult te-ai depărtat de $B$ . Dacă ipoteza pleacă din alt vârf, refaci același raționament din acel vârf, fără să muți formula de la un capăt la altul.

Pot descompune un vector după doi vectori coliniari? Numai dacă vectorul este el însuși coliniar cu ei, iar atunci scrierea nu mai e unică. Practic, doi vectori coliniari dau o singură direcție și nu pot descrie tot planul, așa că teorema de descompunere nu li se aplică. De aceea în enunțuri apare mereu, explicit, cuvântul „necoliniari".

Cum verific repede un răspuns de forma $α A B + β A C$ ? Dacă punctul obținut se află pe dreapta $B C$ , suma coeficienților trebuie să fie $1$ . Apoi compară mărimile: coeficientul mai mare stă lângă latura dinspre care punctul e mai apropiat. Un coeficient negativ înseamnă că punctul a ieșit din segment, dincolo de unul dintre capete.