Ce condiție trebuie să îndeplinească cei doi vectori după care se face descompunerea?

să aibă amândoi modulul $$1$$

Cum se scrie $$\overrightarrow{MN}$$ cu vectori care pleacă din $$A$$?

$$\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$$

$$\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AN}$$

$$\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}$$

$$-\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$$

Punctul $$M$$ verifică $$\overrightarrow{BM}=t\,\overrightarrow{BC}$$. Cum se descompune $$\overrightarrow{AM}$$?

$$(1-t)\overrightarrow{AB}+t\,\overrightarrow{AC}$$

$$t\,\overrightarrow{AB}+(1-t)\overrightarrow{AC}$$

$$t\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$$

$$\overrightarrow{AB}+t\,\overrightarrow{AC}$$

Ce înseamnă să descompui un vector?

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2); pagina asta e pentru științe ale naturii (M2) — matematica de mate-info, clasa a IX-a → ·

Lecția pe scurt · clasa a IX-a · Descompunerea unui vector

Înseamnă să-l scrii ca sumă de multipli a doi vectori necoliniari aleși: $w = α u + β v$ . Numerele $α$ și $β$ se numesc coeficienți și sunt determinate în mod unic. Exemplu: în paralelogramul $A B C D$ cu centrul $O$ , $A C = A B + A D$ , deci $A O = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} A D$ . În fizică, greutatea unui corp pe un plan înclinat se descompune la fel, într-o componentă de-a lungul planului și una perpendiculară pe el.

O pereche de vectori necoliniari acoperă tot planul: fiecare vector $w$ capătă scrierea $w = α u + β v$ , iar numerele reale $α$ și $β$ sunt determinate unic.

Pe unicitate se sprijină tot capitolul: dacă doi vectori scriși cu aceeași pereche necoliniară sunt egali, identificarea coeficienților dă două egalități numerice, adică un sistem.

Necoliniaritatea nu este o formalitate. Doi vectori coliniari produc numai vectori de aceeași direcție, scrierea își pierde unicitatea, iar identificarea coeficienților nu mai e permisă. Când enunțul dă trei puncte, cercetezi întâi dacă ele chiar formează un triunghi.

Calculul are trei pași: alegi vârful de plecare, transformi fiecare vector al figurii în diferență, $X Y = A Y - A X$ — litera din vârful săgeții trece în față —, apoi grupezi după cei doi vectori de referință.

Când $M$ satisface $B M = t B C$ , iese $A M = (1 - t) A B + t A C$ . Reface calculul în loc să memorezi: ipoteza descrie un drum pornit din $B$ . Oricare ar fi punctul de pe dreapta $B C$ , coeficienții se adună la $1$ .

Rezultatul are exact doi termeni. Un $B C$ rămas înseamnă că mai ai un pas de făcut.

De reținut

$w = α u + β v$ , cu $u$ , $v$ necoliniari și $α$ , $β$ determinați în mod unic
$X Y = A Y - A X$ : litera din vârful săgeții stă în față
din $α u + β v = α^{'} u + β^{'} v$ rezultă $α = α^{'}$ și $β = β^{'}$

Greșeala tipică

Se identifică coeficienții și când $u$ și $v$ sunt coliniari; atunci același vector se poate scrie în mai multe feluri și identificarea nu e permisă.

Exerciții din această mini-lecție

Ce condiție trebuie să îndeplinească cei doi vectori după care se face descompunerea?
- a) să fie perpendiculari
- b) să aibă module egale
- c) să fie necoliniari
- d) să aibă amândoi modulul $1$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: c) să fie necoliniari

Necoliniaritatea e singura cerință — perpendicularitatea ar fi un caz particular comod, dar nu e necesară. Cu doi vectori coliniari nu ajungi decât la vectori de aceeași direcție, iar scrierea nu mai e unică.
Cum se scrie $M N$ cu vectori care pleacă din $A$ ?
- a) $A M - A N$
- b) $A N - A M$
- c) $A M + A N$
- d) $- A N - A M$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $A N - A M$

Pleci din $M$ , deci scazi ce ai în $M$ : litera din vârful săgeții stă în față la scădere. Varianta a) e opusul și răstoarnă toate semnele care urmează. Control rapid: dacă $M = A$ , trebuie să rămână $A N$ .
Punctul $M$ verifică $B M = t B C$ . Cum se descompune $A M$ ?
- a) $t A B + (1 - t) A C$
- b) $(1 - t) A B + t A C$
- c) $t (A B + A C)$
- d) $A B + t A C$
Vezi răspunsul

Răspuns corect: b) $(1 - t) A B + t A C$

$A M = A B + B M = A B + t (A C - A B) = (1 - t) A B + t A C$ . Varianta a) e exact pe dos și apare când se pleacă din $A$ fără a observa că ipoteza descrie un drum din $B$ .

Întrebări conexe

Cum aflu $x$ și $y$ din $(x + 1) u + 2 v = 3 u + (y - 1) v$ ?

Dacă $u$ și $v$ sunt necoliniari, coeficienții lor trebuie să coincidă în ambii membri. Obții $x + 1 = 3$ și $2 = y - 1$ , deci $x = 2$ și $y = 3$ . Fără condiția de necoliniaritate, această identificare nu ar fi permisă.

Cum descompun greutatea unui corp aflat pe un plan înclinat?

Alegi o direcție de-a lungul planului și una perpendiculară pe el. Pentru $m = 2$ kg, $g = 10$ m/s² și unghiul planului de $3 0^{\circ}$ , greutatea de $20$ N are componenta $20 sin 3 0^{\circ} = 10$ N în lungul planului și $20 cos 3 0^{\circ} = 103 \approx 17, 3$ N perpendicular pe el.

Cum scriu $B C$ după $A B$ și $A C$ ?

Pornești din $A$ : $B C = B A + A C = A C - A B$ . Coeficienții sunt $- 1$ pentru $A B$ și $1$ pentru $A C$ . Semnul minus arată că primul vector se parcurge în sens invers, de la $B$ spre $A$ . Control: pentru $B = A$ trebuie să rămână $A C$ , și chiar rămâne.

Cum descompun $A M$ în paralelogramul $A B C D$ , cu $M$ mijlocul lui $[C D]$ ?

Mergi pe contur: $A M = A D + D M$ . Cum $D C = A B$ și $M$ este mijlocul lui $[D C]$ , avem $D M = \frac{1}{2} A B$ . Rezultă $A M = \frac{1}{2} A B + A D$ , cu exact doi termeni, câte unul pentru fiecare vector de referință. Coeficienții sunt $\frac{1}{2}$ și $1$ .

Ce devine descompunerea după doi vectori perpendiculari de modul $1$ ?

Devine scrierea cu componente, ca într-un reper: $w = 3 i + 4 j$ înseamnă $3$ unități pe prima direcție și $4$ pe a doua. Cum direcțiile sunt perpendiculare, modulul lui $w$ se află cu teorema lui Pitagora: $9 + 16 = 5$ .

Oamenii mai întreabă și: descompunerea unui vector · ce este descompunerea unui vector după doi vectori · scrierea unui vector ca sumă de doi vectori · vector scris cu alți doi vectori

Ce înseamnă să descompui un vector?

De reținut

Greșeala tipică

Exerciții din această mini-lecție

Întrebări conexe

Cum aflu x și y din (x+1)u+2v=3u+(y−1)v?

Cum descompun greutatea unui corp aflat pe un plan înclinat?

Cum scriu BC după AB și AC?

Cum descompun AM în paralelogramul ABCD, cu M mijlocul lui [CD]?

Ce devine descompunerea după doi vectori perpendiculari de modul 1?

Continuă cu

Cum aflu $x$ și $y$ din $(x + 1) u + 2 v = 3 u + (y - 1) v$ ?

Cum scriu $B C$ după $A B$ și $A C$ ?

Cum descompun $A M$ în paralelogramul $A B C D$ , cu $M$ mijlocul lui $[C D]$ ?

Ce devine descompunerea după doi vectori perpendiculari de modul $1$ ?